戴娟

【摘要】 勾股定理是數(shù)學學科中的重要定理之一，揭示了自然界中的規(guī)律.它也是數(shù)形結(jié)合的典型運用，涉及生活中的各個領域，如軍事、工業(yè)、農(nóng)業(yè)、航空、航海.所以，教師必須對其引起足夠的重視，在向?qū)W生講解勾股定理及運用的過程中，可以重點講解微命題以及微方法的應用，以此提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

【關鍵詞】 微命題;微方法;素養(yǎng)培養(yǎng);勾股定理

數(shù)學源于實際生活，數(shù)學的發(fā)展主要依賴于生產(chǎn)實踐.教師從數(shù)學應用的角度處理數(shù)學、闡釋數(shù)學、呈現(xiàn)數(shù)學，能讓學生了解到數(shù)學是有用的，數(shù)學就在我們身邊.教師可以運用勾股定理培養(yǎng)學生微命題與微方法的運用，加強學生對數(shù)學課程的認知，提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

一、判斷三角形的形狀

例1? 已知△ABC，其中a=3厘米，b=4厘米，c=5厘米，在Rt△A′B′C′中，∠C′=90°，a′=3厘米，b′=4厘米，試分析△ABC的形狀，并結(jié)合教材進行作圖.

分析? 三角形的三邊長依次為3厘米、4厘米、5厘米，這樣的設計學生較為熟悉，可以提升學生的作圖能力.在學生較為熟悉的圖形中進行練習能夠促進學生的合理思考.在教師的啟發(fā)下，學生往往能夠想到△ABC為直角三角形，由此得出∠C=90°，并通常會想到兩個三角形全等，為下一步驗證做鋪墊.

二、地基挖得合格嗎

例2? 現(xiàn)有一人準備挖地基建房，他對地基面積進行了規(guī)劃，采用長方形的設計方式，如圖1 所示，從圖中可知，AB=DC=8米，AD=BC=6米，AC=9米，判斷該設計圖是否合理.

分析? 解決這一實際問題需要用到數(shù)學中的勾股定理，要求將這一問題的解決轉(zhuǎn)化為實際問題的解答.教師可以引導學生從直角三角形的角度進行解答.

解 ∵AD2+DC2=62+82=100，AC2=92=81，

∴AD2+DC2≠AC2，∴△ADC不是直角三角形，

∴∠ADC≠90°，而標準為長方形，四個角應為直角，

故該設計圖不合理.

評注? 勾股定理的逆定理在解決實際問題中有著廣泛的應用，如用它來判定直角，在建房時，常需要在現(xiàn)場畫出直角，在沒有測量角的工具的情況下，工人常利用勾股定理逆定理得到直角.這個問題的解決讓學生感受到了數(shù)學的實用性，加深了他們對勾股定理逆定理的認知.

三、木棒能放進木箱嗎

例3? 現(xiàn)有一木箱，其長度為50厘米，寬度為30厘米，高度為40厘米.有一根木棒，其長度為70厘米，問：能將這一木棒放入這一木箱之中嗎？

分析? 木棒長70厘米，比木箱的長、寬、高均要長，從表面上看，木棒是難以直接放入木箱的，但是教師可以引導學生看到木箱是一個立體圖形，解決該問題需要學生具有一定的空間思維.

解? 木棍是能放入木箱的.如圖2，連接A1C1，AC1，在Rt△A1B1C1中，A1C21=A1B21+B1C21=502+302=3400.

在Rt△AA1C1中，AC21=AA21+A1C21=402+3400=5000.

∵5000>702，∴AC1>70，

∴70厘米長的木棒能夠放入木箱.

評注? 解決此題的關鍵在于明確AC1即為木箱所能容納的最大長度.這里充分利用了木箱各鄰邊的垂直關系，創(chuàng)造了連續(xù)運用勾股定理的條件，同時培養(yǎng)了學生的空間想象力.

這一題目的分析與解答充分利用了勾股定理，并將其運用到了空間之中.對木箱各個鄰邊的關系進行了分析后，可知木箱能夠容納的最大長度為AC1，這既體現(xiàn)了勾股定理的運用，又考查了學生的空間想象能力.

在勾股定理的運用過程中，教師應當幫助學生建立良好的微命題和微方法意識，發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)，提升學生的數(shù)學解題能力.

四、地毯鋪設所產(chǎn)生的費用問題

例4? 如圖3，現(xiàn)需要在一樓梯表面鋪設地毯，樓梯具有5米斜坡長度、3米高度，則需要準備多少長度的地毯？假設購置每平方米地毯需要30元，樓梯具有2米的寬度，則鋪設地毯需要花費多少元？

分析? 在這一題目的解答過程中，直接計算難以得出樓梯的垂直高度與水平寬度，但是通過對題干的分析，我們能夠得出BC即為樓梯的垂直高度，AC則為樓梯的水平寬度，可運用勾股定理求得AC，再計算AC+BC的長度.

解? 由題意知，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，以此能夠得出AC2=AB2-BC2=52-32=25-9=16，求得AC=4米.

因此能夠得到地毯的長度是AC+BC=4+3=7（米）.因此能夠得出地毯總面積是7×2=14（平方米）.

因此鋪設地毯所花費的費用是30×14=420（元）.

評注? 這個題目的情境充分體現(xiàn)了勾股定理在實際生活中的運用，體現(xiàn)了數(shù)學知識與實際生活運用之間的結(jié)合，要求學生結(jié)合題干所給條件構(gòu)建一個直角三角形的模型，進而求解AC的長度.

五、折疊問題求解

折疊問題主要考查的是學生空間想象能力、邏輯推理能力及相關知識的靈活運用能力，在中考中較為常見，而通過勾股定理常能夠有效解答.

例5? 如圖4，在邊長為6的正方形ABCD中，邊CD的中點為E，將△ADE沿AE對折至△AFE，并延長EF與BC相交于點G，連接AG.（1）求證：△ABG≌△AFG;（2）求BG的長度.

分析? 本題考查了勾股定理、折疊問題、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等，將勾股定理運用到其中能夠有效解答折疊問題.在解題過程中，可利用正方形的性質(zhì) 尋找相應的直角與相等的邊.

解答? （1）∵ABCD為正方形，

∴∠B=∠D=90°，AD=AB.

通過折疊，能夠得到

AD=AF，∠AFE=∠D=90°.

因此可得到∠AFG=90°，AF=AB，可得∠AFG=∠B.

結(jié)合AG=AG，

即證得△ABG≌△AFG.

（2）如圖5，通過△ABG≌△AFG，

可得BG=FG.

假設BG=FG=x，可得GC=6-x.

由E為CD中點，可得CE=EF=DE=3，

因此可得EG=x+3，

則32+（6-x）2=（x+3）2，

解得x =2，

因此BG=2.

六、兩船距離問題

例6? 現(xiàn)有兩艘輪船分別以不同的速度沿著不同的方向行駛，其中一船向東南方向行駛，速度為16海里 時，另一船向西南方向行駛，速度為12海里 時，經(jīng)過一個半小時的行駛之后，兩船之間相距多遠？

分析? 結(jié)合題干所給條件畫出示意圖如圖6，可知兩船之間具有90°夾角，經(jīng)過一個半小時的行駛之后，可采用勾股定理求解兩船之間的距離.

解? 兩船行駛方向中，西南方向表示南偏西45°，東南方向表示南偏東45°，因此可知在兩船行駛過程中，OA，OB方向構(gòu)成直角關系，據(jù)此計算，可知OB=12×1.5=18（海里），OA=16×1.5=24（海里），將AB兩點連接，△AOB為直角三角形，運用勾股定理能夠得出AB2=AO2+BO2=242+182=900.

因此得出AB=30（海里）.

故兩艘輪船在行駛一個半小時之后相距30海里.

評注? 解決航海問題的關鍵在于正確畫出幾何圖形，找出直角三角形，應用勾股定理來解決.

在求解兩船行駛以及兩車行駛產(chǎn)生的距離問題時，可以結(jié)合題意先作出圖形，找出直角三角形，然后運用勾股定理進行求解.本題是一道航海應用題，解題的關鍵是要準確找出所解直角三角形，其次要弄清題意，找出已知條件和所求對象.

七、家具能搬入房間嗎

例7? 圖7是某家具（轉(zhuǎn)角書櫥）的橫截面，請設計一個方案（已知書櫥高2米，房間高2.6米，故不從高度方面考慮方案設計），按如

圖8所給的長廊搬入房間，在圖8中把你的設計方案畫出草圖，并說明理由.（注：搬動過程中不可拆卸家具，不得損壞墻壁）

分析? 如圖9中的設計方案說理圖，作直線AB，延長DC交AB于E，由題意，在等腰直角三角形ACE中，CE=0.5，DE=DC+CE=2.過D作DH⊥AB于H，則DH=DE·? 2 []2 = 2 .

∵ 2 <1.5，∴可按圖9中的設計方案圖將家具從長廊搬入房間.

評注? 這是一道源于生活的實際問題，重點在于考查學生的綜合運用能力、解決實際問題的探究和創(chuàng)新能力，本題反映了生活中上的實際情況，很有創(chuàng)意，不但體現(xiàn)了用數(shù)學的眼光看世界，也體現(xiàn)了用數(shù)學的思維解決實際問題.

八、通過對勾股定理的總結(jié)，提升學生的核心素養(yǎng)

學生已經(jīng)掌握了勾股定理a2+b2=c2的含義，所有的 直角三角形均能夠用此關系式表示邊的關系，無論多長的邊均可以用這一公式進行表示，字母a，b，c代表了直角三角形的各個邊長，a，b，c只是一個符號，也可以將其表示為x2+y2=z2.

對勾股定理的證明可以采用面積法，即趙爽弦圖，在代數(shù)式之間的恒等關系證明上可以采用對幾何圖形進行截、割、拼、補等方式.面積法在數(shù)學多個領域中均有重要的運用，包括射影定理的證明、直角三角形斜邊高的求解等.通過對勾股定理及其證明方法的運用，學生對勾股定理的認知有了進一步加深，具備了良好的解題能力.教師通過對勾股定理的總結(jié)，可指導學生對勾股定理進行靈活運用，在課程學習中逐步滲透數(shù)學本質(zhì)，提高學生的核心素養(yǎng).

九、結(jié)束語

在日常教學過程中，老師將生活中常見的現(xiàn)象以數(shù)學的形象呈現(xiàn)出來，具有很強的直觀性，學生會感覺到數(shù)學無處不在，也充分體現(xiàn)了“應用數(shù)學解決實際問題能力的考查”.以上幾題都是勾股定理的應用題，解題時教師要指導學生將實際問題中的數(shù)量關系歸結(jié)為直角三角形中元素間的關系，即把實際問題抽象成數(shù)學模型（構(gòu)造直角三角形），根據(jù)直角三角形中的邊角關系求解.解題時應注意：（1）分析題目，通過作圖找出或構(gòu)建要解的直角三角形（或特殊四邊形，如梯形）;（2）選擇合適的邊角關系，簡化運算.

勾股定理在實際生活中有著較為廣泛的運用，在教學過程中，教師可以從微命題和微方法的角度加強學生對勾股定理的認知，促使他們在正確理解定理含義的基礎上正確解題，以此提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

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