李芳

摘 要：數(shù)學(xué)概念具有對(duì)象和過(guò)程的兩重性，它既是邏輯分析的對(duì)象，又是具有現(xiàn)實(shí)背景和豐富寓意的數(shù)學(xué)過(guò)程[1]。因而，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)既要讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)概念的本質(zhì)，也應(yīng)該讓學(xué)生體驗(yàn)到概念的形成過(guò)程。本節(jié)課以APOS理論為載體進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，符合當(dāng)前的教學(xué)趨勢(shì)，能夠?yàn)楦拍罱虒W(xué)提供一些借鑒。

關(guān)鍵詞：概念; APOS理論; 教學(xué)設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：G623.5 ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1006-3315（2021）1-100-002

一、APOS理論概述

APOS理論是美國(guó)數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基基于皮亞杰的建構(gòu)主義而提出的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論，指出學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)會(huì)主動(dòng)地進(jìn)行心理建構(gòu)。這里的心理建構(gòu)過(guò)程包含操作階段（Action）、過(guò)程階段（Process）、對(duì)象階段（Object）、圖式階段（Schema）四個(gè)階段，APOS則是由這四個(gè)階段的英文單詞首字母組成。該理論認(rèn)為，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如果引導(dǎo)學(xué)習(xí)者經(jīng)過(guò)活動(dòng)操作、思維過(guò)程和形成對(duì)象三個(gè)階段后，個(gè)體一般就能經(jīng)過(guò)建構(gòu)、反思把它們組成綜合的圖式從而厘清問(wèn)題情境、順利解決問(wèn)題[2]。這四階段對(duì)于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)缺一不可，忽略任何一個(gè)階段都會(huì)影響學(xué)生對(duì)概念的掌握，所以在具體教學(xué)活動(dòng)中要遵循概念學(xué)習(xí)過(guò)程的整體性以實(shí)現(xiàn)概念的完整建構(gòu)。

APOS理論主要是針對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)而提出的。理論強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，首先要有一定的現(xiàn)實(shí)背景，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行活動(dòng)，從而獲得一定的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，在自我反思的基礎(chǔ)上對(duì)概念的現(xiàn)實(shí)背景和形式定義進(jìn)行綜合，建構(gòu)起數(shù)學(xué)概念[3]。這四個(gè)階段都有著各自的內(nèi)容和含義，也可以說(shuō)每一階段的概念教學(xué)，教師都有相對(duì)應(yīng)的教學(xué)任務(wù)。在活動(dòng)階段，教學(xué)活動(dòng)可以從實(shí)際的動(dòng)手操作或者內(nèi)在的思維操作兩個(gè)方面入手，讓學(xué)生建立初步的認(rèn)知;在過(guò)程階段，教師可以適當(dāng)延長(zhǎng)對(duì)此部分的教學(xué)，耗時(shí)多一點(diǎn)，可以有助于學(xué)生掌握住這個(gè)概念的核心內(nèi)涵;在對(duì)象階段，可以通過(guò)設(shè)置練習(xí)，讓學(xué)生形成完整的知識(shí)鏈，進(jìn)行更高層次的操作;最后的圖式階段，教師則應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生自主建立圖式，完成對(duì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)。

二、APOS理論指導(dǎo)下《比的認(rèn)識(shí)》概念教學(xué)的前期分析

（一）運(yùn)用APOS理論進(jìn)行比的認(rèn)識(shí)的可行性

1.學(xué)生學(xué)習(xí)“比”的困難分析。比的知識(shí)可以幫助學(xué)生解決生活中廣泛應(yīng)用的按比分配的實(shí)際問(wèn)題，比例又有助于人們更好地認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界、預(yù)測(cè)未來(lái)。小學(xué)六年級(jí)是學(xué)生首次接觸比的概念，雖然有的學(xué)生在生活中已經(jīng)接觸或使用過(guò)比，并且有與之相關(guān)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，但是學(xué)生對(duì)比的理解僅僅停留在形式上，學(xué)生理解起比的意義比較困難。

在“比的認(rèn)識(shí)”的初步認(rèn)識(shí)教學(xué)中，學(xué)生感到困難的地方在于要經(jīng)歷從具體的情境中抽象出比的意義的過(guò)程。例如，學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)中“長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之間的比”“正方形周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)的比”“斜坡的比”等是不夠豐富抽象出概念的，可以結(jié)合現(xiàn)實(shí)背景運(yùn)用“路程、時(shí)間、速度”和“總量、單價(jià)、數(shù)量”這兩個(gè)非常重要的模型，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合數(shù)量關(guān)系的理解，豐富對(duì)比的認(rèn)識(shí)。

2.APOS理論的自身優(yōu)越性。APOS理論的活動(dòng)階段讓學(xué)生在反復(fù)的操作中形成對(duì)數(shù)學(xué)概念的感性認(rèn)識(shí)，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的形象思維能力;程序階段注重學(xué)生自身的心理建構(gòu)，在不斷反思抽象過(guò)程中有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力與反思意識(shí);對(duì)象階段需要將數(shù)學(xué)概念壓縮成具體的對(duì)象去實(shí)施運(yùn)算，培養(yǎng)六年級(jí)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用意識(shí)、應(yīng)用能力;圖式階段學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)概念的整理、歸納，刺激學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展，并且在不斷建構(gòu)數(shù)學(xué)概念體系過(guò)程能夠提升六年級(jí)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。在比的概念學(xué)習(xí)中，學(xué)生首先通過(guò)現(xiàn)實(shí)情境或者操作感知比的概念，在頭腦中建立起對(duì)“比”的初步的表象，接著用語(yǔ)言去歸納總結(jié)出比的概念，并進(jìn)一步理解比的意義，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行應(yīng)用。由此可以看出，APOS理論適用于比的認(rèn)識(shí)的概念教學(xué)。

（二）教學(xué)內(nèi)容分析

《比的認(rèn)識(shí)》是北師大版數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，這部分是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)分?jǐn)?shù)的意義以及分?jǐn)?shù)的除法的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的。由于剛一接觸“比”，學(xué)生真正理解并記住比的概念會(huì)非常的困難，因而教材中密切聯(lián)系了學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，設(shè)置了相關(guān)系列情境，引發(fā)了學(xué)生的討論與思考，并在此基礎(chǔ)上抽象出比的概念，使學(xué)生體會(huì)引入比的重要性以及在現(xiàn)實(shí)生活之中比的廣泛存在。這一系列情境的設(shè)置由淺入深地引導(dǎo)學(xué)生在獨(dú)立思考、實(shí)際操作以及合作交流中，體會(huì)生活中存在兩個(gè)數(shù)量之間“比”的關(guān)系，并且逐步理解“比”產(chǎn)生的背景，理解“比”的意義。掌握比的概念和意義，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓周率、百分?jǐn)?shù)、統(tǒng)計(jì)以及比例奠定基礎(chǔ)。掌握比的概念需要進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)和除法的認(rèn)識(shí)，溝通起來(lái)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，有利于學(xué)生把相關(guān)知識(shí)發(fā)展梳理成連貫的脈絡(luò)。

（三）教學(xué)目標(biāo)分析

在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)之前，首先要明確一個(gè)問(wèn)題：學(xué)習(xí)者能夠通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)學(xué)會(huì)什么？教學(xué)目標(biāo)的設(shè)置能夠很好地回答這一問(wèn)題。教學(xué)目標(biāo)既是教學(xué)設(shè)計(jì)的目的，也是前提條件。因此我們需要對(duì)研究對(duì)象的教學(xué)目標(biāo)有一個(gè)清晰的把握。

知識(shí)與技能目標(biāo)：經(jīng)歷從具體情境中抽象出“比”的過(guò)程，理解比的意義，能正確讀寫比，會(huì)求比值;過(guò)程與方法目標(biāo)：學(xué)生經(jīng)歷探索比與分?jǐn)?shù)、除法關(guān)系的過(guò)程，理解比與除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系;情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：學(xué)生在活動(dòng)中培養(yǎng)分析、綜合、抽象、概括的能力，在解決實(shí)際問(wèn)題中體會(huì)比在生活中的廣泛應(yīng)用，感受比的價(jià)值。

（四）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：比的概念理解

教學(xué)難點(diǎn)：理解比的意義以及比與分?jǐn)?shù)、除法的關(guān)系

三、APOS理論下《比的認(rèn)識(shí)》的教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）活動(dòng)階段

1.創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣。師：一天，笑笑到王阿姨家做客，王阿姨用蜂蜜和水調(diào)了一杯蜂蜜水給她喝，甜味適中，非常美味。幾天后，笑笑家來(lái)了幾位好朋友，她也想調(diào)制蜂蜜水用來(lái)招待客人?？墒?，蜂蜜水應(yīng)該怎么泡呢？她打電話給王阿姨，王阿姨說(shuō)：“我是把10毫升蜂蜜倒入90毫升的水里，上下?lián)u晃均勻，就可以了?！?/p>

2.聯(lián)系舊知，引入概念。師：這一杯甜度適中的蜂蜜水是怎樣調(diào)制的呢？最重要的是什么呢？

師：大家找到調(diào)制蜂蜜水的方法這么多，蜂蜜的量在變，水量也在變，為什么調(diào)制出的蜂蜜水依舊“甜味適中剛剛好”呢？

【設(shè)計(jì)意圖】活動(dòng)階段，個(gè)體通過(guò)一步一步的外顯性指令去改變一個(gè)客觀的數(shù)學(xué)對(duì)象。教師通過(guò)具體的生活情境引發(fā)學(xué)生思考，使學(xué)生真實(shí)的感受到“比”在生活中的真實(shí)存在。本環(huán)節(jié)一方面使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，達(dá)到更好的教學(xué)效果;另一方面又能聯(lián)系以前學(xué)過(guò)的知識(shí)表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，同時(shí)也為新知“比”也可以表示兩個(gè)量之間的關(guān)系做了鋪墊。

（二）過(guò)程階段

1.動(dòng)手操作，加深理解。師：用圖示表示“1[∶]9”深化理解。分一分，涂一涂表示出這個(gè)比。從這幅圖中你還能想到誰(shuí)和誰(shuí)的比是1[∶]9？

2.類比聯(lián)結(jié)，內(nèi)化概念。師：從剛才的探究中，我們確實(shí)可以看出，比就是表示倍數(shù)關(guān)系。同時(shí)呀，只要是兩個(gè)數(shù)是相除的關(guān)系都可以用比來(lái)表示。回顧我們之前所學(xué)過(guò)的知識(shí)，你能想到那些可以用比來(lái)表示的例子呢？

師：總價(jià)÷數(shù)量=單價(jià)，路程÷速度=時(shí)間等這些都可以用比來(lái)表示。具體來(lái)說(shuō)，例如總價(jià)÷數(shù)量=單價(jià)，總價(jià)是18元，數(shù)量是4個(gè)，這時(shí)我們說(shuō)總價(jià)和數(shù)量的比是9[∶]2。

師：每一個(gè)比值又分別表示什么？比有時(shí)表示倍數(shù)關(guān)系，有時(shí)又可以表示一種具體的量。

【設(shè)計(jì)意圖】過(guò)程階段，當(dāng)活動(dòng)經(jīng)過(guò)多次的反復(fù)訓(xùn)練，進(jìn)而被學(xué)習(xí)者所熟知，可以內(nèi)化為一種稱為“程序”或“過(guò)程”的心理操作。在這個(gè)階段，我們要設(shè)置由淺到深的問(wèn)題，不斷的引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，通過(guò)對(duì)比聯(lián)結(jié)，使學(xué)生進(jìn)一步完善對(duì)比的認(rèn)識(shí)。在概括比的意義時(shí)，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了比與除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系，使學(xué)生對(duì)比的意義的本質(zhì)有所理解。一方面引導(dǎo)學(xué)生自己的語(yǔ)言來(lái)概括自己對(duì)“比”的理解，另一方面類比聯(lián)結(jié)使學(xué)生對(duì)“比”的本質(zhì)進(jìn)一步內(nèi)化。

（三）對(duì)象階段

1.概念總結(jié)，鞏固練習(xí)。師：剛剛我們一起研究了“比”的相關(guān)知識(shí)，你能用自己的話來(lái)說(shuō)一說(shuō)你是怎么理解“比”的嗎？同學(xué)們說(shuō)了這么多自己的想法，有很多相同點(diǎn)。老師已經(jīng)呈現(xiàn)在黑板上了，誰(shuí)能結(jié)合板書的內(nèi)容，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述你認(rèn)識(shí)的“比”？生活中也有豐富的“比”，你發(fā)現(xiàn)了嗎？可以嘗試舉例嗎？

師：找生活中的比，例如，人民幣與美元的匯率是6.7150，國(guó)旗的長(zhǎng)與寬的比是3[∶]2，嬰兒的頭長(zhǎng)與身高的比大約是1[∶]4。生活中的比是廣泛存在的。

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)象階段，將基礎(chǔ)概念或概念組按嚴(yán)謹(jǐn)?shù)年P(guān)系連接詞，組成目標(biāo)概念出現(xiàn)在學(xué)習(xí)者頭腦中，并對(duì)其實(shí)施各種心理操作的過(guò)程。設(shè)置突出概念本質(zhì)的變式訓(xùn)練以及解決實(shí)際問(wèn)題的綜合練習(xí)，有助于幫助學(xué)生鞏固本節(jié)課的所學(xué)，將孤立的知識(shí)點(diǎn)串接起來(lái)形成知識(shí)鏈。

（四）圖式階段

師：同學(xué)們，一節(jié)課就要結(jié)束了，通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)你們都收獲了什么呢？生活中有豐富的數(shù)學(xué)，希望同學(xué)們都能夠用心地去發(fā)現(xiàn)去探索。

【設(shè)計(jì)意圖】圖式階段，是概念教學(xué)的最后一個(gè)環(huán)節(jié)，也是學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)和提升的環(huán)節(jié)。此時(shí)學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行高級(jí)的加工和心理表征，形成了對(duì)“比”的知識(shí)圖式，建構(gòu)起完整的知識(shí)鏈。通過(guò)總結(jié)，幫助學(xué)生從多種角度理解“比”，鞏固所學(xué)的知識(shí)，建立知識(shí)間的聯(lián)系。

四、教學(xué)設(shè)計(jì)反思

本次選取的《比的認(rèn)識(shí)》第一課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)安排遵循了APOS理論從活動(dòng)到過(guò)程、到對(duì)象，最后到圖式的概念建構(gòu)步驟。首先創(chuàng)設(shè)具體的情境，通過(guò)情境激發(fā)學(xué)生的興趣，初步引入概念，使學(xué)生形成初步的感性認(rèn)識(shí)。接著教師引導(dǎo)學(xué)生將操作活動(dòng)轉(zhuǎn)化了內(nèi)隱的心理活動(dòng)，提煉成數(shù)學(xué)語(yǔ)言。通過(guò)對(duì)操作活動(dòng)的反思，學(xué)生可以嘗試著將頭腦中內(nèi)隱的活動(dòng)過(guò)程表達(dá)出來(lái)，理解“比”的本質(zhì)及意義。再通過(guò)概念總結(jié)，設(shè)置解決實(shí)際的問(wèn)題，鞏固所學(xué)。最后由教師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)梳理，幫助同學(xué)由感性認(rèn)識(shí)逐步上升到理性認(rèn)識(shí)，形成自我對(duì)比的認(rèn)識(shí)的心理圖式。

APOS理論適用于小學(xué)概念的教學(xué)，應(yīng)用范圍是有限制的，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該仔細(xì)研讀教材，選擇合適的內(nèi)容進(jìn)行APOS理論下的教學(xué)設(shè)計(jì)。其具體的應(yīng)用不僅要體現(xiàn)在教學(xué)設(shè)計(jì)的教學(xué)環(huán)節(jié)，還要深入到各階段教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)方法上，不應(yīng)該死板的按照四個(gè)階段;同時(shí)，APOS理論不能割裂開(kāi)來(lái)，應(yīng)利用教學(xué)目標(biāo)指導(dǎo)教學(xué)步驟的設(shè)計(jì)，內(nèi)在也要體現(xiàn)APOS的內(nèi)涵。

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