蔡玉強(qiáng)，張文瑞

三自由度機(jī)械手雅可比矩陣的建立及動力學(xué)仿真

蔡玉強(qiáng)，張文瑞

（華北理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 唐山 063210）

基于ADAMS的仿真技術(shù)，對工業(yè)機(jī)械手進(jìn)行運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)仿真上的分析。對于三自由度工業(yè)拾取機(jī)械手，通過D-H方法[1]建立每個連桿的參考坐標(biāo)系，首先研究了機(jī)械手的主要理論及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，得到了機(jī)械手運(yùn)動學(xué)的方程，給出抓取機(jī)械手的每個連桿與末端執(zhí)行器之間的姿勢關(guān)系，并推導(dǎo)出機(jī)械手的運(yùn)動學(xué)方程，利用微分變化法獲得雅可比矩陣。通過連桿間力和力矩的遞推求得力雅可比矩陣以驗(yàn)證機(jī)械手建立的正確性。然后在ADAMS中對機(jī)械手運(yùn)動進(jìn)行仿真使用后處理模塊，在各個關(guān)節(jié)處分別添加驅(qū)動函數(shù)，并驗(yàn)證了該機(jī)制的可行性。

機(jī)械手；三自由度；雅克比矩陣；ADAMS

近幾年工業(yè)機(jī)械手的發(fā)展十分迅速，應(yīng)用在各行各業(yè)。機(jī)械手技術(shù)是一種跨學(xué)科的綜合技術(shù)，涉及到機(jī)械、力學(xué)、電氣液技術(shù)、自動控制技術(shù)等領(lǐng)域[1-2]。機(jī)械手作為生產(chǎn)設(shè)備實(shí)現(xiàn)了完全的自動化。工業(yè)機(jī)械手結(jié)合了人機(jī)之間在結(jié)構(gòu)和性能上的優(yōu)勢，特別體現(xiàn)了人的智能和適應(yīng)能力。當(dāng)前我國各個領(lǐng)域機(jī)械手的準(zhǔn)確性和在復(fù)雜環(huán)境下工作都具有很好的發(fā)展前景。機(jī)械手目前仍需改進(jìn)的是不如人的手靈活，但它不知疲勞、不懼危險，能持續(xù)不間斷地工作，并且抓重物的能力大于人。

工業(yè)機(jī)械手要根據(jù)現(xiàn)場要求來操作，即通過某種執(zhí)行機(jī)構(gòu)在空間中移動零件或工具。這需要對加工零件、工具以及機(jī)構(gòu)本身的位置和姿態(tài)進(jìn)行表達(dá)。

1 運(yùn)動學(xué)分析

在工業(yè)機(jī)械手整個工作過程中，應(yīng)該給機(jī)器本身以及執(zhí)行端部較大的工作空間，且使機(jī)械手對作用對象有良好的承載能力。在結(jié)構(gòu)形式上，機(jī)械手具有剛性、簡單的運(yùn)動學(xué)正反解、機(jī)構(gòu)件和末端的位置控制等特點(diǎn)。因此，機(jī)械手需要滿足運(yùn)動、位姿等方面的性能要求，同時在豎直方向上，應(yīng)具有合理的動作空間和便捷的操作性以及避障空間，使機(jī)械手在正常運(yùn)作過程中，達(dá)到每項指標(biāo)上的完整度。依據(jù)所需要的功能要求，設(shè)計了三個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)機(jī)械手，如圖１所示。

圖1 機(jī)械手機(jī)構(gòu)示意簡圖

機(jī)械手在空間的運(yùn)動是每個桿件中的旋轉(zhuǎn)和平移合成作用的結(jié)果。在這種思想的基礎(chǔ)上，如果要想描述機(jī)械手的位置和姿態(tài)，就需要實(shí)現(xiàn)連續(xù)坐標(biāo)變換矩陣。在計算各種機(jī)械手時，標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一使得計算方法較多、難以通用。

1955年，Denavit與Harenberg提出了機(jī)械手坐標(biāo)系變換的D-H參數(shù)[4]，該方法系統(tǒng)化地解決了通用的問題，其需要4個參數(shù)來描述位置、方向與相鄰坐標(biāo)系的關(guān)系。這種坐標(biāo)系變換表示法適用于所有具有串聯(lián)結(jié)構(gòu)的機(jī)械手，能解決其移動關(guān)節(jié)、旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)、合成運(yùn)動等的運(yùn)動學(xué)計算。這種表示法得到的矩陣方程，在形式上更加統(tǒng)一規(guī)范，便于進(jìn)行研究。

機(jī)械手的正運(yùn)動學(xué)模型，反映的是關(guān)節(jié)和執(zhí)行端部之間的聯(lián)系。為保證機(jī)械手末端位姿的正確求解，需要得到每個關(guān)節(jié)的精確角位移，因此采用D-H參數(shù)法，參數(shù)表如表1所示。

表1 D-H參數(shù)表

由表1中所示的連桿參數(shù)，可求得各連桿變換矩陣為：

式中：C＝Cosθ；S＝Sinθ；左側(cè)的0、1代表建立的坐標(biāo)系0到1的位姿變換矩陣，1、2代表建立的坐標(biāo)系1到2的位姿變換矩陣，以此類推。

求解各連桿在1＝2＝3＝0°下的位姿矩陣為：

1.1 雅可比矩陣

如果要建立執(zhí)行端與電動機(jī)之間的聯(lián)系，顯示二者間的動力學(xué)特性關(guān)系，需要映射機(jī)械手桿件的每個關(guān)節(jié)。為了實(shí)現(xiàn)此目的，首先需要在機(jī)械手的執(zhí)行末端和每個關(guān)節(jié)建立聯(lián)系，也就是對速度和加速度建立連接，這就需要建立機(jī)械手的雅克比矩陣。把系統(tǒng)動力學(xué)特性完全映射到機(jī)械臂上。

雅可比矩陣是機(jī)械手的工作空間與關(guān)節(jié)空間的動態(tài)參數(shù)之比，其行數(shù)表示操作空間的維數(shù)、列數(shù)表示機(jī)械手的關(guān)節(jié)數(shù)。本文研究的機(jī)械手其雅克比矩陣為3×3階。

求解雅可比矩陣的方法通常有兩種：一種是矢量積分法，另一種是微分變換法。本文研究的是串聯(lián)機(jī)械手的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，只有轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，不存在高階求解的困難，所以兩種求解方法皆可行?？紤]到微分變換法計算量相對較小，這里采用微分變換方法。

機(jī)械手的雅可比矩陣可以將機(jī)械手的關(guān)節(jié)空間與操作空間的速度、力和力矩聯(lián)系起來形成映射關(guān)系。即，機(jī)械手的雅可比矩陣主要是為了表達(dá)關(guān)節(jié)空間和操作空間之間的關(guān)系[5]。

機(jī)械手的雅可比矩陣，通常是指從桿件的運(yùn)動空間到執(zhí)行端的動作空間，有：

由于機(jī)械手全部為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，所以微分變換法應(yīng)使用：

式中：J為每一列的雅可比矩陣；表示位姿矩陣1～4列的參數(shù)。

雅克比矩陣是相對于末端坐標(biāo)系構(gòu)建的，則有：

式中：為變換矩陣的前三行三列矩陣；J為基端坐標(biāo)系的雅可比矩陣。

對于三連桿的操作臂，可以寫出一個3×3的雅克比矩陣，該矩陣將關(guān)節(jié)速度和末端執(zhí)行器的速度聯(lián)系起來，解得雅克比矩陣為：

1.2 奇異性分析

多數(shù)操作臂都有使雅克比矩陣出現(xiàn)奇異的值。所有操作臂在工作空間的邊界都存在奇異位形，且多數(shù)操作臂在其工作空間內(nèi)也有奇異位形。當(dāng)2為0或180°時，機(jī)構(gòu)處于奇異位形。從物理意義上講，當(dāng)2＝0時，操作臂完全展開，處于這種位形時，末端執(zhí)行器僅可沿坐標(biāo)的某個方向運(yùn)動，即失去了一個自由度。同樣，當(dāng)2＝180°時，操作臂完全收回時，手臂也只能沿著一個方向運(yùn)動，而不能在兩個方向運(yùn)動。由于這類奇異位形處于操作臂工作空間的邊界上，因此稱其為工作空間邊界的奇異位形。

1.3 力雅克比矩陣求解

機(jī)械手在作業(yè)過程中，各關(guān)節(jié)產(chǎn)生相應(yīng)的作用力。由機(jī)械手每個關(guān)節(jié)的驅(qū)動裝置提供的關(guān)節(jié)力，通過連桿傳遞到執(zhí)行端，并克服外界作用力。

機(jī)械手的末端執(zhí)行器受到外載荷作用，各關(guān)節(jié)的驅(qū)動力（矩）通過連桿傳遞到末端執(zhí)行器，從而克服外界作用力（矩）。

該機(jī)械手是由各個連桿和各種關(guān)節(jié)相連接組成，把其中一個連桿作為靜力分析的對象。連桿及相鄰連桿－1間的作用力和作用力矩關(guān)系，如圖2所示。

圖2 鄰桿之間力和力矩關(guān)系

連桿的力和力矩平衡方程在坐標(biāo)系{}中表示為：

式中：矢量左上標(biāo)為該矢量在坐標(biāo)系{}中的表示；r為連桿的質(zhì)心相對于{}的表示；p1為坐標(biāo)系{＋1}原點(diǎn)相對于坐標(biāo)系{}的表示。

忽略連桿自身的重力，式（4）寫成反向迭代的形式，為：

通過旋轉(zhuǎn)矩陣將式（5）右端力（矩）表示在自身坐標(biāo)系{＋1}中，在忽略連桿自重的情況下，根據(jù)力和力距平衡方程，從末端連桿開始逐次向基坐標(biāo)反向遞推，得到各連桿所受到的力和力矩。利用連桿變換矩陣[3]，將力和力矩寫成在自身坐標(biāo)系中的表示，計算每個關(guān)節(jié)驅(qū)動力和力矩，從而得到由操作力矩向各個關(guān)節(jié)力和力矩映射的雅克比在末端連桿坐標(biāo)系的描述：

為了求出保持系統(tǒng)靜平衡所需要的關(guān)節(jié)力矩，應(yīng)計算關(guān)節(jié)軸矢量和施加在連桿上的力矩矢量的點(diǎn)積，于是有：

得力雅克比矩陣：

對所得計算結(jié)果進(jìn)行分析驗(yàn)證，得出力雅克比矩陣是雅克比矩陣的轉(zhuǎn)置。證明此機(jī)構(gòu)建立的正確性，為今后的動力學(xué)分析奠定了基礎(chǔ)。

2 基于ADAMS對機(jī)械手動力學(xué)仿真

2.1 SolidWorks運(yùn)動學(xué)模型的建立

本文所分析的機(jī)構(gòu)是在SolidWorks軟件下進(jìn)行實(shí)體建模，如圖3所示。幾何建模后，通過各種約束來限制構(gòu)件間的自由度，以達(dá)到需要的相對運(yùn)動，以此就把各構(gòu)件連接成一個機(jī)械系統(tǒng)。

圖3 機(jī)械手簡化模型

2.2 機(jī)械手動力學(xué)分析

前面研究了機(jī)械手的靜態(tài)位置、靜態(tài)力和速度，但還未考慮引起運(yùn)動所需的力。機(jī)械手是一個不斷運(yùn)動、受到各種力的動力系統(tǒng)，為多參數(shù)變量的非線性耦合系統(tǒng)[9]。機(jī)械手動力學(xué)主要研究的是機(jī)械手各個關(guān)節(jié)的運(yùn)動與關(guān)節(jié)需要的驅(qū)動力之間的關(guān)系。

現(xiàn)今求解動力學(xué)問題的方法主要分為兩大類：一是運(yùn)用機(jī)械手運(yùn)動參數(shù)，遞推并建立牛頓－歐拉方程，另一類是利用機(jī)械系統(tǒng)、能量平衡，對機(jī)械手的變量參數(shù)進(jìn)行微分，求得機(jī)械手各關(guān)節(jié)變量。

本文采用拉格朗日法建立動力學(xué)方程，為今后進(jìn)行伺服電機(jī)和減速機(jī)的選型做理論基礎(chǔ)準(zhǔn)備。伺服電機(jī)的選型應(yīng)該盡量較精確地符合運(yùn)動模型，這樣便于優(yōu)化機(jī)電系統(tǒng)，有利于精確控制。

流程如圖4所示，先求得機(jī)械臂的動能和勢能，然后建立拉格朗日函數(shù)，最終對函數(shù)求導(dǎo)并得到動力學(xué)方程。

圖4 拉格朗日動力學(xué)方程求解示意圖

三自由度機(jī)械臂的動能、勢能分別為：

式中：1、2、3分別為桿1、2、3的動能；1、2、3分別為桿1、2、3的勢能；m為負(fù)載質(zhì)量。

拉格朗日動力學(xué)公式給出了一種從標(biāo)量函數(shù)推導(dǎo)動力學(xué)方程的方法，這個標(biāo)量函數(shù)為拉格朗日函數(shù)，即一個機(jī)械系統(tǒng)的動能和勢能的差值：

式中：和可以用任何方便的坐標(biāo)來表示。

則機(jī)械手的動力學(xué)方程可表示為：

2.3 動力學(xué)仿真

在SolidWorks中完成建模后，注意保證各個零件的相對位置關(guān)系，減少在ADAMS中的更改。在SolidWorks插件中找到SolidWorks Motion勾選，進(jìn)行運(yùn)動算例1，選擇Motion分析，選中模型右鍵“輸出到ADAMS”[10]，最后在ADAMS環(huán)境中生成三自由度機(jī)械手的虛擬樣機(jī)如圖5所示。機(jī)械手各組件的連接如表2所示。

對機(jī)械手運(yùn)動進(jìn)行仿真、使用后處理模塊，在各個關(guān)節(jié)處分別添加如下驅(qū)動函數(shù)：

STEP( time , 0 , 0d , 1 , -60d )

STEP( time , 0 , 0d , 1 , -60d )

STEP( time , 0 , 0d , 1 , 60d )

圖5 虛擬樣機(jī)

表2 機(jī)械手各組件的連接

繪制各個關(guān)節(jié)力矩、角度、角速度、角加速度隨時間的變化曲線，如圖6所示。

機(jī)械臂的旋轉(zhuǎn)角度變化導(dǎo)致動力學(xué)各個參數(shù)發(fā)生變化，在一定時間內(nèi)，轉(zhuǎn)角越大、速度越快，每個關(guān)節(jié)所需驅(qū)動力矩也就越大。

3 結(jié)論

（1）采用D-H參數(shù)方法，建立了三自由度機(jī)械手運(yùn)動學(xué)模型，并得到了機(jī)械手運(yùn)動學(xué)正解。當(dāng)已知關(guān)節(jié)角位移變量時，可以獲得機(jī)械手末端相對于基座的位置。

（2）獲得機(jī)械手的雅可比矩陣和力雅可比矩陣，并相互驗(yàn)證以獲得正確的結(jié)果，為今后動力學(xué)分析奠定了基礎(chǔ)。

（3）利用ADAMS軟件對機(jī)械手添加運(yùn)動約束驅(qū)動并進(jìn)行仿真，得到各關(guān)節(jié)處力矩、角度、角速度、角加速度的關(guān)系曲線，為機(jī)械手控制的研究奠定了基礎(chǔ)。

圖6 各關(guān)節(jié)參數(shù)的變化曲線

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The Establishment and Dynamics Simulation of Three-Degree-of-Freedom Manipulator Jacobian Matrix

CAI Yuqiang，ZHANG Wenrui

( School of Mechanical Engineering, North China University of Science and Technology, Tangshan 063210, China )

Through the simulation technology based on ADAMS, this paper analyzes the kinematics and dynamics simulation of industrial machinery. For the three-degree-of-freedom industrial pick-up robot, the reference coordinate system of each link is established by the DH method. First, the main theory and mathematical foundation of the robot are studied, and the kinematics equations of the robot are obtained. The posture relationship between the connecting rod and the end effector is derived, the kinematic equation of the robot is developed, and the Jacobian matrix is obtained by the differential change method. Through the recursion of the force and moment between the connecting rods, deli Jacobian matrix is obtained to verify the correctness of the robot establishment. Then the manipulator motion was simulated in ADAMS using the post-processing module. The driving function was added to each joint respectively, and the feasibility of the mechanism was verified.

manipulator；three-degree-of-freedom；Jacobian matrix；ADAMS

TH113

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2020.12.009

1006－0316 (2020) 12－0061－07

2020－07－14

河北省教育廳項目（2019GJJG216）；華北理工大學(xué)博士啟動基金項目（BS2017094）

蔡玉強(qiáng)（1967－），男，河北唐山人，博士，教授，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械機(jī)構(gòu)學(xué)與機(jī)械動力學(xué)，E-mail：caiyq@ncst.edu.cn。