從科學(xué)歸納走向深度理解

張翠華

【摘 要】在教學(xué)教學(xué)中，普遍存在著合情推理教學(xué)“思維過程不完整、表征猜想不充分、解釋原委不科學(xué)”等問題，嚴(yán)重影響了學(xué)生推理和創(chuàng)新能力的培育。合情推理教學(xué)應(yīng)凸顯過程性，夯實(shí)“發(fā)現(xiàn)和提出問題”的教學(xué)，注重“結(jié)論”的解釋說理，尤其要正視學(xué)生認(rèn)知的“低水平”和數(shù)學(xué)理解的“高要求”之間的矛盾，著力通過“科學(xué)歸納推理”實(shí)現(xiàn)“深度理解”，真正讓學(xué)生“知其然又知其所以然”。

【關(guān)鍵詞】合情推理 提出問題 科學(xué)歸納推理 深度理解

波利亞曾說過：“只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程稍能反映出數(shù)學(xué)的發(fā)明過程的話，那么就應(yīng)當(dāng)讓猜測(cè)、合情推理占據(jù)適當(dāng)?shù)奈恢谩！焙锨橥评斫虒W(xué)關(guān)乎小學(xué)生推理和創(chuàng)新能力的培育，但在教學(xué)一線合情推理的教學(xué)卻存在著諸多問題。筆者以“3的倍數(shù)特征”為例，談一談自己的思考和教學(xué)嘗試。

一、“合情推理”教學(xué)中的尷尬

（一）合情推理的過程不完整

在教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)“3的倍數(shù)特征”時(shí)，教材是以百數(shù)表中3的倍數(shù)為例，借助計(jì)數(shù)器引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并概括3的倍數(shù)特征，期待學(xué)生基于已有經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生認(rèn)知沖突，并通過合情推理初步獲得發(fā)現(xiàn)，從而培養(yǎng)學(xué)生初步的推理能力，積累相關(guān)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。但是，在獲得3的倍數(shù)特征后，教材僅僅要求學(xué)生舉出幾個(gè)反例來“強(qiáng)化”已有“發(fā)現(xiàn)”，并沒有立足“一般化”，引導(dǎo)學(xué)生去“證明”或解釋說理。這樣組織教學(xué)既不符合知識(shí)發(fā)展的規(guī)律，也會(huì)增加學(xué)生“不求甚解”思想的風(fēng)險(xiǎn)。

（二）“提出問題”的教學(xué)不充分

發(fā)現(xiàn)問題和提出問題是合情推理思維活動(dòng)的起始環(huán)節(jié)。當(dāng)學(xué)生通過對(duì)百以內(nèi)3的倍數(shù)的依次研究發(fā)現(xiàn)：12（1+2=3），15（1+5=6），18（1+8=9），21（2+1=3）……意識(shí)到其中是有規(guī)律的，便產(chǎn)生用語言表達(dá)的沖動(dòng)，這就是發(fā)現(xiàn)問題的過程。在此基礎(chǔ)上，超越具體上升到一般，嚴(yán)謹(jǐn)表述出一個(gè)結(jié)論性的東西（數(shù)學(xué)上也稱為命題），這就是提出問題的過程。小學(xué)階段提出問題多以自然語言表征為主。從發(fā)現(xiàn)問題到提出問題，個(gè)體的思維必然要經(jīng)歷一個(gè)從混沌到清晰的過程，問題的本質(zhì)將進(jìn)一步得以凸顯，解釋證明的方向?qū)⑦M(jìn)一步明確。但常見的教學(xué)行為是將“發(fā)現(xiàn)問題”視作“提出問題”，不再給予學(xué)生進(jìn)一步思考的機(jī)會(huì)，轉(zhuǎn)而由教師代為“提出問題”，剝奪了學(xué)生“用數(shù)學(xué)語言表達(dá)”的權(quán)利，影響了其創(chuàng)新能力的發(fā)展。

（三）解釋“原委”的方法不科學(xué)

基于合情推理得到的“結(jié)論”具有偶然性，正確與否尚需證明。受學(xué)生思維發(fā)展水平以及數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性兩大因素制約，相關(guān)“證明”活動(dòng)往往以“舉例驗(yàn)證”的方式展開，以期學(xué)生獲得對(duì)結(jié)論的信服與接納。如讓學(xué)生再找一些3的倍數(shù)，算出各個(gè)數(shù)位上數(shù)的和是3的倍數(shù);或找一些不是3的倍數(shù)的數(shù)，算出各個(gè)數(shù)位上數(shù)的和不是3的倍數(shù)等。然而再多的舉例驗(yàn)證還是合情推理，只能進(jìn)一步強(qiáng)化結(jié)論的可信度，并不能解釋或證明其合理性和正確性。事實(shí)上也正如許多學(xué)生所擔(dān)心的那樣——萬一有例外呢？

二、化解“尷尬”的教學(xué)嘗試

（1）要凸顯過程性，即引領(lǐng)學(xué)生切實(shí)展開完整的合情推理過程，并著重強(qiáng)化“發(fā)現(xiàn)問題和提出問題”的教學(xué);（2）要追求理解性，即正視學(xué)生認(rèn)知現(xiàn)實(shí)的“低水平”與數(shù)學(xué)理解的“高要求”之間的矛盾，引領(lǐng)學(xué)生基于“科學(xué)歸納”展開分析、說理，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)深度理解。

（一）夯實(shí)發(fā)現(xiàn)表征過程，明晰命題結(jié)構(gòu)

1.觀察比較，基于經(jīng)驗(yàn)尋找

師：老師將大家找到的3的倍數(shù)用圓圈圈了出來（見圖1）。

師：仔細(xì)觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：從1開始每3個(gè)數(shù)中有1個(gè)3的倍數(shù)。

生：這里3的倍數(shù)都排成了斜行，而且都相差9。比如第一斜行12-3=9，21-12=9，其他斜行也是。

生：以3打頭的那一斜行每個(gè)數(shù)都是3的倍數(shù)，以9打頭的也是這樣。

生：圖中3的倍數(shù)個(gè)位上0～9的每個(gè)數(shù)都有。

學(xué)生們的發(fā)現(xiàn)總是發(fā)散的、開放的，但發(fā)現(xiàn)問題的視角大都停留在3的倍數(shù)的排列特點(diǎn)和大小關(guān)系上。少數(shù)學(xué)生受研究2和5倍數(shù)特征經(jīng)驗(yàn)的影響，對(duì)個(gè)位展開研究發(fā)現(xiàn)了不是規(guī)律的“規(guī)律”。接下來教師還是要繼續(xù)等待，以“逼出”新的發(fā)現(xiàn)，并通過群體的“社會(huì)化學(xué)習(xí)”激發(fā)學(xué)生對(duì)問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

2.切換視角，獲得創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)

師：我們換個(gè)角度來研究，還能有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生：我發(fā)現(xiàn)以3打頭的那一斜行，除了3之外每個(gè)數(shù)個(gè)位和十位的和都是3，如1+2=3，以6或9打頭的數(shù)，每個(gè)數(shù)個(gè)位和十位的和都是6或9。

師：這倒是一種新發(fā)現(xiàn)，同學(xué)們都來研究一下，看是不是這樣？

生：是的。不過我也有新的發(fā)現(xiàn)——以30、60和90打頭的這幾個(gè)斜行，每個(gè)數(shù)個(gè)位和十位的和都是3的倍數(shù)，如3+9=12、6+9=15等。

師：發(fā)現(xiàn)又進(jìn)了一步，真的都是這樣嗎？

生（欣喜）：真的是這樣，都是3的倍數(shù)。

生：每一斜行上個(gè)位和十位上數(shù)的和都是3的倍數(shù)。

在課堂學(xué)習(xí)中，教師營(yíng)造的“期待”“等待”過程就是一個(gè)“孕育”的過程。當(dāng)學(xué)生切換了視角，基于計(jì)算、抽象、概括等活動(dòng)，從不同的對(duì)象間找到相同的特點(diǎn)、感受到蘊(yùn)含其間的規(guī)律，并產(chǎn)生了表達(dá)的沖動(dòng)，這便完成了“發(fā)現(xiàn)問題”的思維過程。

3.舉例驗(yàn)證，歸納提出問題

師：如果是三位數(shù)、四位數(shù)或更大的數(shù)有沒有這樣的現(xiàn)象呢？請(qǐng)同學(xué)們借助表格再任意舉一些例子，算一算，然后說說自己的發(fā)現(xiàn)。

生：只要這個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，那么它各個(gè)數(shù)位上數(shù)的和就是3的倍數(shù)。如果一個(gè)數(shù)不是3的倍數(shù)，那么它各個(gè)數(shù)位上數(shù)的和就不是3的倍數(shù)。

生：是的，各個(gè)數(shù)位上數(shù)的和是3的倍數(shù)，應(yīng)該就是3的倍數(shù)的共同特征。

生：想判斷一個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)，就可以看它各個(gè)數(shù)位上數(shù)的和。

……

在發(fā)現(xiàn)問題的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生通過舉例驗(yàn)證進(jìn)一步確認(rèn)和強(qiáng)化之前的發(fā)現(xiàn)，可以進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的表達(dá)欲。學(xué)生通過對(duì)現(xiàn)象特點(diǎn)的歸納、抽象、概括并以文字語言形式表達(dá)出來，便完成了“提出問題”的思維過程，即得到了一個(gè)猜想。

（二）借助操作直觀探析，把握問題關(guān)鍵

1.及時(shí)反思，審慎探究

師：我們有了自己的發(fā)現(xiàn)。現(xiàn)在最要緊的是要做一件什么事情呢？

生：做練習(xí)。

師：不是做練習(xí)。我們通過研究幾個(gè)例子獲得了發(fā)現(xiàn)，這個(gè)發(fā)現(xiàn)就一定是對(duì)的嗎？

生：不一定。因?yàn)?的倍數(shù)有無數(shù)個(gè)。

生：是的，我們沒有一個(gè)個(gè)地研究，萬一有例外呢？

師：大家的想法很好，接下來還要進(jìn)一步地研究才行。

2.借助直觀，體察關(guān)鍵

師：“132”這個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，你能根據(jù)數(shù)的組成用手中的學(xué)具擺出“132”來嗎？

生操作展示（見圖2）。

師：1個(gè)百里最多可以分掉多少個(gè)3，還剩下幾？3個(gè)十里面呢？請(qǐng)大家分一分、圈一圈，然后說說自己的發(fā)現(xiàn)（見圖3）。

生：1個(gè)百里最多有33個(gè)3，圈掉99還剩下1，1個(gè)十里最多有3個(gè)3，圈掉9還剩下1，3個(gè)十就剩下3。

生：剩下的數(shù)正好就是“132”。1+3+2=6，6里面正好有2個(gè)3。

師：也就是說，從“132”各部分中先圈掉的那些數(shù)都是3的倍數(shù)，而各部分剩下的數(shù)合起來也正好是3的倍數(shù)。

師：請(qǐng)大家像這樣再圈一圈“245”，看看又有什么發(fā)現(xiàn)。

生：從“245”的各部分中也可以圈掉一些3的倍數(shù)，剩下的數(shù)正好是“2、4、5”，這些數(shù)合起來不是3的倍數(shù)，所以“245”不是3的倍數(shù)。

師：大家想一想在這兩個(gè)數(shù)中，決定它們是不是3的倍數(shù)的關(guān)鍵在哪里？

生：關(guān)鍵在分剩下的那些數(shù)上。這些數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)，這些數(shù)的和不是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)也就不是3的倍數(shù)。

一個(gè)猜想的提出總會(huì)給人帶來愉悅的精神享受。但此時(shí)更重要的是要保持一種審慎的態(tài)度，理性對(duì)待這一“偉大的發(fā)現(xiàn)”，進(jìn)而展開進(jìn)一步的充分“論證”，這是展開深度學(xué)習(xí)必須要葆有的一種優(yōu)秀品質(zhì)。借助直觀，根據(jù)數(shù)的組成學(xué)生發(fā)現(xiàn)每一個(gè)計(jì)數(shù)單位里總有一個(gè)3的最大倍數(shù)，這個(gè)數(shù)無疑就是3的倍數(shù)。當(dāng)剩下的數(shù)的和也是3的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)也就一定是3的倍數(shù)了。因此判斷一個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)，關(guān)鍵就要看這些“分剩下的數(shù)”。至此，學(xué)生對(duì)其中的原委已經(jīng)有了較為直觀感性的了解，但距離形成清晰而理性的認(rèn)知尚有一段路要走。

（三）嘗試數(shù)學(xué)形式推演，獲得“原委”理解

1.借助直觀，理解抽象

師：其實(shí)“132”這個(gè)數(shù)還可以這樣表示。

板書：132=（100×1）+（10×3）+2

=（99+1）+（9×3+3）+2

=（99+9×3）+（1+3+2）

師：同學(xué)們，你們能結(jié)合剛才圈一圈的過程說說你對(duì)這里算式的理解嗎？

生：“132”是由1個(gè)百、3個(gè)十和2個(gè)一組成的，從1個(gè)百里分掉1個(gè)99還剩下1，從3個(gè)十圈掉3個(gè)9還剩下3，剩下的數(shù)正好就是“132”各個(gè)數(shù)位上的數(shù)。

生：（99+9×3）一定是3的倍數(shù)，（1+3+2）也是3的倍數(shù)。所以“132”是3的倍數(shù)。

2.基于推演，洞悉本質(zhì)

師：你能再舉出一些3的倍數(shù)，像剛才那樣寫一寫、說一說嗎？

生：354=（100×3）+（10×5）+4=（99×3+3）+（9×5+5）+4=（99×3+9×5）+（3+5+4）?！?54”是由3個(gè)百、5個(gè)十和4個(gè)一組成，從3個(gè)百里可以分掉3個(gè)99還剩下3，從5個(gè)百里可以分掉5個(gè)9還剩下5，3+5+4=12，12是3的倍數(shù)，所以“354”是3的倍數(shù)。

生：2538=（1000×2）+（100×5）+（10×3）+8=（999×2+2）+（99×5+5）+（9×3+3）+8=（999×2+99×5+9×3）+（2+5+3+8）。從2個(gè)千里分掉2個(gè)999還剩下2，從5個(gè)百里分掉5個(gè)99剩下5，從3個(gè)十里分掉3個(gè)9剩下3，2+5+3+8=18，18是3的倍數(shù)，所以“2538”是3的倍數(shù)。

……

師：通過以上的活動(dòng)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)每個(gè)數(shù)像這樣分一分，最后剩下的數(shù)都是原來的那個(gè)數(shù)。

生：我發(fā)現(xiàn)每個(gè)數(shù)位（除各位以外）上有幾個(gè)計(jì)數(shù)單位，分掉3的最大倍數(shù)后就余幾。余下來的數(shù)的和是3的倍數(shù)。

生：現(xiàn)在我知道看一個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)為什么要看各個(gè)數(shù)位上數(shù)的和的道理了。

……

上述的形式化推演實(shí)際上就是一個(gè)“科學(xué)歸納推理”的過程，雖然其不是嚴(yán)格意義上的演繹證明，但它是基于對(duì)一類事物部分對(duì)象的分析研究，通過演繹推理揭示了對(duì)象與其屬性之間必然的因果聯(lián)系，因而可以用來解釋說理。為降低學(xué)生的理解難度，教師先直接給出形式化推演過程讓學(xué)生結(jié)合之前的直觀操作解釋每一步的含義，賦“抽象操作”以“直觀背景”。再讓學(xué)生照樣子寫一寫、說一說，促成學(xué)生獲得新的發(fā)現(xiàn)——數(shù)位上有幾個(gè)計(jì)數(shù)單位，分掉3的最大倍數(shù)后總會(huì)剩下幾，一個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)就是由這幾個(gè)數(shù)決定的。這樣，學(xué)生就獲得了判斷一個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)關(guān)鍵特征“原委”的理解。

合情推理的教學(xué)，尤其要注重“大膽猜想提出問題”和“審慎分析解釋說理”的教學(xué)，讓學(xué)生在習(xí)得知識(shí)的同時(shí)有更深刻的理解，在“探究與深究”中發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。