初中數(shù)學(xué)輔助線添加技巧探究

鄭愛萍

摘要：在初中數(shù)學(xué)幾何問題解題過程中，輔助線發(fā)揮著橋梁作用。恰當(dāng)?shù)妮o助線添加能夠?qū)?fù)雜的幾何問題簡(jiǎn)單化，所以掌握輔助線添加技巧十分關(guān)鍵。本文從輔助線的含義及作用著手，詳細(xì)闡述了在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中如何有效添加輔助線。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);輔助線;添加技巧

中圖分類號(hào)：A 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

引言

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生難免會(huì)遇到一些難以突破的幾何問題。這時(shí)，添加輔助線無疑就成為數(shù)學(xué)幾何難題解決的關(guān)鍵。不同的幾何圖形有著其自身獨(dú)特的特點(diǎn)，輔助線可以將題目中的已知條件與隱藏條件加以串聯(lián)，疏通解題者的思路。

一、輔助線的含義及作用

（一）輔助線的含義

輔助線是解決初中數(shù)學(xué)幾何問題必不可少的解題手段，在初中階段數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的過程中發(fā)揮著十分重要的作用。基于原圖運(yùn)用添加直線或者線段的方式，既可以將平面幾何中相對(duì)分散的幾何元素集中化，也可以使一些不規(guī)則的圖形實(shí)現(xiàn)規(guī)則性轉(zhuǎn)化。

（二）輔助線的作用

幾何問題的解決是學(xué)生初中階段遇到的一個(gè)全新的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，兼具多樣性與嚴(yán)密邏輯性的幾何知識(shí)在整個(gè)初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中占據(jù)著十分重要的地位。部分幾何題的求解與證明，單純依靠原圖性進(jìn)行分析和探究十分繁難，這就需要借助輔助線適當(dāng)“補(bǔ)形”。原圖基礎(chǔ)上構(gòu)建新的圖形，為后續(xù)解題施以良好的鋪墊。輔助線的添加并不會(huì)導(dǎo)致原有幾何圖形的性質(zhì)發(fā)生改變，幾何圖形的形狀及其與輔助線之間的邊角關(guān)系均不會(huì)發(fā)生根本性的變化。并且添加輔助線之后，題目中一些隱藏的性質(zhì)還會(huì)隨之凸顯，借助分隔或者延伸后得到的圖形能夠幫助學(xué)生快速找到問題解決的思路與方法，以便于高效解決初中數(shù)學(xué)中的幾何問題。

二、初中數(shù)學(xué)輔助線添加技巧

（一）輔助線添加技巧

在幾何問題解決過程中，圖形不同、題目中呈現(xiàn)信息不同所畫的輔助線類型也就不同，所以在解決幾何問題時(shí)，需快速抓住題目中呈現(xiàn)或隱含的有效信息，并且掌握輔助線添加技巧。

1.仔細(xì)分析題目中隱含的信息

初中階段，大多數(shù)幾何問題題目中都隱含著一些條件信息，而準(zhǔn)確把握這些信息也就成為解題的關(guān)鍵。但是由于所需證明的結(jié)論往往與題目中既定的條件之間缺乏清晰的邏輯關(guān)系，這時(shí)候就需要適當(dāng)添加輔助線，為條件與結(jié)論之間架設(shè)“橋梁”，形成新的解題思路。在日常教學(xué)中，教師還需注重學(xué)生對(duì)幾何題目中隱含信息敏感度的培養(yǎng)與提升，幫助學(xué)生在遇到幾何問題時(shí)快速做出具有問題解決價(jià)值的輔助線。

2.以特殊點(diǎn)或線為問題解決的突破口

初中數(shù)學(xué)幾何題目中通常會(huì)存在中點(diǎn)、角平分線或者三角形中線等一些特殊的點(diǎn)或者線段，在進(jìn)行問題解決時(shí)可以以此作為突破口。解決問題時(shí)，首先需要學(xué)生熟練把握這些特殊點(diǎn)或線段的性質(zhì)，由此著手進(jìn)行輔助線的添加，幫助學(xué)生在建立邏輯關(guān)系的基礎(chǔ)上有條理地分析復(fù)雜的幾何圖形，將繁難復(fù)雜的幾何問題簡(jiǎn)單化。

3.從基本圖形中發(fā)現(xiàn)輔助線

大多數(shù)人之所以覺得幾何問題看上去十分困難，其實(shí)解題的關(guān)鍵就在于題目中那些被“故意省略”的條件，這時(shí)就需要借助輔助線化解難題。其實(shí)，在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過程中所學(xué)的每一條幾何定理都有與之相對(duì)應(yīng)的基本幾何圖形。而添加輔助線的關(guān)鍵就在于學(xué)生一方面要對(duì)這些幾何定理耳熟能詳，另一方面還需要學(xué)生準(zhǔn)確抓住這些基本圖形，從中發(fā)現(xiàn)輔助線的身影。

（二）典型例題呈現(xiàn)--以等腰三角形為例

在初中數(shù)學(xué)幾何問題中，等腰三角形是需要學(xué)生重點(diǎn)把握的特殊圖形。等腰三角形本身具有諸多幾何性質(zhì)，它是軸對(duì)稱圖形，其頂角平分線與底邊上的高及底邊中線“三線合一”，并且等腰三角形的兩底角大小相等。在進(jìn)行關(guān)于三角形問題解決的幾何題目中，就可以引導(dǎo)學(xué)生充分運(yùn)用等腰三角形的幾何性質(zhì)為著眼點(diǎn)添加輔助線。

以下題為例：在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，其中D點(diǎn)是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別為三角形AB、AC邊上的點(diǎn)，并且AF=BE。根據(jù)以上已知條件解決以下兩個(gè)問題：（1）證明DE=DF;（2）證明DE⊥DF

分析：上述題目中，從題目給出的已知條件中分析可知，△ABC是一個(gè)等腰三角形，并且已知點(diǎn)D是該等腰三角形底邊BC上的中點(diǎn)。依據(jù)等腰三角形“三線合一”的幾何性質(zhì)，可以將AD相連，繪制三角形底邊中線，在借助相關(guān)數(shù)學(xué)定義加以反推，進(jìn)而完成題目中所要證明的問題。

解：（1） ∵△ABC是等腰三角形，

∵ AB=AC ， D點(diǎn)為BC邊中點(diǎn)，連接A點(diǎn)和D點(diǎn)得出線段AD

∵ 等腰三角形底邊中線與底邊上的高以及頂角平分線三線合一

∴ AD⊥BC，并且∠BAD=∠CAD

∵ ∠BAC=90°，

∴ ∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°

∴ AD=BD

已知△AFD和△BED中，AF=BE，AD=BD，∠B=∠DAF

∴ △AFD ≌ △BED

∴ DE=DF

結(jié)語

總之，添加輔助線是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何知識(shí)的重要手段，它能夠使原本不夠清晰的解題思路變得更加直觀明了。在初中數(shù)學(xué)幾何知識(shí)教學(xué)過程中，教師首先需引導(dǎo)學(xué)生明確輔助線的含義及作用，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握輔助線添加的方法與技巧，從而利用新圖形成功找出題目中幾何圖形之間的關(guān)系或隱藏的解題條件。

參考文獻(xiàn)

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