李慧敏 范學(xué)禎 于貴龍 杜自成

(西安電子工程研究所 西安 710100)

0 引言

彈道測量是武器裝備試驗(yàn)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，是武器裝備效能分析的一種重要手段[1-3]。直線擬合是彈道測量數(shù)據(jù)處理的一種常見處理方式，它適用于量程短、射速快，在量程范圍內(nèi)飛行軌跡近似為直線的彈道目標(biāo)。

最小二乘法是用于直線擬合的一種常見方法[4]，其應(yīng)用的主要前提是自變量無噪聲、只有因變量為隨機(jī)變量。當(dāng)自變量、因變量都具有誤差時(shí)，直接運(yùn)用最小二乘進(jìn)行直線擬合，將導(dǎo)致較大的擬合誤差。文獻(xiàn)[5-6]將自變量、因變量中的噪聲看作是對(duì)真值的擾動(dòng)，其中文獻(xiàn)[5]進(jìn)行了詳盡的理論分析，文獻(xiàn)[6-7]提出了總體最小二乘法，并討論了通過奇異值分解法進(jìn)行求解的過程。文獻(xiàn)[8]中介紹了“戴明解法”，該法以測量點(diǎn)到擬合直線的垂直距離的平方和的最小值作為約束條件，可以比較精確的進(jìn)行直線擬合。

文獻(xiàn)[5-8]雖然考慮了自變量、因變量均包含誤差的情況，但均認(rèn)為二者的誤差是互相獨(dú)立的，對(duì)于常見的彈道測量設(shè)備，其測量在極坐標(biāo)系下完成，而直線擬合在直角坐標(biāo)系下進(jìn)行，坐標(biāo)變換環(huán)節(jié)使得測量噪聲互相耦合，直角坐標(biāo)系下的各個(gè)坐標(biāo)值中的誤差互相不獨(dú)立。當(dāng)各坐標(biāo)值的誤差互相不獨(dú)立時(shí)，直接進(jìn)行直線擬合將引入新的問題，本文將對(duì)此進(jìn)行分析，并提供解決思路。

1 最小二乘直線擬合的誤差分布

對(duì)于雷達(dá)來說，量測一般在極坐標(biāo)下進(jìn)行，然后轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系下進(jìn)行直線擬合。以兩坐標(biāo)雷達(dá)為例，量測值為(R,θ)，分別代表目標(biāo)距離和方位。量測誤差的標(biāo)準(zhǔn)差分別為σR和σθ，二者統(tǒng)計(jì)獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。由極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系

(1)

求導(dǎo)可得直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)系的坐標(biāo)值x,y的誤差函數(shù)為

(2)

可見x,y均為隨機(jī)變量。最小二乘的目的是根據(jù)x的測量值Xn=x1,x2,…,xnT、以及y的測量值Yn=y1,y2,…,ynT來確定x,y之間的關(guān)系y=ax+b，其中a,b為待估計(jì)的參量?？倻y量噪聲ωi由xi的測量噪聲ωxi、yi的測量噪聲ωyi兩部分組成

yi+ωyi=axi+ωxi+b

(3)

則

yi-axi-b=aωxi-ωyi=-Ricosθi+aRisinθiσθ-sinθi-acosθiσR

(4)

由式(4)可知，總測量噪聲ωi=aωxi-ωyi。觀測點(diǎn)xi,yi處的總測量噪聲的方差為

(5)

(6)

可見觀測點(diǎn)處的總測量噪聲的方差和距離Ri、角度θi有關(guān)。總測量噪聲協(xié)方差矩陣Cn為

(7)

若目標(biāo)角度θi隨距離Ri的變化較小，即θi≈θ基本保持不變，則式(7)可進(jìn)一步簡化為

(8)

2 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系法提高最小二乘擬合精度

圖1 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系法最小二乘的直線擬合執(zhí)行流程

旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系法最小二乘的直線擬合步驟如下：

1)求取目標(biāo)角度均值α，然后在極坐標(biāo)系下對(duì)測量值順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α，使目標(biāo)角度處于0°方向附近；

2)由極坐標(biāo)系變換至直角坐標(biāo)系，并進(jìn)行最小二乘直線擬合；

3)將擬合結(jié)果由直角坐標(biāo)系變換至極坐標(biāo)系，然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α，得到原坐標(biāo)系下的擬合值。

3 仿真計(jì)算

通過蒙特卡洛仿真來驗(yàn)證算法性能，仿真參數(shù)設(shè)定如表1所示。

表1 仿真參數(shù)配置

設(shè)定目標(biāo)不同的飛行角度，每個(gè)角度分別進(jìn)行1000次蒙特卡洛仿真。仿真結(jié)果如下：

圖2中，“帶◇”曲線為直接進(jìn)行最小二乘直線擬合的平均偏差，較平滑虛線曲線為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系法最小二乘直線擬合的平均偏差。目標(biāo)角度越大，前者的平均偏差越大，而后者的平均偏差隨角度基本保持不變且始終保持較小值。仿真結(jié)果與前文的推論相符合。

圖2 外推點(diǎn)角度偏差均值

目標(biāo)角度為75°時(shí)，兩種方法的誤差散布圖如圖3所示。

圖3 兩種擬合方法的誤差散布圖

從圖3可以看出，旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系法最小二乘的誤差在0°上下平均分布，屬于無偏的擬合方法。而直接的最小二乘方法的平均誤差偏離了0°，屬于有偏的擬合方法，其擬合誤差的均值大于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系法最小二乘。

4 結(jié)束語

由極坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系的非線性變換，導(dǎo)致直角坐標(biāo)系下的總測量噪聲與目標(biāo)角度相關(guān)。通過旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系法，可將直角坐標(biāo)系下的總測量噪聲最小化，從而提高最小二乘法的彈道直線擬合精度。仿真結(jié)果同時(shí)表明：由于直角坐標(biāo)系下的各個(gè)坐標(biāo)值誤差互相不獨(dú)立，直接的最小二乘方法為有偏估計(jì)，目標(biāo)角度偏離0°越遠(yuǎn)(在-90°～90°范圍內(nèi))，擬合的平均偏差越大；旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系法最小二乘接近于無偏估計(jì)，且擬合誤差不隨目標(biāo)角度變化而變化。當(dāng)目標(biāo)角度接近0°時(shí)，直接的最小二乘方法的擬合平均偏差很小，因此在實(shí)際彈道測量中難以察覺出該偏差。