逆向思維方法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

錢寶英

摘 要：逆向思維做為與正向思維相對應(yīng)的思維方法，在我們分析和解決數(shù)學(xué)問題中同樣有著舉足輕重的作用.運用反推思考、間接思考、反證法和舉反例等逆向思維方法，在解決數(shù)學(xué)問題時往往能取得意想不到的效果.逆向思維有利于克服定勢思維的保守性，本文擬探討高等數(shù)學(xué)中的逆向思維方法，通過相關(guān)的論述來說明逆向思維方法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：逆向思維;構(gòu)造法;反證法;舉反例;間接法

數(shù)學(xué)中的逆向思維是發(fā)散思維的一種重要形式，它是從習慣思維的相反方向（或另一面）去進行思考分析問題，常常表現(xiàn)為逆用定義、逆用定理、逆用公式、逆用法則、舉反例等，從而達到解決問題的目的。

一、定義的逆用

數(shù)學(xué)中被定義的概念和下定義的概念其外延完全相等， 因而兩者的位置可以互換，這就應(yīng)從正反兩方面加深對定義的理解.恰當利用定義的“可逆性”，可使解題靈活簡捷.

例（利用定積分的定義求極限）求極限

2.定理的逆用

數(shù)學(xué)定理有可逆的和不可逆的， 對可逆性定理我們可以直接通過逆用來解決數(shù)學(xué)問題.

例 行列式中的定理：行列式等于它任意一行的所有元素與它們的對應(yīng)代數(shù)余子式的乘積之和.即

其中Aij為D中元素aij的代數(shù)余子式.

上面的式子從左向右看是行列式D按第i行展開，從右向左看即是還原，還原后的行列式第i的元素依次為Ai1，Ai2，…，Ain前面的那些數(shù)（即ai1，ai2，…，ain）而其余各行元素由這些代數(shù)余子式所含的那些行確定.因此，當j≠i時， 有

即得定理：行列式的一行所有元素與另外一行的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積的和等于0，由此可見此定理是逆用上面的定理而得來的。

（三）公式的逆用

例 式子? ? ? ? ? ? ，順用就是矩陣乘法，

逆用就是矩陣分解形式. 實際上逆用這一公式很容易證明[2]中“線性空間V上雙線性函數(shù)f關(guān)于V的兩組基的矩陣是合同的”.

事實上，設(shè)線性空間V上線性函數(shù)f關(guān)于V的兩組基ε1，ε2，…，εn與η1，η2，…ηn的矩陣分別為A=（aij）與B=（bij），且（η1，η2，…η）=（ε1，ε2，…，εn）C，則

其中，Ci為C的第i列（i=1，2，…，n），所以B合同于A.

（四）法則的逆用

例兩個多項式中只要有一個為零，那么它們的積等于零. 有其反面，若兩個多項式的積為零，則這兩個多項式中至少有一個為零.由此易得多項式乘法滿足消去律，即：若

且? ? ，則? ? ?.事實上，由已知有

即? ? ? ? ?，而? ? ，所以

即? ? ?.

（五）恒等式的逆用

對恒等式的使用常習慣于從左到右，即正向恒等式.但是， 如果將恒等式逆向處理，即從右到左使用，不僅能使運算變得簡潔，而且運算方法也會變得靈活和巧妙，對一些特別麻煩的問題，逆用恒等式來處理常能收到較好的效果.如? ? ? 在三角恒等式證明中及不定積分等計算中都有廣泛的應(yīng)用.

例求

解