蔡旦利

(浙江省諸暨中學(xué)，311800)

構(gòu)造法是一種重要的數(shù)學(xué)解題方法,它是通過(guò)觀察,抓住問(wèn)題的特征,聯(lián)想熟悉的、簡(jiǎn)單的和直觀的數(shù)學(xué)問(wèn)題和數(shù)學(xué)模型,然后將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造新的數(shù)學(xué)模型來(lái)達(dá)到解題的目的.本文以“構(gòu)造距離”證明不等式為例，分類進(jìn)行探究.

一、一定點(diǎn)到直線上點(diǎn)的距離

例1已知a,b∈R,且a+b+1=0,求證:(a-2)2+(b-3)2≥18.

二、 兩定點(diǎn)到直線上點(diǎn)的距離之和

三、一定點(diǎn)到直線和點(diǎn)的距離比較

證明現(xiàn)將原不等式兩邊同除以a2+b2,然后兩邊開(kāi)平方，得

四、構(gòu)造 一定點(diǎn)到曲線上點(diǎn)的距離

例4求證:對(duì)任意θ∈R,恒有(3+2sinθcosθ)2+(sinθ+cosθ)2≥4.

(3+2sinθcosθ)2+(sinθ+cosθ)2=[0-(-sinθ-cosθ)]2+[2-(-1-2sinθ·cosθ)]2可看作是定點(diǎn)(0,2)到曲線y=-x2上點(diǎn)的距離d的平方.如圖4，結(jié)合圖象可得dmin=2,證畢.

五、一定點(diǎn)到區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的距離

六、直線上的點(diǎn)與曲線間的點(diǎn)之間的距離

七、曲線間點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離

綜上可知，構(gòu)造距離來(lái)解決不等式問(wèn)題,需要足夠的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，較強(qiáng)的觀察轉(zhuǎn)化能力、綜合運(yùn)用能力和創(chuàng)造能力.解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題目提供的條件,深入分析問(wèn)題,找出已知和所證之間的聯(lián)系,使解題另辟蹊徑,水到渠成.構(gòu)造距離是非常靈活的,不能生搬硬套,但可以嘗試尋找不等式的特征.因此，在構(gòu)造距離解決不等式的過(guò)程中,首先得明確構(gòu)造的目的,即為什么構(gòu)造;其次弄清問(wèn)題的特點(diǎn),以便確定構(gòu)造的方案.