不同橋梁結(jié)構(gòu)多尺度建模方法比選①

□□ 張 凡，賈明曉，劉祖軍，馬 帥 (.華北水利水電大學(xué)，河南 鄭州 450045； .南陽(yáng)市污水凈化中心，河南 南陽(yáng) 473000)

引言

隨著有限元技術(shù)的迅猛發(fā)展，工程計(jì)算的準(zhǔn)確性和效率越來(lái)越受到重視[1]。為了滿足工程的需要，兼顧計(jì)算效率和計(jì)算精度的多尺度建模方法逐漸被運(yùn)用到結(jié)構(gòu)分析中。目前對(duì)于多尺度建模方法的研究，要點(diǎn)在于宏觀與細(xì)觀界面處不同單元節(jié)點(diǎn)自由度能保持變形協(xié)調(diào)[2]。因此，本文基于有限元軟件ANSYS建立一四跨連續(xù)箱梁橋的精細(xì)模型和多尺度模型，旨在探究不同的多尺度建模方法在多尺度橋梁中的適用性。

多尺度建模方法是指在同一個(gè)計(jì)算模型中既包含高效率的宏觀單元又包含高精度的精細(xì)單元，不同單元在同一個(gè)模型中通過(guò)一定的方法進(jìn)行耦合連接，從而使整個(gè)結(jié)構(gòu)的計(jì)算時(shí)間和精度達(dá)到平衡[3]。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)多尺度建模方法的研究取得了顯著成果，為結(jié)構(gòu)多尺度損傷分析提出了許多可行性的模擬方法。周凌宇等[4]通過(guò)虛設(shè)梁?jiǎn)卧ń⒘诉B續(xù)組合橋梁腹桿與負(fù)彎矩區(qū)受力性能研究的多尺度模型。劉亮等[5]通過(guò)運(yùn)用有限元軟件ABAQUS中的coupling實(shí)現(xiàn)多尺度單元間的自由度耦合，并驗(yàn)證了多尺度模型的精確性。王文博[6]通過(guò)雙梁模型的有限元解與解析解，說(shuō)明了MPC和CERIG單元連接的內(nèi)在機(jī)理。曲文輝、李眾[7]分別采用四種多尺度建模方法建立了體殼混合單元以及純實(shí)體單元和純殼單元，對(duì)比幾種模型在不同工況作用下的應(yīng)力數(shù)據(jù)，提出CERIG法最適合于體殼單元的連接。鄭吳悰[8]運(yùn)用四種多尺度連接方法，建立了不同類(lèi)別的多尺度模型，對(duì)比了不同工況作用下靜力受力特性和整體模型的動(dòng)力特性，比選出CERIG法最適合于板樁式路基的多尺度建模方法。盧星輔等[9]通過(guò)三種多尺度建模方式建立了三維礦井巷道模型，并對(duì)其計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，總結(jié)出了各方法的優(yōu)缺點(diǎn)。綜上所述，由于不同的多尺度建模方法的界面連接原理不同，應(yīng)用在不同領(lǐng)域最適用的多尺度建模方法也不同，因此，研究多尺度建模方法在橋結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用是很有必要的。

目前在ANSYS中常用的多尺度建模技術(shù)有接觸法、應(yīng)用CERIG和RBE3的表面約束法、約束方程法、剛性桿單元連接法等[10]。為探究不同的多尺度建模方法在多尺度橋梁中的適用性，本文基于有限元軟件ANSYS建立以一箱梁橋有限元模型，選擇最常見(jiàn)的四種多尺度分析方法，分別利用MPC法、RBE3法、CERIG法、約束方程法連接多尺度模型，對(duì)其分析結(jié)果與精細(xì)模型進(jìn)行比較，結(jié)合實(shí)際情況，分析四種方法的不足，比選出最適用于橋梁結(jié)構(gòu)的多尺度建模方法。

1 多尺度界面連接

目前對(duì)于多尺度方法的研究，核心問(wèn)題在于選擇一個(gè)合適的界面連接方式[11]。如梁?jiǎn)卧蛯?shí)體單元，由于兩種單元自由度不同，在進(jìn)行有限元分析時(shí)轉(zhuǎn)角位移無(wú)法傳遞，會(huì)出現(xiàn)“剛度矩陣奇異”，因此必須考慮不同尺度單元之間的協(xié)調(diào)問(wèn)題[12]。不同尺度單元的界面連接方法有很多，目前在結(jié)構(gòu)多尺度領(lǐng)域最常用的方法有MPC法、RBE3法、CERIG法、約束方程法等。

1.1 MPC多點(diǎn)約束法

MPC多點(diǎn)約束法建立的是多點(diǎn)約束關(guān)系，是多節(jié)點(diǎn)約束法的一種。以圖1梁?jiǎn)卧c實(shí)體單元的連接為例，其一般計(jì)算方程為：

(1)

式中，i——實(shí)體單元在交界面上節(jié)點(diǎn)的在某方向位移編號(hào)；

j——梁?jiǎn)卧诮唤缑嫔系墓?jié)點(diǎn)編號(hào)；

ui、uj——節(jié)點(diǎn)在某方向的位移；

Cj——權(quán)重系數(shù)；

C0——常數(shù)；

L——實(shí)體單元節(jié)點(diǎn)與梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)的距離，此處L=2。

圖1 梁—實(shí)體多尺度模型

若梁?jiǎn)卧诠?jié)點(diǎn)2處發(fā)生ROTZ轉(zhuǎn)動(dòng)，連接面上實(shí)體單元的節(jié)點(diǎn)將產(chǎn)生豎向位移UY，其計(jì)算方程為：

UY5=sin(ROTZ2)·L

(2)

-UY9=sin(ROTZ2)·L

(3)

由式(2)和式(3)可以推導(dǎo)出式：

UY5-UY9-2sin(ROTZ2)·L=0

(4)

當(dāng)發(fā)生小轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，sin(ROTZ2)≈ROTZ2，式(4)可以改寫(xiě)成：

UY5-UY9-2sin(ROTZ2)·L=0

(5)

MPC法的約束方程是由ANSYS系統(tǒng)內(nèi)部自動(dòng)生成[8,11]，通過(guò)位移方程實(shí)現(xiàn)不同尺度單元之間的位移協(xié)調(diào)，在求解小變形的線彈性問(wèn)題時(shí)，其約束方程可以采用式(5)，直接進(jìn)行計(jì)算；在求解于大變形的彈塑性問(wèn)題時(shí)，結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生較大的變形，在進(jìn)行有限元分析時(shí)，MPC法能根據(jù)結(jié)構(gòu)在每一步的迭代過(guò)程中節(jié)點(diǎn)變化的實(shí)際位置自動(dòng)更新約束方程，因此，既能用于結(jié)構(gòu)小變形，線彈性分析又能用于結(jié)構(gòu)大變形，彈塑性分析。

1.2 RBE3表面約束法

RBE3表面約束法是在連接面上創(chuàng)建柔性單元，將梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)受到的力以不同的權(quán)重系數(shù)分配到實(shí)體單元節(jié)點(diǎn)上，但是實(shí)體單元節(jié)點(diǎn)自由度的權(quán)重系數(shù)分配需要合乎實(shí)際結(jié)構(gòu)的受力要求，權(quán)重系數(shù)的設(shè)置可以是系統(tǒng)自動(dòng)生成，也可以手動(dòng)設(shè)置，本文是根據(jù)系統(tǒng)自動(dòng)生成的。RBE3法的本質(zhì)是線性約束方程，通過(guò)力的重分配實(shí)現(xiàn)不同尺度單元之間力的傳遞，在分析大變形問(wèn)題時(shí)，誤差較大。

1.3 CERIG表面約束法

CERIG表面約束法與RBE3法類(lèi)似，是在連接面上創(chuàng)建剛性單元，不需要考慮自由度的權(quán)重系數(shù)分配就可以滿足平截面假定，但是由于連接面是剛性的，會(huì)產(chǎn)生額外的連接面剛度。CERIG法的本質(zhì)是線性約束方程，通過(guò)剛性單元處力的重分配實(shí)現(xiàn)不同尺度單元之間力的傳遞，在分析大變形問(wèn)題時(shí)，誤差較大。

1.4 約束方程法

約束方程法是在連接面上手動(dòng)建立線性約束方程，以便于從一類(lèi)單元到另一類(lèi)單元傳遞載荷，實(shí)現(xiàn)連接面的變形協(xié)調(diào)，約束方程的一般形式是：

(6)

式中，i——方程中項(xiàng)的標(biāo)號(hào)；

DOFi——自由度；

Coefi——權(quán)系數(shù)。

以圖1為例，若梁?jiǎn)卧诠?jié)點(diǎn)2處發(fā)生ROTZ轉(zhuǎn)動(dòng)，其計(jì)算方程為：

ROTZ2=(UY9-UY5)/4

(7)

上式(7)改寫(xiě)為：

UY9-UY5-4ROTZ2=0

(8)

約束方程法的本質(zhì)是線性約束方程，建立的是位移協(xié)調(diào)方程，同樣不適用于分析大變形問(wèn)題。

2 多尺度模型構(gòu)建

2.1 橋梁概況

圖2為某在建4 m×20 m 連續(xù)梁橋，圖3是全橋橫截面尺寸圖，全橋采用混凝土箱梁橋面系。

圖2 橋梁立面布置圖(單位：mm)

圖3 橋梁橫截面圖(單位：mm)

箱梁上頂面寬為13 m，下底面寬為9 m，梁高為2.0 m，翼緣板外懸為2 m；橫梁處梁高為1.3 m，厚度為2 m，橫向抗震擋塊高度為0.05 m，厚度為0.04 m；橋墩高為8 m，截面為1.5 m×1.5 m；采用單樁基礎(chǔ)，樁基礎(chǔ)深為25 m，截面為1.5 m×1.5 m；全橋采用C50混凝土、采用HRB400鋼筋，鋼筋直徑為25 mm，全橋采用整體式建模的方式，鋼筋等效分配到混凝土中，彈性模量取34 500 MPa，泊松比取0.2。采用有限元程序ANSYS分別構(gòu)建全橋多尺度模型和精細(xì)模型。

2.2 構(gòu)建多尺度橋梁模型

對(duì)橋梁的關(guān)鍵部位采用實(shí)體單元solid45進(jìn)行精細(xì)建模，而橋梁的柱和梁的非連接部位采用梁?jiǎn)卧猙eam188進(jìn)行普通建模，橋墩與梁、墩與樁基之間固定連接，其中精細(xì)建模部位主要有三部分。分別是梁與橋墩的連接區(qū)域、橋墩部位的塑性鉸區(qū)域和樁基礎(chǔ)，這幾個(gè)區(qū)域受力復(fù)雜或者容易破壞，因此進(jìn)行精細(xì)建模。

其中塑性鉸區(qū)域的確定由國(guó)家相關(guān)抗震設(shè)計(jì)規(guī)范計(jì)算所得[3]：

LP=0.08H+0.022fyds≥0.044fyds

LP=2b/3

(9)

式中，H——橋墩高度；

b——墩的有效計(jì)算尺寸；

fy——鋼筋屈服強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值；

ds——橋墩鋼筋直徑。

本文的實(shí)體單元與梁?jiǎn)卧５谋壤褪且罁?jù)塑性鉸理論進(jìn)行得到，其塑性鉸大小為0.816 m。

運(yùn)用ANSYS建立橋梁的多尺度模型如圖4所示。分別用MPC、RBE3、CERIG、建立約束方程四種方法實(shí)現(xiàn)多尺度模型中實(shí)體單元與梁?jiǎn)卧B接界面的協(xié)調(diào)。

圖4 全橋多尺度有限元模型

2.3 樁的模擬

為了使計(jì)算結(jié)果更為真實(shí)，本文對(duì)樁基礎(chǔ)進(jìn)行精細(xì)建模，并建立土彈簧來(lái)模擬樁-土效應(yīng)，其土彈簧剛度由m法計(jì)算所得[13-14]，其土層取值見(jiàn)表1，每個(gè)樁建立四組彈簧模擬樁的水平方向受力，并在底部設(shè)置豎向固定約束，其中樁基礎(chǔ)及土彈簧的模擬如圖5所示。

表1 地基土的比例系數(shù)

圖5 樁基礎(chǔ)精細(xì)模型

3 結(jié)果分析

本文基于多尺度橋梁模型，進(jìn)行有限元分析，計(jì)算得到橋梁結(jié)構(gòu)分別在自重和橋面鋪裝兩種工況下的靜力響應(yīng)和五種模型的動(dòng)力特性，依次比較四種多尺度連接方法的差異。

3.1 靜力響應(yīng)

基于多尺度橋梁模型，計(jì)算自重和橋面鋪裝兩種工況下的力學(xué)響應(yīng)。提取四種多尺度模型與實(shí)體模型的最大豎向位移并計(jì)算其誤差，以此判斷各模型的各連接方法對(duì)整體剛度的影響。

兩種工況作用下的五種計(jì)算模型的最大豎向位移見(jiàn)表2。

表2 五種計(jì)算模型的最大豎向位移 mm

將四種多尺度模型的最大豎向位移，與實(shí)體模型對(duì)比，計(jì)算出四種模型在兩種工況下最大豎向位移的誤差見(jiàn)表3。

表3 四種多尺度模型的最大豎向位移誤差

由表2和表3可以發(fā)現(xiàn)，不同界面連接方法對(duì)整體結(jié)構(gòu)剛度的影響差異較大，其中MPC法和CERIG法的誤差明顯小于其他三種方法，RBE3法和約束方程法誤差較大大。

為驗(yàn)證上述結(jié)論的準(zhǔn)確性，提取橋梁順橋向多個(gè)梁截面最大von_Mises應(yīng)力進(jìn)行對(duì)比，兩種工況作用下的五種計(jì)算模型順橋向多個(gè)梁截面最大von_Mises值見(jiàn)表4。

表4 五種計(jì)算模型梁截面的最大von_Mises MPa

根據(jù)四種多尺度模型梁截面最大von_Mises應(yīng)力與實(shí)體模型對(duì)比，計(jì)算出四種模型在兩種工況下梁截面最大von_Mises應(yīng)力誤差見(jiàn)表5。

表5 四種多尺度模型梁截面的最大von_Mise誤差

由表5發(fā)現(xiàn)，CERIG法和MPC法的誤差較小，明顯優(yōu)于其他方法，RBE3法和約束方程法誤差最大。

為了更直觀地了解連接面的模擬效果，提取自重工況下第四根橫梁與第四根箱梁的連接面的von_Mises應(yīng)力。

由圖6～圖10連接面的von_Mises應(yīng)力云圖對(duì)比發(fā)現(xiàn)，MPC法和CERIG法的有限元計(jì)算結(jié)果與實(shí)體模型最為接近，連接效果最好；RBE3法連接面是柔性，由于其權(quán)重系數(shù)的分配不合理，在翼緣部位出現(xiàn)應(yīng)力集中的現(xiàn)象，因此，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)較大的誤差；約束方程法存在應(yīng)力集中問(wèn)題，導(dǎo)致有限元計(jì)算結(jié)果誤差最大，這也是提取最大豎向位移和最大von_Mises誤差很大的原因。

圖6 MPC法von_Mises應(yīng)力云圖(單位：MPa)

圖7 RBE3法von_Mises應(yīng)力云圖(單位：MPa)

圖8 CERIG法von_Mises應(yīng)力云圖(單位：MPa)

圖9 約束方程法von_Mises應(yīng)力云圖(單位：MPa)

圖10 實(shí)體模型von_Mises應(yīng)力云圖(單位：MPa)

為探究約束方程法應(yīng)力集中的原因，提取圖9的應(yīng)力集中區(qū)域，如圖11所示。

圖11 約束方程法von_Mises應(yīng)力詳圖

圖中從上到下的三個(gè)節(jié)點(diǎn)編號(hào)依次為4996、4993、4995，此處存在約束方程：CE,19,9,0,4996,UX,1,4995,UX,-1,4993,ROTZ,NY(4996)-NY(4995)。當(dāng)結(jié)構(gòu)受到自重的影響時(shí)，會(huì)在梁節(jié)點(diǎn)4993處產(chǎn)生ROTZ轉(zhuǎn)角位移和Y方向的豎向位移。由于梁?jiǎn)卧蛯?shí)體單元自由度不同，為了實(shí)現(xiàn)自由度之間的協(xié)調(diào)，約束方程將梁節(jié)點(diǎn)4993處產(chǎn)生的ROTZ轉(zhuǎn)角位移轉(zhuǎn)換成UX方向水平位移，傳遞到實(shí)體單元的4996節(jié)點(diǎn)和4995節(jié)點(diǎn)；梁節(jié)點(diǎn)Y方向的豎向位移，由于實(shí)體單元由UY方向的自由度，則直接傳遞到實(shí)體單元上。本應(yīng)作用在整個(gè)梁截面上的位移，通過(guò)約束方程只作用在數(shù)個(gè)節(jié)點(diǎn)，因此會(huì)在約束方程連接的節(jié)點(diǎn)處產(chǎn)生應(yīng)力集中的現(xiàn)象。

3.2 自振特性

為研究四種多尺度模震動(dòng)特性的精確度，本文對(duì)四種多尺度模型與精細(xì)模型進(jìn)行模態(tài)分析， 并提取前10階模態(tài)階數(shù)進(jìn)行對(duì)比，各模型的自振頻率如圖12所示。

圖12 前10階自振頻率對(duì)比(單位：Hz)

為了更直觀的觀察各階頻率的差異，對(duì)各階頻率數(shù)值列表顯示，見(jiàn)表6。

表6 五種模型前10階自振頻率對(duì)照表 Hz

從圖12可以看出，對(duì)于前四階自振頻率MPC法、RBE3法和CERIG法的結(jié)果相差很??；四階以后，CERIG法自振頻率與實(shí)體模型幾乎一致，MPC法和RBE3法的自振頻率略小于實(shí)體模型，有較小的誤差。手動(dòng)建立約束方程法的自振頻率與實(shí)體模型相差較大，對(duì)自振頻率的模擬效果不夠理想。

綜合考慮，CERIG法的自震頻率與實(shí)體模型相比幾乎一致，模擬效果也最為合理；其次是MPC法和RBE3法，約束方程法的誤差最大。

4 結(jié)論

應(yīng)用有限元軟件ANSYS建立實(shí)體模型與多尺度模型，分別利用MPC法、RBE3法、CERIG法、建立約束方程法連接多尺度模型，對(duì)四種多尺度種模型和實(shí)體模型進(jìn)行靜力分析和模態(tài)分析，提取計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，得出以下結(jié)論。

(1)MPC法是由系統(tǒng)內(nèi)部創(chuàng)建約束方程，可以很好地實(shí)現(xiàn)不同單元之間的位移變形協(xié)調(diào)，對(duì)結(jié)構(gòu)整體位移的影響很小，能夠合理的模擬震動(dòng)特性，且適用于非線性分析，是分析多尺度橋梁最適用的方法。

(2)CERIG法通過(guò)剛性單元連接多尺度模型，可以較好的處理不同單元之間的位移變形協(xié)調(diào)和應(yīng)力協(xié)調(diào)，很好地模擬震動(dòng)特性，但是只適用于線性分析。

(3)RBE3法在應(yīng)用時(shí)需要合理的分配權(quán)重系數(shù)，由于權(quán)重系數(shù)分配不夠合理，不同單元之間的位移變形協(xié)和應(yīng)力協(xié)調(diào)均有較大的誤差。

(4)約束方程法需要提取相應(yīng)節(jié)點(diǎn)號(hào)手動(dòng)建立約束方程，過(guò)程復(fù)雜，并且節(jié)點(diǎn)連接處出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象，模擬效果最差，不便于工程中的使用。