一類平方立方非線性耦合系統(tǒng)主共振解析近似解的研究

李 潔

宿遷學(xué)院建筑工程學(xué)院（223800）

0 引言

式中 α1和 α2不必限制為小參數(shù)，（′）=d（）/dτ，（′′）=d2（）/dτ2系統(tǒng)參數(shù)均為無(wú)量綱參數(shù)。令，

于是方程式（1）變成

大多數(shù)非線性微分方程都沒(méi)有準(zhǔn)確解析解的經(jīng)典的攝動(dòng)技術(shù)如多尺度法[1]、平均法[2]等，通常僅限于小參數(shù)非線性方程組的分析，難以適用于強(qiáng)非線性振動(dòng)系統(tǒng)。

廖世俊提出的同倫分析法通過(guò)引入輔助參數(shù)和輔助函數(shù)來(lái)調(diào)節(jié)和控制級(jí)數(shù)解的收斂區(qū)域和收斂速度[3]。工程技術(shù)中的許多非線性問(wèn)題應(yīng)用該方法已經(jīng)成功解決，如求解非線性動(dòng)力系統(tǒng)極限環(huán)[4]、非牛頓流體的磁流體動(dòng)力學(xué)[5]等。李永強(qiáng)等人應(yīng)用同倫方法研究了單自由度和多自由度系統(tǒng)的立方非線性受迫振動(dòng)系統(tǒng)主共振問(wèn)題[6-10]這些成功應(yīng)用的例子表明,同倫分析方法可以有效地解決許多非線性問(wèn)題,但該方法在平方和立方非線性耦合系統(tǒng)主共振方面的應(yīng)用卻未見(jiàn)報(bào)道。

文章應(yīng)用同倫分析法研究了如下一單自由度平方立方非線性耦合系統(tǒng)的主共振問(wèn)題[11]。

式中（′）=d（）/dτ，（′′）=d2（）/dτ2（下同）。

1 同倫分析法的基本原理

同倫分析法的基本思想[4]是來(lái)自于代數(shù)拓?fù)渲械倪B續(xù)映射，希望構(gòu)造一個(gè)聯(lián)接方程式（3）的解u（τ）和一個(gè)給定函數(shù) u0（τ）之間的同倫 Φ（τ；q），q[0，1]，使得 Φ（τ；0）=u0（τ），Φ（τ；1）=u（τ）。 首先，需要確定一組基函數(shù)，顯然，單自由度系統(tǒng)主共振可由

為此解表達(dá)式可選為

式中Ak是未知的復(fù)函數(shù)，Ak是Ak的共軛。令Ω0為頻Ω率之初始猜測(cè)值，選取

作為 u（τ）的初始猜測(cè)值，根據(jù)解表達(dá)式（5），選取

為輔助線性算子， 其中 λ[ Ce x p（iτ）]=0，C∈R.根據(jù)方程（3），定義如下非線性算子[15]。

式中，Φ（τ；q）為依賴于 τ和 q 之函數(shù)，（q）為 q之函數(shù)。令?表示非零輔助參數(shù),構(gòu)造如下零階形變方程

這樣，當(dāng)q=0時(shí)，由式（9）可以得到

當(dāng) q=1時(shí),由于 ?≠0，式（9）等同于原方程式（3），從而

因此，當(dāng) q從 0增大到 1時(shí)，Φ（τ；q）從初始猜測(cè)解 u0（τ）變化到精確解 u（τ），同時(shí) λ（q）從初始猜測(cè)解Ω0變化到物理頻率Ω。利用式（10）和泰勒展開(kāi)定理,將 Φ（τ；q）和 λ（q）展開(kāi)成如下 q 之冪級(jí)數(shù)。

式中

由于零階形變方程式（9）中包含輔助參數(shù)?，因此只要選擇適當(dāng)?shù)?值，就可保證級(jí)數(shù)（12）和（13）在q=1時(shí)收斂，從而有級(jí)數(shù)解

將級(jí)數(shù)（12）和（13）代入到零階形變方程式（9）中，令q相同次冪之系數(shù)為零，就可得到高階形變方程

式中cc表示前面各項(xiàng)的共軛，消去式（21）中的長(zhǎng)期項(xiàng)，令式（21）中 exp（±iτ）的系數(shù)為零，從而得到方程

由于 A0不為 0，因此由式（22）可得

根據(jù)式(17)可得一階形變方程

即

方程（25）的解為

為了避免高階形變方程解表達(dá)式中出現(xiàn)長(zhǎng)期項(xiàng)，必須強(qiáng)迫式（27）中 exp（±iτ）的系數(shù)為零，從而得到方程

式中α和β是實(shí)函數(shù)，將式（29）代入到式（28）并將結(jié)果分成實(shí)部和虛部，得到

由式（30）和式（31）可得

由式（30）就可確定出Ω1和a的關(guān)系，消除高階形變方程式（27）中的長(zhǎng)期項(xiàng),再根據(jù)式（17）可求得u2（τ）。 根據(jù)式（6），（23），（26）和式（29）可得 u（τ）的一階近似解為

由于u（τ）中含有輔助參數(shù)?，在同倫分析法中起著控制和調(diào)整收斂范圍的作用，可以通過(guò)一些相關(guān)級(jí)數(shù)（如 u′（0），u′′（0）等）的函數(shù)曲線來(lái)確定合適的?值，因?yàn)橹灰『线m的?值使級(jí)數(shù)解收斂，那么所得到的級(jí)數(shù)解就必是原方程的一個(gè)解,從而在u′（0）、u′′（0）等函數(shù)和 ? 的曲線中存在一條水平線段，其對(duì)應(yīng)的?取值區(qū)域就是?的有效區(qū)域。

2 數(shù)值計(jì)算

采用上述同倫分析法對(duì)式（1）進(jìn)行計(jì)算，取μ=0.01，ω0=1.0，F(xiàn)=1.0，Ω=1.0。 非線性系數(shù)分別為 α1=α2=1.0 和 α1=α2=5.0 時(shí)級(jí)數(shù) u（τ）給出的 u′（0），u″（0）和 u?（0）之 ? 曲線如圖 1 所示，很明顯 α1=α2=1.0時(shí)級(jí)數(shù) u′（0），u″（0） 和 u?（0） 在-1.5≤?≤-1.0 時(shí)收斂；α1=α2=5.0時(shí)在-1.6≤?≤-1.4時(shí)收斂。通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn),若級(jí)數(shù) u′（0），u″（0）和 u?（0）收斂，級(jí)數(shù) u（τ）在整個(gè)區(qū)域τ∈[0，+∞)上收斂，因此在下面的計(jì)算中 α1=α2=1.0 時(shí)取 ?=-1.0，α1=α2=5.0 時(shí)取 ?=-1.5，當(dāng)非線性系數(shù) α1和 α2為其他值時(shí)可通過(guò) u′（0），u″（0）和 u?（0）和 ?的關(guān)系曲線確定出適合的值。

圖 1 u′（0），u″（0）和 u?（0）～? 關(guān)系曲線（2階近似）

圖2 為系統(tǒng)在不同a1和a2下的主共振頻率響應(yīng)曲線，曲線中的空心圓為相應(yīng)的數(shù)值解.數(shù)值解采用四階Runge-Kutta算法。由圖2可知，應(yīng)用同倫分析法得到的解析近似解與數(shù)值法求得的解是相當(dāng)吻合的，但由于數(shù)值解只能計(jì)算穩(wěn)態(tài)解，而同倫分析法不僅適用于強(qiáng)非線性而且也能計(jì)算非穩(wěn)態(tài)解。

圖2 主共振時(shí)的頻率響應(yīng)曲線（2階近似）

3 結(jié)論

文中應(yīng)用同倫分析方法獲得了單自由度平方和立方非線性耦合系統(tǒng)主共振的解析近似解。同倫分析方法通過(guò)引入輔助參數(shù)可以調(diào)節(jié)和控制級(jí)數(shù)解的收斂區(qū)域和收斂速度，這是同倫分析方法和其他方法的根本性區(qū)別。從同倫分析法與四階龍格庫(kù)塔法的比較表明，同倫分析法不僅能求解穩(wěn)態(tài)解而且也能計(jì)算非穩(wěn)態(tài)解并且具有較好的計(jì)算精度。