白金峰，張應(yīng)山，趙建立

(1.澳門城市大學(xué) 商學(xué)院，澳門 999078；2.華東師范大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)部統(tǒng)計(jì)學(xué)院，上海 200241；3.聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城 252059)

0 引言

對(duì)稱性其實(shí)是一個(gè)非常古老的概念,對(duì)稱性特性在自然界中既十分普遍又很重要，但同時(shí)它也是一個(gè)十分嶄新的概念，因?yàn)樽匀唤缰袔缀跛兄匾囊?guī)律都與某種對(duì)稱性息息相關(guān)，所以人們可以通過研究對(duì)稱性這一重要特性，去認(rèn)識(shí)和研究自然規(guī)律。本文把在視覺感知特征方面具有對(duì)稱形狀和設(shè)計(jì)特性的事物作為對(duì)稱性研究的主要研究對(duì)象，進(jìn)行廣義對(duì)稱性相關(guān)方面的研究。對(duì)稱性的概念解釋是指對(duì)研究對(duì)象在視覺特征方面的形狀和設(shè)計(jì)(張應(yīng)山,趙建立,2018)。

對(duì)稱性概念由來已久，主要有圖像的對(duì)稱和函數(shù)的對(duì)稱兩種，從最開始的視覺上的幾何圖形的對(duì)稱性研究，再到現(xiàn)在抽象的函數(shù)的對(duì)稱對(duì)稱性研究，國內(nèi)外已經(jīng)有許多關(guān)于對(duì)稱性理論方面的專著，即使這樣，諸多研究學(xué)者還是對(duì)關(guān)于對(duì)稱性理論方面的研究都充滿著濃厚興趣，趨之若鶩。在如今關(guān)于對(duì)稱性方面的研究，大部分學(xué)者都將研究目光集中于圖像的對(duì)稱性和函數(shù)的對(duì)稱性的研究上，其成果是碩果累累，而對(duì)稱性的其他方面研究成果卻寥寥無幾。

目前所有的對(duì)稱性研究都與有限群的研究成果密不可分，緊緊相連。譬如在圖像的對(duì)稱性的研究[1-7]方面，除了王佳利等(2015)[1]和顧振華(2009)[2]等人進(jìn)行過關(guān)于群與圖的對(duì)稱性方面的研究之外,還有王志衡等(2017)研究過圖的對(duì)稱性檢測(cè)[3]，圖的容錯(cuò)性則成為楊大偉(2016)[4]和王牟江山(2014)[5]的主要研究目標(biāo)，向德輝(2012)主要把有關(guān)圖像分割及可視化作為研究方向[6]，周進(jìn)鑫(2008)則對(duì)曲面嵌入等相關(guān)問題進(jìn)行相關(guān)的研究[7]等。又譬如在函數(shù)的對(duì)稱性的研究[8-14]方面的研究，Gordon James(2017)[8]，劉洋(2014)[9]，徐海靜(2011)[10]，賀艷妮(2011)[11]，司華斌(2009)[12]等學(xué)者都進(jìn)行了涉及有限群的特征標(biāo)表等方面的研究[8-12]，他們?cè)谟邢奕旱奶卣鳂?biāo)表的研究方面都做出了取得了一定的研究成果，進(jìn)一步完善了關(guān)于函數(shù)的對(duì)稱性方面的研究，但也有一部分學(xué)者關(guān)于對(duì)稱函數(shù)的特殊性質(zhì)進(jìn)行研究，如孫明保(2014)[13]及張映輝等(2017)[14]學(xué)者就對(duì)Schur凸性進(jìn)行深入的研究。

張應(yīng)山教授(1993)根據(jù)東方整體性思維和中國古典傳統(tǒng)文化，并結(jié)合有限群等西方概念，提出了廣義對(duì)稱性或廣義對(duì)稱分析方法的相關(guān)概念[15]，他把以前狹義的有限群的特征標(biāo)表做了進(jìn)一步的推廣和延伸，將其擴(kuò)大成為《多邊矩陣?yán)碚摗分刑岬降恼粌绲认到y(tǒng)(對(duì)稱算符表)和廣義對(duì)稱表的新形式，再利用統(tǒng)計(jì)分析等數(shù)學(xué)方法來進(jìn)行對(duì)稱函數(shù)方面的問題與性質(zhì)的研究。在張應(yīng)山教授(1993)提出關(guān)于對(duì)稱框架和對(duì)稱算符理論的相關(guān)概念[15]以后，張應(yīng)山等(1998)根據(jù)對(duì)稱框架和對(duì)稱算符理論的相關(guān)概念，對(duì)正交冪等系統(tǒng)進(jìn)行相應(yīng)的研究，提出了飽和正交冪等系統(tǒng)的概念[16]。潘長緣,張應(yīng)山(2008)等人提出了關(guān)于如何構(gòu)造正交冪等系統(tǒng)的一種算法，繼續(xù)進(jìn)行關(guān)于飽和正交冪等系統(tǒng)的構(gòu)造的研究[17]，這些為之后研究廣義對(duì)稱性打下一定的基礎(chǔ)。陳雪平，張應(yīng)山(2009)等人還繼續(xù)了其他廣義對(duì)稱性相關(guān)概念的研究，這些研究對(duì)象主要是多元函數(shù)空間的對(duì)稱性分解方面的概念[18]，其研究成果會(huì)進(jìn)一步豐富對(duì)稱性問題的研究成果，為之后的廣義對(duì)稱性研究提供支持。在關(guān)于對(duì)稱性全局統(tǒng)計(jì)分析中的定理證明的研究方面，潘長緣,馬海南(2009) 等人證明了對(duì)稱性全局統(tǒng)計(jì)分析方法中的幾個(gè)重要定理[19]，羅純，張應(yīng)山(2016)利用高維模型表示方差分析的對(duì)稱全局靈敏度分析，進(jìn)行了相關(guān)定理的證明，這些構(gòu)成了對(duì)稱性全局統(tǒng)計(jì)分析方法的核心基石[20]，可以有助于進(jìn)一步深化廣義對(duì)稱性的研究。在處理復(fù)雜系統(tǒng)的新思維系列論文[21-27]中，羅純和張應(yīng)山等教授提出了對(duì)稱框架的剖分定理、對(duì)稱框架的分解定理，并利用該定理提出了構(gòu)造對(duì)稱框架的一種方法，如此等等，對(duì)廣義對(duì)稱性的研究有著重要意義。錢洪崗(2012)[28]和劉興虎(2012)[29]在對(duì)稱設(shè)計(jì)表的構(gòu)造和數(shù)據(jù)分析方面的問題上，兩者都作了充分的進(jìn)一步探討和研究，錢洪崗(2012)通過介紹對(duì)稱群理論，給出了對(duì)稱框架的定義和相關(guān)性質(zhì),驗(yàn)證對(duì)稱設(shè)計(jì)在解決具有高階交互效應(yīng)的試驗(yàn)設(shè)計(jì)問題上比正交設(shè)計(jì)具有更好的解決能力[28]。劉興虎(2012)通過引出數(shù)據(jù)分析的三項(xiàng)基本原則，利用群論的相關(guān)概念和結(jié)論，引入了導(dǎo)出框架和對(duì)稱框架的定義,還給出了對(duì)稱框架關(guān)于群的相關(guān)理論概念。他們的研究讓對(duì)稱設(shè)計(jì)表方面的研究得到一定發(fā)展。不過上述提到的一系列關(guān)于對(duì)稱性方面的研究成果大多都只限于對(duì)稱表的研究，還沒有真正涉及廣義對(duì)稱表的研究，諸多學(xué)者的研究都在為廣義對(duì)稱表的研究構(gòu)筑框架，奠定基礎(chǔ)。

基于張應(yīng)山教授《多邊矩陣?yán)碚摗?1993)的概念理論[15]，結(jié)合文獻(xiàn)《廣義對(duì)稱表的定義和哲學(xué)意義》(張應(yīng)山，趙建立，2018)的研究成果[30]，對(duì)廣義對(duì)稱性進(jìn)行進(jìn)一步的探討研究。作為廣義對(duì)稱表的系列論文之一，其主要目的是讓具有再現(xiàn)性的廣義對(duì)稱表可以成為數(shù)據(jù)分析表，而該數(shù)據(jù)分析表便是用來解決函數(shù)對(duì)稱分解問題的，這種研究有利于廣義對(duì)稱表在實(shí)際問題上的使用，具有很高的市場(chǎng)價(jià)值和實(shí)用價(jià)值。廣義對(duì)稱表的矩陣象是象數(shù)學(xué)的概念。它主要關(guān)注廣義對(duì)稱表的對(duì)稱分解項(xiàng)的二次型相應(yīng)的矩陣。這個(gè)矩陣具有換行換列換數(shù)碼符號(hào)保持廣義對(duì)稱表的設(shè)計(jì)特性不變的性質(zhì)。這使得廣義對(duì)稱表的對(duì)稱矩陣象的數(shù)據(jù)分析結(jié)論具有再現(xiàn)性(定理1)。

廣義對(duì)稱表的點(diǎn)估計(jì)包含對(duì)于廣義對(duì)稱表的對(duì)稱分解項(xiàng)及其方差和貢獻(xiàn)率的估計(jì)。在試驗(yàn)設(shè)計(jì)理論中，這種估計(jì)是最基本的。對(duì)這些估計(jì)的了解，有助于以后模擬研究廣義對(duì)稱表的對(duì)稱矩陣象的數(shù)據(jù)分析結(jié)論是否具有實(shí)際的再現(xiàn)性。文獻(xiàn)《廣義對(duì)稱表的定義和哲學(xué)意義》(張應(yīng)山,趙建立,2018)研究了廣義對(duì)稱表的定義和哲學(xué)意義[30],本文中主要是在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上計(jì)算廣義對(duì)稱表的矩陣象，并給出對(duì)稱分解項(xiàng)及其方差和貢獻(xiàn)率的點(diǎn)估計(jì)。最后，討論廣義對(duì)稱表的矩陣象的哲學(xué)意義。

1 廣義對(duì)稱表的矩陣象

文獻(xiàn)《廣義對(duì)稱表的定義和哲學(xué)意義》(張應(yīng)山，趙建立，2018)研究了廣義對(duì)稱表的定義和哲學(xué)意義，并給出了廣義對(duì)稱表的定義，把廣義對(duì)稱表的概念得到標(biāo)準(zhǔn)化，又詳細(xì)闡明了對(duì)稱置換平衡性的概念[30]，這又為以后廣義對(duì)稱表的研究提供了平衡指標(biāo)，所以這一篇文獻(xiàn)[30]作為廣義對(duì)稱表系列論文的開篇之作，對(duì)以后的廣義對(duì)稱表的研究具有指導(dǎo)意義，為后面關(guān)于廣義對(duì)稱表問題的研究提供了非常大的幫助。

設(shè)根據(jù)多元函數(shù)f(x0,x1,…,xm,ω)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為Y， 那么

ψ1的最小二乘估計(jì)為

定理1廣義對(duì)稱表

基于其對(duì)稱矩陣象的數(shù)據(jù)分析結(jié)論具有再現(xiàn)性。

證明需要論證廣義對(duì)稱表是解決對(duì)稱分解問題的最基本設(shè)計(jì)，就是要證明利用對(duì)稱矩陣象得到的數(shù)據(jù)分析結(jié)論具有再現(xiàn)性。也就是說：在對(duì)稱分解項(xiàng)已知時(shí)，利用任何一個(gè)具有可識(shí)別性的廣義對(duì)稱表獲得的數(shù)據(jù)，其數(shù)據(jù)分析結(jié)論與對(duì)稱分解項(xiàng)的值基本保持一致，俗稱客觀一致性。在對(duì)稱分解項(xiàng)未知時(shí)，利用不同的兩個(gè)具有可識(shí)別性的廣義對(duì)稱表兩次獲得的數(shù)據(jù)，如果這兩次數(shù)據(jù)分析結(jié)論都基本上相一致，兩次分析結(jié)論可以重復(fù)出現(xiàn)，則這種性質(zhì)稱之為重復(fù)出現(xiàn)性。那么數(shù)據(jù)分析結(jié)論必須同時(shí)具有客觀一致性和重復(fù)出現(xiàn)性，這兩種性質(zhì)必須同時(shí)成立，只有這樣才能說明數(shù)據(jù)分析結(jié)論具有再現(xiàn)性；否則便不能說明數(shù)據(jù)分析結(jié)論具有再現(xiàn)性，因此才說再現(xiàn)性是客觀一致性和重復(fù)出現(xiàn)性的統(tǒng)稱[30]。

水平數(shù)相同的不同的廣義對(duì)稱表主要表現(xiàn)在對(duì)稱表的行號(hào)不同、對(duì)稱表的列號(hào)不同、對(duì)稱表的數(shù)碼不同。因?yàn)榛趶V義對(duì)稱表的試驗(yàn)設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)分析結(jié)論都是基于廣義對(duì)稱表的矩陣象進(jìn)行分析的，所以，要證明廣義對(duì)稱表具有再現(xiàn)性，就是要證明在換行換列換數(shù)碼符號(hào)大小的條件下，廣義對(duì)稱表的矩陣象具有不變的性質(zhì)。

的對(duì)稱置換不變性的要求對(duì)于試驗(yàn)的對(duì)稱分析來說是最基本的。

關(guān)于對(duì)稱分解項(xiàng)ψl的方差Var(ψl)的估計(jì)，可以采用對(duì)稱矩陣象的試驗(yàn)數(shù)據(jù)Y的二次型來估計(jì)，因?yàn)閷?duì)稱矩陣象具有換行換列換數(shù)碼符號(hào)不變的性質(zhì)，所以基于對(duì)稱矩陣象的點(diǎn)估計(jì)自然具有相同性質(zhì)，即具有再現(xiàn)性。關(guān)于其估計(jì)的無偏和方差最小性質(zhì)，利用投影矩陣性質(zhì)也比較容易證明。類似地考慮貢獻(xiàn)率及其誤差方差的無偏、方差最小和再現(xiàn)性。

2 廣義對(duì)稱表的矩陣象構(gòu)造

構(gòu)造廣義對(duì)稱表的矩陣象的方法有很多，本文給出一種利用多邊矩陣的置換矩陣[15]構(gòu)造廣義對(duì)稱表的矩陣象的一種方法。

例1 考慮如下形式的廣義對(duì)稱表(S4(2133);G)，其中G={e,σ,σ2},σ=(1 2 3)∈S3，

相應(yīng)的區(qū)組設(shè)計(jì)為

Δ=I4-C0-A2=04×4。

對(duì)于廣義對(duì)稱表(S4(2133);G)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)Y=(y11;y21,y22,y23)T，ψl的最小二乘估計(jì)為

廣義對(duì)稱表(S4(21;33),G)的方差Var(ψl)的估計(jì)為

注意：關(guān)于因子x0的水平估計(jì)、方差和貢獻(xiàn)率同于對(duì)稱算符χ1≡1的水平估計(jì)、方差和貢獻(xiàn)率。

例2 考慮如下形式的廣義對(duì)稱表(S4(2123);G)，其中G={e,σ,σ2},σ=(1 2 3)∈S3，

相應(yīng)的區(qū)組設(shè)計(jì)為

便是這個(gè)群所擁有兩個(gè)飽和正交冪等系統(tǒng)其中的一個(gè)形式。計(jì)算

Δ=I4-C0-A2-A3=04×4。

對(duì)于廣義對(duì)稱表(S4(2123);G)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)Y=(y11;y21,y22,y23)T，ψl的最小二乘估計(jì)為

廣義對(duì)稱表(S4(21;23),G)的方差Var(ψt)的估計(jì)為

注意：關(guān)于因子x0的水平估計(jì)、方差和貢獻(xiàn)率同于對(duì)稱算符χ1≡1的水平估計(jì)、方差和貢獻(xiàn)率。

例3考慮如下形式的廣義對(duì)稱表(S9(3134);G)，其中子群G={e,(1234),(13)(24),(1432)}?S4。

相應(yīng)的區(qū)組設(shè)計(jì)為

Δ=I9-C0-A2=09×9。

對(duì)于廣義對(duì)稱表(S9(3134);G)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)Y=(y11;y21,y22,y23,y24;y31,y32,y33,y34)T，ψl的最小二乘估計(jì)為

廣義對(duì)稱表(S9(3134);G)的方差Var(ψt)的估計(jì)為

+(-y21-y22+3y23-y24)2+(-y21-y22-y23+3y24)2+(3y31-y32-y33-y34)2

+(-y31+3y32-y33-y34)2+(-y31-y32+3y33-y34)2+(-y31-y32-y33+3y34)2]。

注意：關(guān)于因子x0的水平估計(jì)、方差和貢獻(xiàn)率同于對(duì)稱算符χ1≡1的水平估計(jì)、方差和貢獻(xiàn)率。

3 廣義對(duì)稱表矩陣象的哲學(xué)意義

在試驗(yàn)設(shè)計(jì)領(lǐng)域，關(guān)于設(shè)計(jì)表的平衡性和正交性定義非常之多，哪種平衡性和正交性的定義更合理？也是爭論不休。而試驗(yàn)設(shè)計(jì)要解決的最終問題是對(duì)自由函數(shù)模型(1)的觀測(cè)函數(shù)的正交或者對(duì)稱分解項(xiàng)進(jìn)行正確估計(jì)，其估計(jì)結(jié)論應(yīng)不受對(duì)廣義正交表或者廣義對(duì)稱表選擇的影響。

張應(yīng)山教授(2018)提出了關(guān)于正交分解具有五種平衡性的概念，即正交分解具有相遇平衡性、水平間平衡性、正交平衡性、水平內(nèi)平衡性和整體平衡性[31]。這五種平衡性的概念是張應(yīng)山教授根據(jù)中國傳統(tǒng)的“陰陽五行”理論作為基礎(chǔ)，結(jié)合東方整體思維模式，創(chuàng)造性提來的多邊矩陣?yán)碚摰囊徊糠掷碚搼?yīng)用[31]。于此同時(shí)通過研究證明了廣義正交表具有相遇平衡性和正交平衡性的特性，所以廣義正交表就能夠成為解決正交分解問題的最基本設(shè)計(jì)。廣義正交表可以保證其矩陣象具有正交性，因此通過使用廣義正交表的方式獲得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，在基于廣義正交表的矩陣象的條件下進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，其得到的結(jié)論同時(shí)具有客觀一致性和重復(fù)出現(xiàn)性，也就是結(jié)論具有再現(xiàn)性。

關(guān)于對(duì)稱分解來講，其平衡性只具有一種：對(duì)稱置換不變性[30]。本文證明了只要廣義對(duì)稱表具有對(duì)稱置換不變性，那么廣義對(duì)稱表就是解決對(duì)稱分解問題的最基本設(shè)計(jì)。在正交冪等系統(tǒng)的幫助下，它可以保證其對(duì)稱矩陣象具有正交性。因而利用廣義對(duì)稱表獲得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，基于廣義對(duì)稱表的矩陣象進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，其數(shù)據(jù)分析結(jié)論具有再現(xiàn)性。

4 結(jié)論

本文提出了廣義對(duì)稱表的矩陣象定義，闡述了根據(jù)對(duì)稱矩陣象，其得的數(shù)據(jù)分析結(jié)論是有再現(xiàn)性的結(jié)論性概念，同時(shí)給出了一種構(gòu)造方法。這種構(gòu)造方法對(duì)之前文獻(xiàn)提出的廣義對(duì)稱表構(gòu)造法的進(jìn)一步延伸，是關(guān)于廣義對(duì)稱表矩陣象的構(gòu)造方法。又因?yàn)閺V義對(duì)稱表矩陣象的概念與中國古典傳統(tǒng)文化中的象數(shù)學(xué)概念同根同源，雙方有著密不可分的聯(lián)系，所以對(duì)廣義對(duì)稱表矩陣象問題的研究，其實(shí)也是對(duì)中國古典傳統(tǒng)文化的象數(shù)學(xué)問題進(jìn)行一定的研究，兩者相輔相成，可以相互促進(jìn)各自研究的發(fā)展，相互借鑒其研究成果。因而，本系列論文是以研究廣義對(duì)稱表矩陣象理論的推廣和實(shí)際應(yīng)用作為研究的重要目的，對(duì)關(guān)于廣義對(duì)稱表方面的問題進(jìn)行一系列的研究分析，著力推動(dòng)廣義對(duì)稱表相關(guān)的理論和成果的應(yīng)用。