李恩斌 王祥熙

(四川省巴中市第二中學(xué)，636013)

本文通過對(duì)一道經(jīng)典例題(北京2020屆高考模擬試卷(一)第16題)的分析、解法探究和變式練習(xí)，談?wù)勗诟呷虒W(xué)中如何發(fā)揮經(jīng)典例題在復(fù)習(xí)中的教學(xué)價(jià)值.

題目(北京2020屆高考模擬試卷(一)第16題)在?ABC中，2AB=3AC，AD是∠BAC的角平分線，設(shè)AD=mAC,則實(shí)數(shù)m的取值范圍.

一、一題多解，讓問題由點(diǎn)構(gòu)成線

解法1(等面積法)

點(diǎn)評(píng)等面積法是一種重要的解決問題的方法.利用等面積法，可以簡(jiǎn)捷思路，明朗圖形之間的關(guān)系.

解法2(向量法)

點(diǎn)評(píng)向量法實(shí)質(zhì)上是一個(gè)使幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化的過程，它是溝通代數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容的橋梁之一.向量的三角形法則、向量的數(shù)量積是架起橋梁的基石.

解法3(應(yīng)用余弦定理)

在?ABD中，

BD2=AB2+AD2

-2AB·ADcosθ.

①

在?ADC中，

DC2=AC2+AD2

-2AC·ADcosθ.

②

點(diǎn)評(píng)余弦定理將三角形的邊和角有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，是解三角形有關(guān)問題的重要工具.

解法4(應(yīng)用余弦定理)

如圖2，設(shè)∠ADB=α,∠ADC=π-α,BD=3x,CD=2x,AD=2m.

①

②

②

點(diǎn)評(píng)此題仍應(yīng)用了余弦定理，但思考的角度不同，利用余弦定理分別表達(dá)互補(bǔ)角，建立等量關(guān)系是常用的方法，構(gòu)成三角形三邊條件的限定是隱含條件，要善于挖掘.

解法5(共圓法)

如圖3，由外角平分線定理得(∠CAF為?BAC的外角，AE平分∠CAF，可設(shè)∠CAE=∠EAF=α)，不妨設(shè)BD=3x,DC=2x,CE=y.

∵AD為∠BAC的角平分線，AE為∠CAF的角平分線，∴∠θ+∠α=90°，即點(diǎn)A的軌跡是以DE為直徑的圓.

點(diǎn)評(píng)知識(shí)具有連貫性，此題便運(yùn)用了初中數(shù)學(xué)知識(shí)，外角平分線定理、共圓幾何條件、極限思維等，利用邊界最值求出所需未知量的范圍.

解法6(應(yīng)用三角形性質(zhì))

點(diǎn)評(píng)學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)中，容易受“慣性思維”影響，總是會(huì)把一些問題復(fù)雜化，卻忽略了更加簡(jiǎn)易的方法.構(gòu)成三角形的條件，對(duì)于解決某些含隱含條件的范圍問題有奇效.

解法7(相似法)

點(diǎn)評(píng)相似三角形法是初中幾何中常見方法之一，它主要描述了相似三角形邊、角的關(guān)系.本解法根據(jù)幾何割補(bǔ)、三角形相似的條件，把原圖形補(bǔ)充為等腰三角形，利用相似比最終轉(zhuǎn)化為角度來(lái)限定未知量的范圍.

解法8(坐標(biāo)法，函數(shù)法)

如圖6，設(shè)C(2x1,-2y1),x1∈(0,1),B(-3x1,-3y1),y1∈(0,1),BC直線方程為y=kx+b,D(0,b).∵B在BC直線上，

∴-3y1=-3kx1+b.

①

又∵C在BC直線上，

∴-2y1=2kx1+b.

②

點(diǎn)評(píng)函數(shù)思想是基本的數(shù)學(xué)思想之一.用函數(shù)觀點(diǎn)來(lái)探求變量的取值范圍是通法.

以上八種方法，歸根到底都是數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用.用幾何的觀點(diǎn)研究代數(shù)問題，可以加強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，使學(xué)生在數(shù)和形的聯(lián)系上把握好一個(gè)尺度，能夠由數(shù)想到形的意義，由形想到數(shù)的結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到快速解決問題的目的.

二、一題多變，讓問題由線構(gòu)成面

把習(xí)題通過條件變換、形式變換、因果變換等，使之變?yōu)楦嗟?、有價(jià)值、有新意的新問題，使更多的知識(shí)得到應(yīng)用，從而獲得“一題多練”、“一題多得”的效果.

變式3在?ABC中，∠A∶∠B=1∶2，∠C的平分線CD把?面積分為3∶2兩部分，求cosA的值.

變式4在?ABC中，AB=2AC，AD是∠A的平分線，AD=mAC,①求m的取值范圍；②若?ABC的面積是1，求BC最短時(shí)m的值.

知識(shí)是靜態(tài)的，思維是活動(dòng)的.在平時(shí)的教學(xué)中，通過一題多變的訓(xùn)練，能使學(xué)生克服思維定勢(shì)的影響，不局限于某一方面的思考，多角度多方位分析問題、解決問題.既有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造思維，又有利于培養(yǎng)他們的發(fā)散思維，達(dá)到提高解決綜合能力的目的.