高云凱， 馬 超， 劉 哲， 田林靂

(1. 同濟大學 汽車學院， 上海 201804； 2. 武漢理工大學 現代汽車零部件技術湖北省重點實驗室， 武漢 430070； 3. 武漢理工大學 汽車零部件技術湖北省協同創(chuàng)新中心， 武漢 430070)

符號說明

a—截距矢量

A—M維矩陣

B—H鋼截面寬度

[d]—鋼結構撓度容許值

d—節(jié)點z向位移

di—第i個指定節(jié)點的z向位移

dmax—最大z向節(jié)點位移

d(pi,N,R)—pi,N與R之間的最小Euclidean距離

fi(x)—第i個目標函數

Fi—第i個支配層級

Fl—臨界非支配層級

g(x)—指定函數

gide—理想點

gi,min—第i個目標維度的最小值

gi—第i維目標軸

gi(pj)—個體pj的第i維目標值

h—H鋼截面高度

i—任意整數

j—任意整數

jR—參考點

k—任意整數

K—整數

L—網架上相鄰焊接球節(jié)點的間距

m—結構總質量

M—目標函數個數

nI—迭代次數

nS—非支配解數量

N—種群規(guī)模

p—當前迭代的Pareto解集

pmax,i—距離第i維目標軸最近的個體

pi,N—pN中的個體

pj,k—個體pj中的第k個元素

pN—歸一化后的Pareto最優(yōu)解集

Pt—t次迭代的父代種群

q—每一維目標均勻分割的段數

Qt—t次迭代的子代種群

r—工藝圓角

R—均勻分布在超平面上的參考點集

Rt—第t次迭代合并后的種群

s—指定整數

St—存放個體的臨時解集

t1—腹板厚度

t2—翼緣厚度

t3—無縫鋼管壁厚

vi—設計變量

V—設計變量集合

xi—處于[0,1]的隨機數

γC—交叉概率

γM—變異概率

ε—指定極小值

Φ—無縫鋼管外徑

ρjR—與參考點jR相關聯的個體數

σmax—結構中的最大應力

ω—權重向量

ωi—第i個目標函數的權重向量

ωi，k—ωi中的第k個元素

鋼結構具有自重輕、強度高、施工周期短等優(yōu)點，被廣泛應用于建造工業(yè)廠房、橋梁、公共服務設施等大型建筑.該類建筑體積龐大、結構復雜，采用傳統(tǒng)方法進行結構設計時，存在周期長、效率低、結構性能指標和建造成本難以平衡等問題.因此，研究大型鋼結構的優(yōu)化設計方法具有重要意義.

離散拓撲優(yōu)化主要是指以桁架和剛架結構為主的桿系結構的拓撲優(yōu)化，該方法可以在概念設計階段提出創(chuàng)新構型，改變結構設計中依賴經驗設計的缺點.但離散拓撲優(yōu)化存在設計變量高度非線性、變量耦合等數值問題[1]，且優(yōu)化時間過長，容易陷入局部最優(yōu).近年來，以遺傳算法 (GA)為代表的進化算法具有可處理離散設計變量、支持并行計算等特點，全局搜索能力和穩(wěn)健性較好[2-3]，使得其在離散拓撲優(yōu)化中獲得廣泛應用.Pan等[4]、Assimi等[5]和孫仁范等[6]改進了搜索方法和基因操作方法，提高GA的收斂性.Wang等[7]使用GA研究考慮抗震性能的離散拓撲優(yōu)化，將離散拓撲優(yōu)化拓展到了動態(tài)領域.

但GA計算效率低下，難以處理多目標優(yōu)化問題[8-9].為此，Deb等[10]通過引入Pareto最優(yōu)概念、精英保留策略和擁擠度比較算子，先后提出了第1代非支配排序遺傳算法 (NSGA)和第2代非支配排序遺傳算法 (NSGA-II)，提高計算效率的同時增加了解空間的多樣性，使優(yōu)化易于收斂至全局最優(yōu).高云凱等[11]和Ho-huu等[12]改進了個體選擇機制，使得處于解空間臨界區(qū)域的優(yōu)異個體得以保留，提高了NSGA-II處理離散拓撲優(yōu)化的收斂性.但胡浩等[13]的研究發(fā)現，隨著設計變量的增多，NSGA-II的收斂速度顯著降低.

實際工程優(yōu)化問題大多是包含多個目標函數 (目標函數個數大于3)的高維多目標優(yōu)化(MOO)問題，如包含質量、位移、應力、固有頻率等多個目標函數.使用NSGA-II 求解MOO問題時，隨著目標函數數量的增多，非支配解的數量呈指數級增長，互不支配的可能性急劇上升，使得優(yōu)化過程難以收斂[14].其次，由于目標函數數量較多，保持種群中優(yōu)異個體的精英保留策略將會顯著降低計算效率，因此 NSGA-II 并不適合求解MOO問題.近年來，基于參考點的多目標進化算法通過將目標空間分解為多個子空間，并行地搜索每個子空間，在提高求解MOO問題計算效率的同時，增加了解空間的多樣性.據此，Deb等[15]又提出了基于參考點的第3代非支配排序遺傳算法(NSGA-III).但實際應用 NSGA-III 求解離散拓撲優(yōu)化時，發(fā)現優(yōu)化不收斂.本文在 NSGA-III 的基礎上，提出新型極值點選擇算法，以期穩(wěn)定個體歸一化過程，提高 NSGA-III 的收斂性.基于測試函數和工程實例，比較 NSGA-III 和改進的 NSGA-III (mNSGA-III)的性能.

1 mNSGA-III

NSGA-III 流程如圖1所示.

圖1 NSGA-III流程

NSGA-III 流程可概述為：

第1步初始化種群，種群中的個體根據相互間的支配關系分為若干層級.對種群中的所有個體進行歸一化，并關聯至參考點，關聯過程將在后文詳細介紹.

第2步通過選擇、交叉、變異等基因操作產生子代種群.

第3步合并父代種群和子代種群，再次進行非支配排序、個體歸一化和關聯操作.

第4步修剪合并的種群，把修剪后的種群作為下一次迭代的父代種群.迭代循環(huán)往復，直至達到預先設定的收斂條件，輸出Pareto最優(yōu)解集.

NSGA-III 的算法流程與NSGA-II 相似，但保持種群個體多樣性的選擇機制由擁擠度比較算子變?yōu)榛趨⒖键c的個體選擇機制，NSGA-III 的個體選擇機制如下.

1.1 非支配排序

假設當前迭代步Pt中的個體數量為N，記為|Pt|=N.通過基因操作生成Qt，|Qt|=N.合并父代種群和子代種群，即Rt=Pt∪Qt.對Rt進行非支配排序，Rt分為多個非支配層級 (F1,F2, …).按層級高低將各個非支配層級中的個體逐次加入St，直到|St|≥N.最后一個加入St的非支配層級記為Fl，不包含Fl層的解集記為Pt+1=St/Fl.

1.2 生成參考點

圖2 參考點示意圖

優(yōu)化過程中，將當前種群中的個體映射到參考點所在的歸一化的超平面上 (即對個體進行歸一化)，以個體和參考點的距離，決定該個體是否進入下一次迭代.首先，找出種群中所有個體在各個目標維度上的gi, min，獲得gide=[g1,min…gi,min…]作為解空間的零點，即種群中所有個體減去gide或稱解空間沿gide平移.

1.3 新型極值點選擇算法

解空間平移后，找出解空間中的極值點，以構建極限平面.Deb等[15]提出的極值點選擇公式如下：

ASF(p,ω)=argmin(max(pj./ωi))

(1)

i∈[1,M]

對于M維多目標優(yōu)化問題，通過式 (1)可以獲得M個極值點，即M個M維向量[p1p2…pM]T.當這M個極值點各不相同 (即M個M維向量線性無關)時，由這些極值點可構建唯一的M-1維極限平面，如圖3所示.

圖3 極值點構建的極限平面

極限平面與各個目標軸的交點和理想點之間的距離，即為各個目標軸的截距.記極限平面與第i個目標軸的截距為ai，截距矢量記為a=[a1a2…aM]，將種群中所有個體各個維度的目標值分別除以相應目標軸的截距，即完成個體的歸一化.

但實際應用時，發(fā)現部分迭代出現一個或多個個體，同時最接近兩個或兩個以上目標軸的現象.這時求得的M個M維向量線性相關，獲得的極值點能夠創(chuàng)建無數個M-1維極限平面，無法確定唯一的截距矢量，個體歸一化過程不穩(wěn)定，優(yōu)化過程難以收斂.為此，針對M維多目標離散拓撲優(yōu)化問題，提出新型極值點選擇算法：優(yōu)化過程中，選擇第i維目標的極值點時，將當前迭代種群中的所有個體根據其第i維目標值降序排列，選擇第i維目標值最大的個體作為極值點；若該pj已經被選為極值點，則選擇第i維目標值次之的個體作為極值點，以此類推.這種算法避免了重復選擇同一個個體作為極值點，因此能夠確保獲得唯一的極限平面，新型極值點的選擇算法偽代碼如算法1所示.

1.4 個體歸一化

根據求得的截距矢量，個體的歸一化可表示為

(2)

執(zhí)行歸一化操作后，種群中的個體即映射到參考點所在的歸一化超平面上.由于優(yōu)化過程中，每一次迭代都會進行個體的歸一化和極限平面的構建，所以NSGA-III 在優(yōu)化過程中始終能夠保持種群的多樣性，從而有效求解MOO問題.

算法1新型極值點選擇算法

輸入:p

輸出: 矩陣A=[pmax，1pmax，2…pmax,M]

1.A=?

2. fori=1 toMdo

3.j=1

∥種群中個體根據第i維目標函數值降序排列

4. sequence=sort(p,gi)

5.pmax,i=sequence[1]

6. whilepmax,iinA

7.j=j+1

8.pmax,i=sequence[j]

9. end while

10.A=A∪pmax,i

11.end for

1.5 個體關聯至參考點

將參考點與理想點連接起來，即定義了一簇參考線.計算歸一化以后的個體到各個參考線的距離，并將個體關聯至距其最近的參考線所屬的參考點，關聯過程如圖4所示.

圖4 個體關聯操作示意圖

1.6 選擇個體

1.7 算法比較

為驗證所提mNSGA-III 的綜合性能，使用NSGA-III[15]和mNSGA-III 求解MOO領域中通用的SDTLZ1測試函數[17]，該函數為線性多模態(tài)函數，主要用于測試算法的收斂能力.兩種算法都是在配置Intel i5，8 GB內存，3.1 GHz主頻處理器，64 bit Win10操作系統(tǒng)的計算機上運行.SDTLZ1測試函數如下所示：

(3)

由式(3)可以知道，測試函數的M=3.取q=4，N=500，最大迭代步數設置為100，γC=0.7，γM=0.4.

圖5 NSGA-III與mNSGA-III 非支配解數量的迭代歷程

由兩種算法獲得的非支配層級最高的非支配解數量迭代曲線如圖5所示.非支配解的進化歷程表明，由mNSGA-III 獲得的非支配解數量增長穩(wěn)定.而NSGA-III 即使處理SDTLZ1函數這種使用連續(xù)設計變量的多目標優(yōu)化問題，也在部分迭代出現極值點重復選擇的情況，算法無法穩(wěn)定構建極限平面，非支配解數量出現振蕩.因此，盡管兩種算法均在第40次迭代左右使非支配層級最高的非支配解數量達到最大值，但使用mNSGA-III 的優(yōu)化過程更穩(wěn)定.

100次迭代后，由兩種NSGA-III 算法獲得的Pareto最優(yōu)解集和SDTLZ1函數的理想Pareto最優(yōu)解集如圖6所示.由mNSGA-III 獲得的Pareto最優(yōu)解集更接近測試函數的理想Pareto最優(yōu)解集，而由NSGA-III 獲得的Pareto最優(yōu)解集與理想Pareto最優(yōu)解集仍有一定的距離.綜上所述，對于MOO問題，mNSGA-III 的優(yōu)化過程穩(wěn)定且收斂速度更快.

圖8 白車身焊裝生產平臺優(yōu)化區(qū)域示意圖(m)

圖6 SDTLZ1函數的理想Pareto最優(yōu)解集以及由NSGA-III、mNSGA-III 獲得的Pareto最優(yōu)解集

2 拓撲優(yōu)化模型

某汽車生產線焊裝車間為鋼結構柱、柱間支撐和屋面焊接網架組成的鋼結構體系.因生產需要，廠房屋面下部設置有白車身焊裝生產平臺，用來承載白車身自動化輸送設備——滾床.生產平臺通過吊桿與上輔梁相連，上輔梁與屋面焊接網架中的焊接球節(jié)點相連.吊桿和上輔梁的數量及布置受生產線布局、成本和屋面網架的承載能力限制，設計時需要合理的布置桿件，以同時滿足性能和成本要求.使用mNSGA-III 對生產平臺進行離散拓撲優(yōu)化，白車身焊裝生產平臺結構如圖7所示.

圖7 白車身焊裝生產平臺結構示意圖

2.1 生產平臺結構及其有限元模型

待建白車身焊裝生產平臺的總規(guī)劃面積為120 m×144 m，如圖8(a)所示.若對其進行完整建模，模型單元數量較大，計算效率較低.由于該生產平臺被x向和y向間距均為24 m的鋼結構柱均勻分割為多個子模塊，各模塊承載基本一致，所以選擇其中一個子模塊D作為優(yōu)化區(qū)域，模塊D的面積為24 m×24 m，如圖8(b)所示.區(qū)域內共設有18個輸送滾床，每個輸送滾床的額定載荷為300 kg，滾床自重200 kg，平臺上的其他附屬設備按照40 kg/m2的面密度進行加載.該生產平臺系改擴建工程，出于維護性和成本方面的考慮，各類桿件使用的型材規(guī)格與既有生產平臺一致，型材規(guī)格如表1所示.符號生產平臺使用的型材材質為Q235鋼.

在不影響生產線運行及考慮各節(jié)點連接方式合理性的前提下，在優(yōu)化區(qū)域中盡可能多設置上輔梁、吊桿及平臺層梁形成基結構，離散拓撲優(yōu)化就是在該基結構中尋找最優(yōu)桿件組合.所有桿件使用梁單元離散，以進一步提高計算效率.不同桿件之間使用剛性連接單元連接，在滾床的質心處以及平臺其他相應部位設置質量單元，以模擬白車身焊裝生產平臺的實際受力情況.基結構的有限元模型如圖9(a)所示，模型中共有218根桿件，單元數量為 7 486，基結構總質量為40.996 t.

表1 型材規(guī)格(mm)

基結構有限元模型在重力作用下的位移云圖如圖9(b)所示.由圖9(b)可知，基結構中的最大z向位移為 -0.40 mm.靜力學分析結果表明，此模型可用于優(yōu)化分析.

圖9 基結構有限元模型及其靜力學分析位移云圖

2.2 拓撲設計變量

優(yōu)化過程中，為了避免因桿件刪除導致的功能缺失或出現自由桿件，平臺層邊框處及支承輸送滾床的平臺層梁不作拓撲設計變量，其余部件均作為拓撲設計變量.如圖9(a)所示，圖中黑色線條表示作為拓撲設計變量的桿件，優(yōu)化過程中可刪除；灰色線條表示作為非拓撲設計變量的桿件，優(yōu)化過程中不可刪除.作為拓撲設計變量的桿件共有162個，包含所有拓撲設計變量的集合以V表示.

2.3 拓撲優(yōu)化數學模型

生產平臺的拓撲優(yōu)化屬于概念設計階段的結構優(yōu)化，為了盡可能發(fā)掘出最優(yōu)結構設計方案，本研究將通常作為約束函數的位移響應和應力響應作為目標函數.優(yōu)化時，以m、σmax以及各個滾床質心處和平臺層邊框處共計26個節(jié)點 (圖8(b)中的實心圓點)的di最小作為目標函數，對應的數學模型可表示為

(4)

式中：當vi=0時，表明桿件i被刪除；當vi=1時，則表明桿件i保留在有限元模型中.位移是表示結構局部性質的度量，不能全面反映結構的性能.因此，在優(yōu)化區(qū)域中選擇26個節(jié)點，并以其在重力作用下的z向位移評估結構的整體剛度性能.

3 拓撲優(yōu)化程序

采用二進制編碼對種群中的個體 (對應于生產平臺的結構設計方案)進行描述，即每一個個體均由一個162位的二進制編碼來表達.若桿件i不在個體p1中，則表示p1的二進制編碼，其第i位數字為0，否則為1.使用MATLAB對二進制編碼進行解碼，若桿件i在個體中，則將表示桿件i的梁單元寫入對應當前個體的bdf格式文本文件 (即結構設計方案的有限元模型)，反之則不寫入.編碼、解碼及輸出有限元模型的過程如圖10所示.輸出有限元模型以后，即調用有限元軟件MSC.Nastran計算bdf文件，并讀取有限元分析結果.

優(yōu)化結束后，輸出最后一代種群中非支配層級最高的所有個體對應的有限元模型供設計人員篩選、決策，以提高設計效率.生產平臺離散拓撲優(yōu)化流程如圖11所示.

圖10 編碼、解碼及輸出有限元模型示意

圖11 生產平臺離散拓撲優(yōu)化流程

4 結果分析

適當選擇交叉概率和變異概率可在保證較高計算速率的同時，維持種群的多樣性[18].取γC=0.7，γM=0.4.由于生產平臺離散拓撲優(yōu)化具有28個目標函數，所以，每個維度目標分割段數取較小值，即可得到足夠多的參考點.為平衡計算代價和優(yōu)化設計效果，取q=2，即生成406個參考點.通過數值試驗及參考相關研究[11]，最大迭代次數和種群規(guī)模均設定為100.

由NSGA-III 和mNSGA-III 獲得的非支配層級最高的非支配解數量迭代歷程如圖12所示.由圖12可知，NSGA-III 求解離散拓撲優(yōu)化時，非支配解的數目出現嚴重的振蕩.而mNSGA-III 計算過程穩(wěn)定，且優(yōu)化收斂速度較快.該結果表明新型極值點選擇算法能夠有效構建極限平面，穩(wěn)定個體的歸一化過程，利于優(yōu)化收斂.

圖12 非支配解數量迭代歷程

由于所研究的白車身焊裝生產平臺拓撲優(yōu)化問題目標函數多達28個，Pareto最優(yōu)解集是28維的超越空間，所以無法使用Pareto最優(yōu)解集來比較算法的優(yōu)劣.選取Zitzler等[19]提出的反向世代距離(IGD)綜合比較NSGA-III 和mNSGA-III 的收斂性和個體多樣性.IGD為一個無量綱值，可表示為

(5)

式中： |R|為參考點的個數.IGD越小，表明多目標優(yōu)化算法的收斂性和種群多樣性越好.經計算，使用NSGA-III 進行優(yōu)化，IGD為 0.475 4；使用mNSGA-III 進行優(yōu)化，IGD為 0.110 9.因此，mNSGA-III 的收斂性和種群多樣性優(yōu)于NSGA-III.

由于種群規(guī)模較大，設計變量較多，為便于決策，首先根據個體的目標函數值進行初步篩選，如去除最大應力超出材料屈服極限的個體，然后輸出剩余個體的有限元模型進行觀察和選擇.使用NSGA-III 和mNSGA-III 獲得的結構設計方案、靜力學分析位移云圖及應力云圖如圖13～15所示.由圖13可知，基結構中，沿y向布置的上輔梁因為對減小z向位移和最大應力的影響不大，但對減小結構質量較為靈敏，因此優(yōu)化后被完全去除.與圖13(a)展示的設計方案相比，圖13(b)中各類桿件的布置更規(guī)律，更符合工程實際需求.綜合圖14和15可以發(fā)現，通過mNSGA-III 獲得的結構設計方案的最大位移和最大應力均小于通過NSGA-III 獲得的結構設計方案.圖14(a)和15(a)中不規(guī)律的桿件布置導致結構局部位移增大，應力分布不均勻.

優(yōu)化前后結構的總質量、最大應力及最大z向位移如表2所示.生產平臺優(yōu)化后，結構總質量分別降至28.624 t和28.681 t，降幅分別為30.2%和30.1%.但通過mNSGA-III 獲得的設計方案最大z向位移和最大應力分別為-1.92 mm和18.84 MPa，均小于通過NSGA-III 獲得的設計方案.《鋼結構設計規(guī)范》[20]針對所研究的生產平臺一類的鋼結構，設立的容許撓度值為[d]≤L/400.此處L=6 000 mm，即結構中的最大z向位移小于設計規(guī)范要求的容許撓度；結構中的最大應力也遠小于材料的屈服極限——235 MPa.因此，通過mNSGA-III 優(yōu)化獲得的結構設計方案滿足剛度和強度要求.

圖13 由NSGA-III 與mNSGA-III 獲得的設計方案對比

圖14 由NSGA-III 與mNSGA-III 獲得的設計方案位移云圖

圖15 由NSGA-III 與mNSGA-III 獲得的設計方案應力云圖

表2 優(yōu)化前后生產平臺的性能對比

5 結語

采用第3代非支配排序遺傳算法對白車身焊裝生產平臺進行離散拓撲優(yōu)化，提出一種新型極值點選擇算法，通過穩(wěn)定個體歸一化過程，有效地解決了NSGA-III 收斂性差的問題.

測試函數和工程實例表明：相較于NSGA-III，mNSGA-III 求解MOO問題時，具有收斂速度快、優(yōu)化過程穩(wěn)定、種群多樣性更好等優(yōu)點；mNSGA-III 求解獲得的生產平臺設計方案，桿件布置更合理，結構力學性能更優(yōu)異.相較于基結構，優(yōu)化后結構總質量降低了30.1%.相較于傳統(tǒng)的依賴經驗的結構設計方法，MATLAB集成MSC.Nastran軟件編制的離散拓撲優(yōu)化程序，簡化了決策過程，提高了設計效率.所提出的mNSGA-III 可有效解決更符合工程實際的MOO問題，為大型鋼結構的優(yōu)化設計提供了新的技術途徑.