基于矩陣方程的齒輪點蝕發(fā)生與擴展模擬*

溥 江，趙 鑫，張秀華，

(1.貴州民族大學(xué)機械電子工程學(xué)院，貴陽 550025；2.貴州大學(xué)機械工程學(xué)院，貴陽 550025 )

0 引言

齒輪是機械設(shè)備中最重要的部件之一，通過齒面接觸傳遞動力，其傳動性能取決于齒面接觸狀況。由于惡劣的工作環(huán)境、較高的工作負(fù)載、長時間的運轉(zhuǎn)，齒輪易出現(xiàn)點蝕等失效模式。齒輪表面的損壞會降低時變嚙合剛度(time-varying mesh stiffness,TVMS)，因此齒輪齒面點蝕的嚴(yán)重與否可以通過TVMS的減小量來衡量。

上述大部分研究都是將點蝕作為規(guī)則形狀進(jìn)行的，這并不能客觀體現(xiàn)真實點蝕對時變嚙合剛度帶來的影響。本文提出一種基于矩陣模擬點蝕發(fā)生與擴展的方法，將模擬點蝕與真實發(fā)生點蝕形狀相對應(yīng)，應(yīng)用改進(jìn)勢能法分析了點蝕擴展對TVMS的影響，為后續(xù)繼續(xù)研究點蝕變化規(guī)律提供一種手段。

1 三類實際齒面點蝕與點蝕模擬方法

1.1 三類實際點蝕齒面

齒輪由于表面材料的去除導(dǎo)致嚙合時有效接觸面積減小，從而使嚙合剛度發(fā)生減小，嚙合剛度的變化是沖擊與動載荷產(chǎn)生的原因。齒輪點蝕由于形成原因不同，其形狀、位置、深度也不盡相同。而大部分學(xué)者在研究齒輪點蝕時將點蝕形狀模擬為規(guī)則圖形，圓形、矩形、橢圓形、V形等。然而規(guī)則的形狀只能模擬特定的情況，不能代表所有點蝕，應(yīng)用規(guī)則形狀來模擬點蝕雖然會使計算變得簡單，但可能會導(dǎo)致較大的計算誤差。

圖1為幾種齒面點蝕，圖1a為規(guī)則形狀橢圓形點蝕。圖1b為不規(guī)則形狀點蝕，圖1c[11]為節(jié)線附近正態(tài)分布多點蝕坑點蝕,這類點蝕通常是由于節(jié)線下方區(qū)域油膜厚度較低，且為齒頂與齒根接觸區(qū)域，應(yīng)力集中較為明顯，潤滑油進(jìn)入微小裂紋形成裂紋，裂紋擴展形成微點蝕，當(dāng)多個微點蝕連接時，點蝕會在節(jié)線下方一定區(qū)域擴展、增多，隨著運行時間增長，附近輪齒上也會相繼出現(xiàn)這種點蝕。

(a) 規(guī)則形狀點蝕 (b) 不規(guī)則形狀點蝕

(c) 節(jié)線附近正態(tài)分布多點蝕坑點蝕圖1 三種點蝕

1.2 點蝕模擬方法

以3個二維n階方陣x(i,j)、y(i,j)、z(i,j)分別代表沿齒厚方向矩陣、齒寬方向矩陣、齒高方向矩陣。提出一種基于該3個方陣的變化用于模擬點蝕發(fā)生與擴展程度的方法。即任一矩陣數(shù)值發(fā)生變化時表示曲面在相對應(yīng)的方向上發(fā)生變化，利用這種原理可以模擬點蝕發(fā)生與擴展。即當(dāng)齒面發(fā)生點蝕時，點蝕向著齒厚方向生長，致使齒厚矩陣發(fā)生變化。

齒輪齒面為漸開線，由于漸開線的發(fā)生線沿基圓滾過的長度等于基圓上被滾過的弧長的特性，齒輪得以正確嚙合。漸開線齒廓方程為式(1)

(1)

其中，φ為漸開線發(fā)生線與基圓切點與圓心連線與漸開線起始點與圓心連線的夾角，rb為漸開線基圓半徑。

為了在模擬點蝕發(fā)生與擴展時點蝕在齒面上的各個位置上的幾率相同。由于齒面為弧面，需將齒面沿漸開線弧長方向等弧長離散。根據(jù)平面曲線弧長公式求得漸開線弧長為：

(2)

則沿漸開線方向等弧長離散的每個微元長度為：

(3)

第i個微元對應(yīng)的角度φi為：

(4)

則等弧長離散后的漸開線方程為式(5)：

(5)

依照上述模擬方法畫出齒輪齒面如圖2a所示，圖2b為真實三維齒面模型。

(a) 模擬齒面(b) 真實齒面圖2 齒面對比

點蝕會在齒面上發(fā)生，面積在齒面上逐漸變大，深度向著齒厚方向逐漸加深。為了模擬點蝕，首先建立一個n×n的零矩陣作為點蝕矩陣的初始矩陣，如圖3a所示。將該矩陣與齒厚方向矩陣相加得到未發(fā)生點蝕時的齒面方程，當(dāng)齒輪發(fā)生點蝕時點蝕矩陣一部分值發(fā)生變化，如圖3b所示，數(shù)值變化大小相當(dāng)于點蝕坑在該位置的深度，將該矩陣與齒厚方向矩陣相加，得到點蝕齒面方程。

(a) 健康齒面點蝕矩陣 (b) 發(fā)生點蝕后的點蝕矩陣

模擬得到的點蝕齒面如圖4a，圖4b為齒面發(fā)生矩形點蝕的真實情況，兩圖對比可發(fā)現(xiàn)該方法可以較為準(zhǔn)確的模擬齒面點蝕。通過對點蝕矩陣設(shè)置不同的算法，從而模擬不同形狀、位置的點蝕，而不是僅限于矩形，這樣會與真實情況更為接近。對點蝕矩陣進(jìn)行迭代，模擬點蝕生長。

(a) 矩形點蝕模擬 (b) 真實矩形點蝕齒面圖4 矩形點蝕對比

2 勢能法計算嚙合剛度

勢能法計算點蝕狀態(tài)下的TVMS如下：

(17)

(18)

(19)

(20)

其中，E為彈性模量，Ix為面積慣性矩，Ax為輪齒截面積，α1為任一時刻壓力角。式中各參數(shù)計算如下[11]：

(2)

由式(17)～式(20)可知當(dāng)齒輪發(fā)生點蝕時接觸線長減少量為ΔL，橫截面積減小量為ΔAx，面積慣性矩減小量為ΔIx，其余參數(shù)不變。

圖5 齒輪點蝕部位橫截面積示意圖

圖5中dx為齒面發(fā)生點蝕后圖形中心軸偏移量，則面積慣性矩變化量ΔIx計算方法如下：

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

式中，Ix為原圖形相對于x軸的慣性矩，Ix2為截面積少了橢圓形bco時相對于x軸的慣性矩，Ix′為截面積少了橢圓形bco時相對于軸線偏移dx后的慣性矩。

3 點蝕擴展與嚙合剛度計算

點蝕面積擴展速率與運行時間呈正比關(guān)系,齒輪受力越大點蝕擴展速度越快。當(dāng)點蝕面積超過50%時，齒輪失效。

點蝕成長形狀：點蝕體積與直徑的2.1次方呈正比關(guān)系υ∝D2.1，點蝕深度與直徑的0.1次方呈正比關(guān)系h∝D0.1。點蝕坑的深度在達(dá)到極限值后停止發(fā)生變化，點蝕的面積會持續(xù)擴大[7]。

齒面點蝕由于制造誤差、安裝誤差、后期運行、潤滑等原因出現(xiàn)的形狀、位置各不相同。在實際情況中點蝕很少會形成規(guī)則圖形，大部分研究為了便于計算將點蝕模擬為圓形或橢圓形，橢圓形點蝕生長代碼流程見表1，模擬點蝕如圖6a所示，此圖與圖1a相對應(yīng)。圖6b～圖6d為點蝕矩陣迭代100、300、500次的結(jié)果，為點蝕的生長過程，隨著迭代次數(shù)增加，點蝕面積逐漸變大，點蝕深度在增加到一定深度后不再發(fā)生變化。

表1 橢圓形點蝕矩陣控制MATLAB代碼流程

(a) 橢圓形點蝕 (b) 迭代100次點蝕

(d) 迭代300次點蝕 (e) 迭代500次點蝕圖6 橢圓形點蝕生長

齒面點蝕的形狀通常為不規(guī)則的，而且隨著運行環(huán)境的不同，點蝕不會朝著同一個方向擴展，而是以原有點蝕坑為中心向著四周以不同的速率生長。此類點蝕模擬MATLAB代碼與橢圓形點蝕類似，只是將表1中3行代碼修改為如表2所示，其余代碼不變。圖7a為不規(guī)則形狀點蝕，此點蝕對應(yīng)圖1b的不規(guī)則形狀點蝕。圖7b～圖7d為點蝕矩陣迭代100、300、500次的結(jié)果，點蝕形狀會根據(jù)點蝕矩陣迭代次數(shù)不同而變化。

表2 不規(guī)則點蝕矩陣控制MATLAB代碼流程

(a) 任意形狀點蝕 (b)迭代100次點蝕

(c) 迭代300次點蝕 (d)迭代500次點蝕圖7 任意形狀點蝕生長

點蝕通常不會單個出現(xiàn)，當(dāng)點蝕出現(xiàn)時，其附近會更容易出現(xiàn)新的點蝕，通常情況下，點蝕的深度、面積會逐漸增大，附近也會相繼出現(xiàn)新的點蝕，直至齒輪失效。而這類點蝕主要會在應(yīng)力較大的地方出現(xiàn)，點蝕沿節(jié)線附近生長，節(jié)線附近點蝕坑較深、面積較大，遠(yuǎn)離節(jié)線處，點蝕面積小，深度淺。此類點蝕代碼流程見表3。點蝕模擬如圖8a，此圖對應(yīng)圖1c的情況,圖8b～圖8d為此類點蝕生長過程。

表3 節(jié)線附近正態(tài)分布多點蝕坑點蝕矩陣MATLAB代碼流程

續(xù)表

(a) 節(jié)線附近點蝕 (b) 迭代100次點蝕

(c) 迭代300次點蝕 (d) 迭代500次點蝕圖8 節(jié)線附近點蝕生長

圖9 正態(tài)分布點蝕

4 幾種點蝕TVMS對比

以橢圓形點蝕為例，隨著點蝕面積逐漸增大，深度加深，TVMS降低越來越快。圖10a與文獻(xiàn)[4]得出曲線數(shù)值、趨勢相同，得以驗證本文所述方法準(zhǔn)確性。圖11b為同樣大小點蝕，出現(xiàn)位置不同時的TVMS曲線。由圖可知，勢能法計算點蝕齒輪嚙合剛度并不能得出點蝕在齒寬方向位置信息；在齒高方向，點蝕越靠近單齒嚙合區(qū)中部，嚙合剛度降低越多，越靠近齒根或齒頂，嚙合剛度降低越少。

(a) 不同面積深度點蝕

(b) 不同位置點蝕圖10 幾種不同情況TVMS對比

對比不規(guī)則點蝕與節(jié)線附近正態(tài)分布多點蝕坑點蝕的TVMS，得出結(jié)論與橢圓點蝕相同。

5 結(jié)論

基于矩陣方程提出一種橢圓形、不規(guī)則形狀、節(jié)線附近正態(tài)分布多點蝕坑點蝕模擬方法，根據(jù)點蝕發(fā)生機理與擴展速率模擬了點蝕擴展，并列出了相關(guān)代碼流程。并得出以下兩條結(jié)論：

(1)將勢能法進(jìn)行改進(jìn)，使其可以計算本文提出的點蝕擴展情況下的TVMS，并與已有文獻(xiàn)進(jìn)行對比，驗證了該方法的正確性。

(2)得出了點蝕擴展過程中的TVMS，結(jié)果表明點蝕坑中心越靠近單齒嚙合區(qū)的中部導(dǎo)致TVMS降低越多，點蝕面積越大，深度越深TVMS降低越多。