由一題多解探討含有絕對(duì)值恒成立問題的幾種解法

曹興陽(yáng) 胡翠英

【摘要】

在高三的復(fù)習(xí)中，有一類壓軸問題——含有絕對(duì)值不等式恒成立時(shí)求參數(shù)取值范圍問題.這類問題對(duì)于大部分學(xué)生來說是一個(gè)難點(diǎn).本文著重從一道試題入手采用多種方法進(jìn)行解析，歸納出處理形如|f（x，a）|≥g（x）或|f（x，a）|≥g（a）恒成立時(shí)求參數(shù)問題的一般方法，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，樹立數(shù)學(xué)思想意識(shí).

【關(guān)鍵詞】絕對(duì)值;恒成立;參數(shù);一題多解

在近幾年江蘇省高考中不等式問題常以壓軸題的形式出現(xiàn)，常見的題型有恒成立、有解問題等.此類題型豐富多變，綜合性強(qiáng)，有一定的難度，但只要我們理解問題的本質(zhì)，就能輕松地解決這類問題.常用的知識(shí)點(diǎn)如下：

我們經(jīng)常遇到滿足某不等式恒成立的求參數(shù)取值范圍的問題，而處理這類問題通常有兩種基本方法：一、求不等式對(duì)應(yīng)函數(shù)的最值，以此來求參數(shù)的取值范圍;二、將不等式進(jìn)行等價(jià)變形——參數(shù)分離，從而構(gòu)造新的函數(shù)，通過求新函數(shù)的最值來確定參數(shù)的取值范圍.

那么如果遇到恒成立問題中不等式含有絕對(duì)值，且絕對(duì)值中含有參數(shù)又該怎么辦？一般地，對(duì)于含有絕對(duì)值的函數(shù)問題學(xué)生處理起來比較棘手，原因在于涉及絕對(duì)值的函數(shù)其本質(zhì)是由兩個(gè)函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù).而此時(shí)既有絕對(duì)值，又有參數(shù)的這種問題就難上加難.

本文就一道含有絕對(duì)值恒成立的求參數(shù)取值范圍的問題進(jìn)行多種數(shù)學(xué)方法的解析，歸納出不等式形如：|f（x，a）|≥g（x）或|f（x，a）|≥g（a）恒成立的求參數(shù)的一般方法，進(jìn)而通過多種方法實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的融合與貫通，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解與應(yīng)用.

例1

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-a|-a.若對(duì)任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍.

分析：例題中如果不含絕對(duì)值，即將絕對(duì)值符號(hào)變成小括號(hào)，這就是屬于滿足某不等式恒成立的求參數(shù)取值范圍的問題，我們可以直接采取以上兩種基本方法中的任意一種進(jìn)行處理.然而對(duì)于本題不能如此操作的關(guān)鍵就在于含有絕對(duì)值.因此，去絕對(duì)值就是解決這類問題的第一步.

雖然數(shù)學(xué)問題的解析方法很多，涉及的知識(shí)看起來雜亂，但教師在教學(xué)實(shí)踐中，通過一題多解，從不同的角度分析問題，有助于學(xué)生將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)關(guān)聯(lián)起來，提高學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，有效培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

【參考文獻(xiàn)】

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