李騰

【摘要】? 本文主要闡述如何用函數(shù)思想指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)解題，并結(jié)合當(dāng)下高中學(xué)生數(shù)學(xué)解題實(shí)際情況，首先分析函數(shù)思想概述，其次從通過函數(shù)思想處理方程問題、通過函數(shù)思想處理不等式問題、通過函數(shù)思想處理數(shù)列問題、通過函數(shù)思想處理應(yīng)用問題幾個(gè)方面深入說明并探討用函數(shù)思想指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)解題的措施，進(jìn)一步強(qiáng)化函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用，為相關(guān)研究提供參考資料.

【關(guān)鍵詞】? 函數(shù)思想;高中數(shù)學(xué);解題思考

函數(shù)思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)思想，會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)解題成效產(chǎn)生較大的作用，也是師生分析與解決問題的關(guān)鍵理念.將函數(shù)思想引入數(shù)學(xué)教學(xué)，本質(zhì)上便是以題目的內(nèi)在關(guān)聯(lián)或者某個(gè)特點(diǎn)為中心，研究其性質(zhì)或圖像，從而解決問題.在高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)是重要的組成部分，貫穿教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，尤其是最近幾年的高考題目增加了對(duì)函數(shù)知識(shí)的考查比例.所以，在實(shí)際的教學(xué)中教師要充分引進(jìn)函數(shù)思想，指導(dǎo)學(xué)生巧妙地解決數(shù)學(xué)問題.

一、函數(shù)的概念

設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x） 和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f（x），x∈A.其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域，與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）| x∈A }叫作函數(shù)的值域.

注意：

（1）“y=f（x）” 是函數(shù)符號(hào)，可以用任意的字母表示，如y=g（x）;

（2）函數(shù)符號(hào)“y=f（x）”中的f（x）表示與x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，是一個(gè)數(shù)，而不是f乘以x.

二、構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域

解決函數(shù)問題前必須準(zhǔn)確確定該函數(shù)的定義域.函數(shù)的定義域包含三種形式：

（1）自然型：指函數(shù)的解析式有意義的自變量x的取值范圍（如分式函數(shù)的分母不為零、偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù)等）;

（2）限制型：指命題的條件或人為對(duì)自變量x的限制，這是函數(shù)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)，往往也是難點(diǎn)，因?yàn)橛袝r(shí)這種限制比較隱蔽，學(xué)生解題時(shí)容易犯錯(cuò)誤;

（3）實(shí)際型：解決函數(shù)的綜合問題與應(yīng)用問題時(shí)，應(yīng)認(rèn)真考察自變量x的實(shí)際意義.

求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學(xué)問題，中學(xué)數(shù)學(xué)要求學(xué)生能用初等方法求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的值域問題，例如：

（1）配方法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)）;

（2）判別式法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程）;

（3）不等式法（運(yùn)用不等式的各種性質(zhì)）;

（4）函數(shù)法（運(yùn)用基本函數(shù)性質(zhì)或抓住函數(shù)的單調(diào)性等）.

三、通過函數(shù)思想處理方程問題

所謂方程，就是含有未知數(shù)的等式，即便與函數(shù)定義有所差異，然而兩者之間存在很大的關(guān)聯(lián).在函數(shù)中引進(jìn)解析式表示題目關(guān)系便是運(yùn)用方程的一種表現(xiàn)形式.通過函數(shù)思想解決方程問題，本質(zhì)上是將函數(shù)視為已知量為零的方程模式，從而完成數(shù)學(xué)知識(shí)的轉(zhuǎn)化，巧妙地把方程轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù).

比如在解方程的過程中，尤其是相對(duì)煩瑣的方程，通過簡(jiǎn)便的理念解決方程需要耗費(fèi)諸多的時(shí)間和精力，難度相對(duì)大一些，所以要依據(jù)函數(shù)思想，立足于函數(shù)圖像及性質(zhì)對(duì)方程的解進(jìn)行研究，從而得到正確答案.

這樣觀察函數(shù)圖像及其x軸的交點(diǎn)，就可得到所求問題的答案，m<a<b<n，因?yàn)閍<b與m<n，所以構(gòu)建函數(shù)可提高解決問題的效率.

四、通過函數(shù)思想處理不等式問題

把函數(shù)思想作用在求解數(shù)學(xué)問題上，能夠獲取一定成效.學(xué)生針對(duì)不同形式的基本函數(shù)較為熟悉，若可以深入掌握函數(shù)概念，能夠縮短解決問題的時(shí)間，提高學(xué)習(xí)效率.函數(shù)是呈現(xiàn)兩個(gè)變量之間關(guān)系的一種模型，可針對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)科不等式問題產(chǎn)生指導(dǎo)作用，故在解決不等式問題的過程中可以適當(dāng)引進(jìn)函數(shù)思想.也就是說，教師在具體教學(xué)中要讓學(xué)生樹立函數(shù)思想意識(shí)，使學(xué)生在解決問題時(shí)提高函數(shù)思想應(yīng)用質(zhì)量，提升學(xué)生學(xué)習(xí)信心.

利用函數(shù)解不等式的依據(jù)：不等式f（x）> g（x）的解集就是函數(shù)f（x）位于g（x）上方的圖像部分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值的集合.特別地，f（x）> 0的解集就對(duì)應(yīng)于f（x）的圖像位于x軸上方的部分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值的集合.此外，求解“抽象不等式”往往可借助函數(shù)的單調(diào)性或圖像.

五、通過函數(shù)思想處理數(shù)列問題

數(shù)列是按照某種順序進(jìn)行排列的一列數(shù)，同時(shí)其中任何一個(gè)數(shù)字都作為數(shù)列中的一項(xiàng)，所以在處理數(shù)列問題過程中，我們可把數(shù)列視作項(xiàng)數(shù)的一種函數(shù)，涉及的通項(xiàng)公式稱為函數(shù)公式.對(duì)于高中數(shù)學(xué)問題的解決，我們可以把數(shù)列? 視作函數(shù)，借助函數(shù)知識(shí)展開解題.

需要注意的是，函數(shù)以及數(shù)列之間存在相同點(diǎn)，函數(shù)思想本質(zhì)上是變量規(guī)律與內(nèi)在關(guān)聯(lián)的研究，以關(guān)系的研究找到數(shù)量特征，所以函數(shù)和數(shù)列之間存在通性，我們可以利用函數(shù)的性質(zhì)和圖像分析數(shù)列，兩者的區(qū)別只是連續(xù)性與離散性，在類比之下融合函數(shù)思想處理數(shù)列問題.

六、通過函數(shù)思想處理應(yīng)用問題

在具體生活中分析兩個(gè)變量的關(guān)系，特別是路程、環(huán)保和生產(chǎn)等問題，常和角度、數(shù)量及面積存在關(guān)聯(lián).這一部分應(yīng)用問題和學(xué)生生活緊密相連，也是高考考查的熱點(diǎn)問題.在處理這些問題的過程中，我們要善于找到問題中的數(shù)量關(guān)系，并借助函數(shù)解析式進(jìn)行表達(dá)，把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.解答應(yīng)用問題一般包含以下幾個(gè)步驟：（1）審題，也就是閱讀題目，明確題目結(jié)論及條件，思考被分析量之間的關(guān)系，并以符號(hào)的形式表達(dá)出來;（2）構(gòu)建模型，探索數(shù)量關(guān)系，借助函數(shù)解析式完成表達(dá);（3）解答，即借助知識(shí)與方法得到結(jié)果，并結(jié)合具體意義檢驗(yàn)結(jié)果，得到正確答案.

函數(shù)思想的形成并不是短時(shí)間內(nèi)可以實(shí)現(xiàn)的，而是需要師生之間共同努力，長(zhǎng)時(shí)間的訓(xùn)練與積累，不間斷地促使學(xué)生發(fā)展函數(shù)思想，自主通過函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題，如通過函數(shù)思想處理方程問題、通過函數(shù)思想處理不等式問題、通過函數(shù)思想處理數(shù)列問題等，在最短的時(shí)間內(nèi)獲取解決問題的最大成效，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與思維能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]易建平.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中培養(yǎng)函數(shù)思想[J].現(xiàn)代教學(xué)，2017（9）：63.

[2]涂方珍.高中數(shù)學(xué)解題中函數(shù)與方程思想的實(shí)例探究[J].數(shù)理化解題研究，2018（16）：32-33.

[3]陳海蓉.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探究[J].高考，2019（17）：194.