中職數(shù)學(xué)三角函數(shù)最值問(wèn)題分析

劉寶坤

【摘要】數(shù)學(xué)是職業(yè)院校的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課.在工作實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的最大值問(wèn)題是教學(xué)難點(diǎn)之一.本文結(jié)合實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，對(duì)三角函數(shù)最大值問(wèn)題的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了分析，介紹了解決三角函數(shù)最大值問(wèn)題的一些教學(xué)策略，希望為同行教學(xué)提供一些參考.

【關(guān)鍵詞】中職數(shù)學(xué);三角函數(shù);最值問(wèn)題

一、中職數(shù)學(xué)求解三角函數(shù)最值問(wèn)題教學(xué)研究

（一）求解三角函數(shù)的最值問(wèn)題的前提條件

1.了解三角函數(shù)性質(zhì)和圖像問(wèn)題

要想快速準(zhǔn)確地解答三角函數(shù)的最值問(wèn)題，我們就必須熟練掌握常見(jiàn)的三角函數(shù)的性質(zhì)和曲線(xiàn)形態(tài)，比如，對(duì)三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)、周期性質(zhì)、單調(diào)性質(zhì)、奇偶性質(zhì)、取值范圍、定義范圍等有一個(gè)準(zhǔn)確的了解，并能夠利用函數(shù)來(lái)表達(dá)它們，體現(xiàn)基于圖像描述函數(shù)性質(zhì)的能力.

例 已知原函數(shù)為y=cos 2x，求將圖像向左平移π4個(gè)單位，同時(shí)向上平移1個(gè)單位后的函數(shù)表達(dá)式.

解 把原函數(shù)y=cos 2x的圖像向左平行移動(dòng)π4個(gè)單位以后，就需要把函數(shù)當(dāng)中的x轉(zhuǎn)變成x+π4，也就是函數(shù)表達(dá)式變化為y=cos 2x+π4=-sin 2x的圖像，緊接著把曲線(xiàn)向上平移1個(gè)數(shù)量單位，就得到了所求函數(shù)表達(dá)式：y=-sin 2x+1.

2.熟練掌握三角函數(shù)變形的方法

如果題目當(dāng)中要求取三角函數(shù)的最大值，我們所面臨的三角函數(shù)通常會(huì)是多個(gè)單一三角函數(shù)的組合相加或者相乘等，整個(gè)函數(shù)看起來(lái)相當(dāng)復(fù)雜，所以我們需要學(xué)會(huì)對(duì)復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行變形，能夠?qū)⒑瘮?shù)化簡(jiǎn).要掌握這種化簡(jiǎn)方法，首先需要熟練掌握三角函數(shù)的基本變形公式，比如和差公式、倍半公式等，繼而歸納三角函數(shù)的變換方法，使求三角函數(shù)最大值問(wèn)題的方法更加豐富.

（二）常用求解數(shù)學(xué)三角函數(shù)最值的方法

1.換元法

換元法是將復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的函數(shù)問(wèn)題，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解. 這種方法不僅限于三角函數(shù)的內(nèi)部轉(zhuǎn)換，還可以將非三角函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為三角函數(shù)問(wèn)題.

例 三角函數(shù)為y=sin xcos x+sin x+cos x，求該函數(shù)最大值.

這道題的核心思路就是把三角函數(shù)求解最值的問(wèn)題變換為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，進(jìn)而使問(wèn)題化簡(jiǎn).

例 已知α為銳角，求函數(shù)y=1sin α+33cos α的最小值.

用換元法求y的最小值，先令t=sin α，則該式轉(zhuǎn)化為y=1t+331-t2（0

f′（t）=-1t2+33t（1-t2）3，令f′（t）=0，求解得t=12∈（0，1），當(dāng)0

f′（t）>0，此時(shí)函數(shù)f（t）是遞增函數(shù).所以當(dāng)t=12時(shí)，f（t）取得最小值[f（t）]min=f12=8，因此，當(dāng)sin α=12，y取得最小值ymin=8.

顯然，這是一個(gè)非常有代表性的題目，對(duì)學(xué)生鍛煉數(shù)學(xué)思維敏感性和邏輯思維能力很有幫助.學(xué)生只有充分掌握三角函數(shù)的基本概念和求解方法，才能掌握換元法解決問(wèn)題的思想.

2.配方法

此方法是將公式中的一些定量項(xiàng)轉(zhuǎn)換為一個(gè)或多個(gè)項(xiàng)，從而簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題.

例 已知函數(shù)y=5sin x+cos 2x，求出這個(gè)三角函數(shù)的最值.

解 因?yàn)閥=5sin x+（1-2sin 2x）=-2sin 2x+5sin x+1=-2sin x-542+338.

由于-1≤sin x≤1，所以當(dāng)sin x=-1，也就是x=2nπ-π2，n∈Z時(shí)，ymin=-2×8116+338=-6.

當(dāng)sin x=1時(shí)，也就是x=2nπ+π2，n∈Z時(shí)，ymax=-2×116+338=4.

針對(duì)三角函數(shù)的最值問(wèn)題，利用配方的方法來(lái)解答有時(shí)能夠事半功倍，在這里需要著重強(qiáng)調(diào)的是不要簡(jiǎn)單地把三角函數(shù)最值和求取二次函數(shù)最值相互等價(jià)起來(lái)，要注意轉(zhuǎn)化后二次函數(shù)的值域.比如上面的例題當(dāng)中，假如ymax=338，就會(huì)有等式sin x=54，就會(huì)有sin x大于1的矛盾出現(xiàn)，因此需要注意自變量的取值范圍.

在三角函數(shù)范圍的求解中，最常用的是配方法，因此學(xué)生應(yīng)該掌握它.在職業(yè)數(shù)學(xué)課程中的二次方程式教學(xué)中，首次出現(xiàn)了用配方法解決問(wèn)題的思想.三角函數(shù)最大值問(wèn)題的求解中，也采用了配方法.因此，使用中最容易出現(xiàn)的問(wèn)題是混淆三角函數(shù)和二次函數(shù)，教師應(yīng)在教學(xué)中提醒學(xué)生注意這個(gè)問(wèn)題.

3.單調(diào)性法

有一些特定的三角函數(shù)定義域比較廣，僅僅利用函數(shù)圖像是不能夠很好地解答的，這個(gè)時(shí)候，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性能夠方便地解答三角函數(shù)最值問(wèn)題.

例 求y=sin x+2sin x（0

解 令sin x=t，則函數(shù)變?yōu)閥=t+2t，考量其在區(qū)間（0，1]上的單調(diào)遞減性.

因?yàn)?

4.利用多方法綜合求解

例 求函數(shù)y=（sin x+1）（cos x+1）的值域.

分析 把題目中的函數(shù)多項(xiàng)式展開(kāi)得到y(tǒng)=sin xcos x+sin x+cos x+1，此類(lèi)型可以利用三角函數(shù)的有界性進(jìn)行求解，因此可以設(shè)t=cos x+sin x，-2≤t≤2，再依據(jù)此思路逐步進(jìn)行值域求解.

解 將y=（sin x+1）（cos x+1）展開(kāi)，得y=sin xcos x+sin x+cos x+1，

設(shè)t=cos x+sin x，-2≤t≤2，則sin xcos x=t2-12.

此時(shí)y=t22+t+12=12（t+1）2，

所以y∈0，3+222.

二、中職學(xué)校學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)的注意事項(xiàng)

（一）牢記三角函數(shù)概念和三角函數(shù)公式

針對(duì)三角函數(shù)最值的探究，最根本的就是要準(zhǔn)確熟練地掌握三角函數(shù)表達(dá)式的圖像以及三角函數(shù)的一些變形公式.掌握三角函數(shù)的基本表達(dá)式和相關(guān)的變形公式是快速解答所有三角函數(shù)問(wèn)題的前提條件.在對(duì)學(xué)生進(jìn)行三角函數(shù)教學(xué)時(shí)，要讓學(xué)生對(duì)整個(gè)知識(shí)概念了如指掌，同時(shí)要讓學(xué)生在腦海中構(gòu)建一張有關(guān)三角函數(shù)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).如果學(xué)生能夠達(dá)到這樣的要求，那么他們?cè)诮獯鹑呛瘮?shù)問(wèn)題的時(shí)候，就能夠選擇適當(dāng)?shù)墓絹?lái)把問(wèn)題化簡(jiǎn).

（二）熟練掌握常規(guī)題型解題程序

在職業(yè)中學(xué)數(shù)學(xué)三角函數(shù)最大值問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程中，因?yàn)槿呛瘮?shù)中的繁雜題目一般都是把幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)進(jìn)行組合，為了準(zhǔn)確快速地解答問(wèn)題，教師首先要理解并掌握常見(jiàn)的基本知識(shí)、問(wèn)題類(lèi)型，然后將每個(gè)常規(guī)問(wèn)題類(lèi)型的解決過(guò)程進(jìn)行不同層次的匯總，并在教學(xué)之前對(duì)其進(jìn)行理解.

三、三角函數(shù)最值問(wèn)題的教學(xué)與反思

（一）培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主觀能動(dòng)性

由于三角函數(shù)最大值問(wèn)題的探究相對(duì)比較乏味，所以需要教師通過(guò)正確的指導(dǎo)以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的興趣，從而使學(xué)生產(chǎn)生主觀能動(dòng)性.教師要結(jié)合三角函數(shù)在實(shí)際工作生活中的應(yīng)用，讓學(xué)生產(chǎn)生想要學(xué)好三角函數(shù)的動(dòng)機(jī)，并積極主動(dòng)地開(kāi)展預(yù)習(xí)和討論三角函數(shù)問(wèn)題.

（二）利用多維教學(xué)方法充實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)

結(jié)合中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)用性，并綜合學(xué)生自身對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，在三角函數(shù)最大值的教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)采用具有獨(dú)特的職業(yè)教學(xué)特點(diǎn)的教學(xué)模式，利用多維教學(xué)方法，盡可能豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí).

（三）結(jié)合三角函數(shù)教學(xué)的實(shí)踐，不斷優(yōu)化知識(shí)記憶的方法

例如，在教學(xué)過(guò)程中，教師可以使用簡(jiǎn)單的繞口令來(lái)指導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)知識(shí)的記憶，如“奇變偶不變， 符號(hào)看象限”等，從而高效地引導(dǎo)學(xué)生深入領(lǐng)悟公式的推導(dǎo)以及應(yīng)用.

（四）簡(jiǎn)化三角函數(shù)最大值解答流程，提升三角函數(shù)最大值求解水平

教師應(yīng)充分總結(jié)三角函數(shù)最大值教學(xué)過(guò)程中的經(jīng)驗(yàn)，不斷創(chuàng)新，優(yōu)化三角函數(shù)解題思路.最有價(jià)值的問(wèn)題解決方案是最大限度地提高學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的能力.

四、結(jié)束語(yǔ)

總之，在中職數(shù)學(xué)的教學(xué)中，通過(guò)多種教學(xué)方法將三角函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行詳盡解答，使學(xué)生更好地掌握學(xué)習(xí)方法，是中職教師的終極教學(xué)目標(biāo).

【參考文獻(xiàn)】

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[2]王定.中職數(shù)學(xué)實(shí)施數(shù)形結(jié)合教學(xué)的四個(gè)路徑[J].學(xué)周刊，2017（5）：87-89.