基于錐形刀具的螺旋錐齒輪齒頂?shù)估饧庸し抡嫜芯?/h1>
2021-02-01 03:05:50卞博洪榮晶
輕工學(xué)報(bào) 2021年1期
卞博，洪榮晶
南京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 南京 211800
0 引言
螺旋錐齒輪因承載力高、傳動(dòng)平穩(wěn)，被廣泛應(yīng)用于飛機(jī)、車輛、工程機(jī)械等傳動(dòng)系統(tǒng)中[1-2].螺旋錐齒輪在切削加工過程中，齒面和齒頂常常會(huì)有毛刺、飛邊等“棱”出現(xiàn)，在劇烈工況下，會(huì)產(chǎn)生噪聲、沖擊及齒面快速疲勞破壞等現(xiàn)象[3-5]，因此對(duì)齒頂?shù)估饧夹g(shù)的研究非常重要.
發(fā)達(dá)工業(yè)國(guó)家在齒輪倒棱技術(shù)上有較為成熟的經(jīng)驗(yàn)，SAMPUTENSILI公司生產(chǎn)的SM2TA擠棱機(jī)以擠棱工藝加工熱前未淬硬齒輪的齒廓棱線部分；日本山陽研制的五軸雙曲面齒輪倒棱機(jī)，自動(dòng)化程度較高且易操作[6]；K.M.Ribbeck等[7]在刀盤上安裝多把刀具，通過刀盤與工件旋轉(zhuǎn)完成螺旋錐齒輪的倒棱加工.國(guó)內(nèi)部分學(xué)者對(duì)倒棱問題也進(jìn)行了研究，徐彥偉等[8]提出了采用錐形砂輪實(shí)現(xiàn)弧齒錐齒輪大輪齒頂?shù)估猓焕罴训萚9]提出了旋分倒棱技術(shù)，該方法需要1個(gè)平移和3個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)聯(lián)動(dòng)；魏巍等[10]提出的盤形刀具的弧齒錐齒輪齒頂?shù)估饧庸し椒ǎ赏瑫r(shí)加工兩邊倒棱，但形狀誤差較大，達(dá)0.5 mm.劉景成[11]提出采用盤狀銑刀的弧齒錐齒輪單邊倒棱加工方法，加工精度可達(dá)0.07 mm，但該方法僅適用于大輪.上述研究大多以雙邊倒棱為基礎(chǔ)，著重提高倒棱效率，對(duì)于倒棱精度的重視不夠.鑒于此，本文擬以小輪為對(duì)象，提出基于錐形刀具的螺旋錐齒輪齒頂?shù)估饧庸し椒ǎ赐ㄟ^建立齒頂棱線方程，設(shè)置倒棱參數(shù)，對(duì)錐形刀具軌跡進(jìn)行求解計(jì)算，從而實(shí)現(xiàn)倒棱大小的靈活控制，同時(shí)提高倒棱精度.
1 齒頂棱線方程的建立
1.1 錐形刀具倒棱加工原理
螺旋錐齒輪形體復(fù)雜，但根據(jù)成型原理，可將螺旋錐齒輪看作是由一個(gè)個(gè)齒形截面(見圖1)銜接構(gòu)成的，所有截面均垂直于齒向曲線，因?yàn)辇X頂棱線依據(jù)齒向線生成，所以這些截面近似垂直于齒頂棱線.
錐形刀具倒棱加工，實(shí)質(zhì)上是指刀具切削側(cè)刃沿齒頂做切削運(yùn)動(dòng)的加工.錐形刀具在進(jìn)行倒棱加工時(shí)，刀具走向與齒頂棱線密切相關(guān)，其軌跡求解流程為：根據(jù)垂直于齒頂棱線的齒形截面對(duì)倒棱參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，得出刀具倒棱加工軌跡.因計(jì)算的需要，應(yīng)首先對(duì)齒頂棱線方程[12]進(jìn)行求解.
1.2 齒頂棱線方程的推導(dǎo)
本文以一對(duì)螺旋錐齒輪副的小輪為例來研究倒棱加工.由文獻(xiàn)[13]可知，其齒頂棱線方程為
圖1 齒形截面Fig.1 Tooth section
①
其中，Lx為齒線上任一點(diǎn)錐距，hax為棱線任一點(diǎn)齒頂高，δ為節(jié)錐角，t為齒線任一點(diǎn)轉(zhuǎn)角，PC為節(jié)錐頂點(diǎn)與頂錐頂點(diǎn)的距離.
1.3 齒頂棱線方程的驗(yàn)證
取一對(duì)螺旋錐齒輪副的小輪參數(shù)并創(chuàng)建模型，進(jìn)行齒頂棱線和后續(xù)倒棱的計(jì)算和驗(yàn)證.螺旋錐齒輪參數(shù)分別為：齒數(shù)15，大端模數(shù)6，外錐距95.29 mm，節(jié)錐角28.18°，壓力角20°，螺旋角39.87°，齒頂高4.2 mm，齒根高5.4 mm.在UG中根據(jù)基本參數(shù)構(gòu)建的螺旋錐齒輪三維模型如圖2所示.
提取三維模型中一條齒頂棱線的30個(gè)點(diǎn)(即圖2所示模型上的棱線點(diǎn)集)，在Matlab中與式①齒頂線方程進(jìn)行比對(duì)，齒頂棱線方程驗(yàn)證結(jié)果如圖3所示.由圖3可以看出，齒頂棱線方程與三維模型中棱線提取的數(shù)據(jù)點(diǎn)基本重合，說明螺旋錐齒輪齒頂棱線參數(shù)方程與理論模型誤差不大，可以作為后續(xù)刀具軌跡計(jì)算的依據(jù).
2 刀具軌跡求解
2.1 局部坐標(biāo)系原點(diǎn)與各軸矢量計(jì)算
將齒輪軸心線與坐標(biāo)軸重合，使得給定主坐標(biāo)系位于螺旋錐齒輪上頂部中心，且Z軸與軸心線一致.根據(jù)齒頂棱線分割的離散點(diǎn)，得出與離散點(diǎn)相同數(shù)量的棱線法平面，設(shè)離散點(diǎn)為O2(x0,y0,z0),對(duì)應(yīng)齒頂棱線方程自變量t0，棱線法平面為P，則法平面方程[14]為
圖2 螺旋錐齒輪三維模型Fig.2 3D model of spiral bevel gear
x′(t0)·(x-x0)+y′(t0)·(y-y0)+
z′(t0)·(z-z0)=0
該法平面的法矢量v2=[x′(t0),y′(t0),z′(t0)]為局部坐標(biāo)系的Y坐標(biāo)軸矢量，法截面P與Z軸交點(diǎn)及矢量如圖4所示，其中法平面與螺旋錐齒輪軸線的交點(diǎn)O1即為所求的局部坐標(biāo)系原點(diǎn)，該點(diǎn)在主坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為O1(0,0,w)，根據(jù)平面與直線的交點(diǎn)關(guān)系，求得：
點(diǎn)O1與離散點(diǎn)連成的直線矢量作為局部坐標(biāo)系的Z坐標(biāo)軸矢量v3[x0,y0,z0-w]，因坐標(biāo)系三矢量?jī)蓛纱怪?，所?/p>
因v1有無窮多解，可選取其中一個(gè)v1=[1，b,c]作為X軸矢量.
2.2 當(dāng)量齒輪齒廓齒頂角度求解
圖3 齒頂棱線方程驗(yàn)證結(jié)果Fig.3 Verification results of tooth top ridge equation
由于當(dāng)量齒輪齒廓齒頂角度θ并不是一個(gè)定值，故它會(huì)隨著倒棱大小的改變而作微小改變.為提高刀具軌跡的精度，需要求解齒廓頂角θ與倒棱大小參數(shù)Ld1和Ld2之間的關(guān)系.而大多螺旋錐齒輪齒頂?shù)估馍疃仍?.2～0.5 mm之間，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于齒輪的尺寸，所以齒頂?shù)估庑螤羁煽醋饕粋€(gè)三角形，即弧線近似為直線，根據(jù)漸開線與圓的性質(zhì)，可由螺旋錐齒輪的基本參數(shù)和給定的倒棱長(zhǎng)度，求出齒廓頂角θ.螺旋錐齒輪當(dāng)量齒輪參數(shù)如圖6所示.在圖6的坐標(biāo)系下，齒頂角求解過程如下.
圖4 法截面P與Z軸交點(diǎn)及矢量Fig.4 Intersection point and vector of normal section P and Z axis
圖5 單齒截面與倒棱參數(shù)Fig.5 Single tooth section and chamfer parameters
1)首先求解漸開線與齒頂圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)漸開線方程計(jì)算得O3坐標(biāo)：
O3=[x3,y3]=[Rj·sinα0-Rj·α0·cosα0,Rj·cosα0+Rj·α0·sinα0]
2)根據(jù)弧長(zhǎng)Ld1和Ld2可以計(jì)算出點(diǎn)H和點(diǎn)G的坐標(biāo)，計(jì)算可得
H=[xh,yh]=
[x3·cosφ-y3·sinφ,x3·sinφ+y3·cosφ]
G=[xg,yg]=
[Rj·sinσ-Rj·σ·cosσ,Rj·cosσ+Rj·σ·sinσ]
3)聯(lián)立O3，H，G這3點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出齒頂角，即
圖6 螺旋錐齒輪當(dāng)量齒輪參數(shù)Fig.6 Equivalent gear parameters of spiral bevel gear
②
2.3 刀位點(diǎn)在副坐標(biāo)系的坐標(biāo)求解
刀位點(diǎn)與刀軸矢量如圖7所示，其中，O2為倒棱曲線上離散點(diǎn)，在副坐標(biāo)系下坐標(biāo)為[0,0,r]，倒棱形狀可看成三角形，線段O2D可看成與X2軸平行，O2D=Ld1，O2C=Ld2，設(shè)定刀具角度為δ，刀尖露出長(zhǎng)度BC=Lt.根據(jù)平面幾何關(guān)系，求出刀位點(diǎn)B和刀軸矢量上A的坐標(biāo).
先求出三角形的內(nèi)角：
③
據(jù)此可以求出γ角：
④
其中
⑤
根據(jù)式②—⑤，可以得出B點(diǎn)和A點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
B=[-lBE,0,r-lO2E]=
[-lBO2·sinγ,0,r-lBO2·cosγ]
圖7 刀位點(diǎn)與刀軸矢量Fig.7 Tool point and tool axis vector
2.4 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換
將副坐標(biāo)系下的刀位點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為主坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，以便于生成加工代碼.
首先將副坐標(biāo)系各軸矢量轉(zhuǎn)換為單位矢量，轉(zhuǎn)換后單位矢量為v11=[ux,uy,uz]，v21=[mx,my,mz]，v31=[nx,ny,nz].設(shè)某點(diǎn)在主坐標(biāo)系下坐標(biāo)為(x,y,z)，在副坐標(biāo)系下坐標(biāo)為(xf,yf,zf)，副坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)為O1(0,0,w)，據(jù)此可以構(gòu)建一個(gè)如下的線性方程組：
因此，副坐標(biāo)系點(diǎn)轉(zhuǎn)為主坐標(biāo)系坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換矩陣為
A，B兩點(diǎn)在主坐標(biāo)系下的坐標(biāo)可由轉(zhuǎn)換矩陣T求出：
AZ=T·AT
⑥
BZ=T·BT
⑦
由一個(gè)個(gè)刀尖點(diǎn)BZ組成刀尖軌跡.
刀軸矢量為
⑧
由式⑥—⑧即可確定刀具軌跡.
3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析
為檢驗(yàn)本文提出的倒棱加工方法的有效性，進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn).通過對(duì)仿真模型數(shù)據(jù)的提取，計(jì)算出法截面和齒頂棱線與倒棱邊界線交點(diǎn)之間的距離，并與倒棱大小參數(shù)進(jìn)行比對(duì)分析.
3.1 倒棱參數(shù)設(shè)置與仿真步驟
設(shè)置3組倒棱參數(shù)：Ld1=Ld2=0.3 mm；Ld1=0.2 mm，Ld2=0.3 mm；Ld1=0.3 mm，Ld2=0.2 mm.錐形刀具參數(shù)為Φ4×90°×50×3F，刀尖露出長(zhǎng)度Lt=0.5 mm.在Matlab中，根據(jù)式⑥—⑧編寫由齒頂棱線離散點(diǎn)轉(zhuǎn)換為倒棱刀位點(diǎn)和刀軸矢量的程序，并后置處理得到數(shù)控加工代碼，而后在數(shù)控機(jī)床加工仿真軟件VERICUT平臺(tái)上建立倒棱加工仿真模型，即可進(jìn)行仿真.
在軟件VERICUT中導(dǎo)入機(jī)床模型文件，在機(jī)床轉(zhuǎn)臺(tái)位置添加齒輪模型(齒輪模型參數(shù)見1.3)，并設(shè)置坐標(biāo)系統(tǒng)csys(0，0，0).然后添加錐形刀刀具模型，刀具編號(hào)設(shè)置為1，控制點(diǎn)設(shè)置為刀尖，在添加數(shù)控仿真代碼后，進(jìn)行加工仿真.倒棱切削模型如圖8所示，其中倒棱切削位置兩端的曲線為倒棱邊界線.將VERICUT切削模型導(dǎo)出，在UG中打開并提取兩端倒棱仿真邊界曲線.
3.2 誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)與結(jié)果分析
UG中的倒棱仿真邊界曲線與齒頂棱線如圖9所示，其中，中間曲線為輪齒右側(cè)齒頂棱線，兩端為倒棱仿真邊界曲線.在齒頂棱線上均勻分布20個(gè)離散點(diǎn)，以這些離散點(diǎn)確定齒頂棱線法平面，法平面與兩端倒棱邊界線相交得到
圖8 倒棱切削模型Fig.8 Chamfer cutting model
位于同一法平面的點(diǎn)U和L.將點(diǎn)U與點(diǎn)T之間的空間距離設(shè)為齒頂距離Dd1，T點(diǎn)與L點(diǎn)之間的空間距離設(shè)為齒面距離，倒棱形狀誤差可由如下公式進(jìn)行定義：
e=max(|Dd1-Ld1|,|Dd2-Ld2|)
根據(jù)設(shè)置的3組倒棱參數(shù)進(jìn)行仿真并比對(duì)，倒棱形狀誤差結(jié)果如圖10所示.由圖10可以看出，3組不同參數(shù)的倒棱的形狀誤差最大值皆出現(xiàn)在齒頂中部，而向兩端的形狀誤差都是呈逐漸變小的趨勢(shì)，說明倒棱刀具軌跡在齒頂中部的形狀誤差最大，在齒頂上下兩端的形狀誤差最??；3組倒棱形狀誤差均不大，最大形狀誤差≤0.05 mm，遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)[10-11]的誤差，說明錐形刀具倒棱確實(shí)提高了倒棱精度，且在刀位點(diǎn)和刀軸矢量方程中調(diào)整倒棱大小參數(shù)可靈活控制倒棱大小.本文方法中錐形刀具強(qiáng)度高、壽命長(zhǎng)，具有成本低、耐用度高的優(yōu)點(diǎn)，且該方法可在通用五軸機(jī)床上實(shí)現(xiàn)，無需專用機(jī)床，加工靈活性較高.
圖9 倒棱仿真邊界曲線與齒頂棱線Fig.9 Chamfer simulation boundary line and tooth crest line
圖10 倒棱形狀誤差結(jié)果Fig.10 Result of chamfer shape error
4 結(jié)語
本文提出基于錐形刀具的螺旋錐齒輪齒頂?shù)估饧庸し椒ǎ鶕?jù)齒頂棱線方程和倒棱參數(shù)的設(shè)置，對(duì)錐形刀具的刀位點(diǎn)和刀軸矢量進(jìn)行了公式推導(dǎo)，進(jìn)而求解刀具加工軌跡.仿真結(jié)果表明，在3組不同倒棱參數(shù)下，倒棱的形狀誤差不超過 0.05 mm，切實(shí)提高了倒棱精度，且倒棱大小可根據(jù)刀具軌跡方程進(jìn)行調(diào)整，驗(yàn)證了本文倒棱方法控制倒棱大小的精確性和靈活性.本文以小輪為研究對(duì)象，補(bǔ)足了單邊倒棱只研究大輪而忽視小輪的不足，得出的倒棱加工刀位計(jì)算公式，為下一步倒棱自動(dòng)編碼軟件的開發(fā)提供了理論依據(jù).
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發(fā)達(dá)工業(yè)國(guó)家在齒輪倒棱技術(shù)上有較為成熟的經(jīng)驗(yàn)，SAMPUTENSILI公司生產(chǎn)的SM2TA擠棱機(jī)以擠棱工藝加工熱前未淬硬齒輪的齒廓棱線部分；日本山陽研制的五軸雙曲面齒輪倒棱機(jī)，自動(dòng)化程度較高且易操作[6]；K.M.Ribbeck等[7]在刀盤上安裝多把刀具，通過刀盤與工件旋轉(zhuǎn)完成螺旋錐齒輪的倒棱加工.國(guó)內(nèi)部分學(xué)者對(duì)倒棱問題也進(jìn)行了研究，徐彥偉等[8]提出了采用錐形砂輪實(shí)現(xiàn)弧齒錐齒輪大輪齒頂?shù)估猓焕罴训萚9]提出了旋分倒棱技術(shù)，該方法需要1個(gè)平移和3個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)聯(lián)動(dòng)；魏巍等[10]提出的盤形刀具的弧齒錐齒輪齒頂?shù)估饧庸し椒ǎ赏瑫r(shí)加工兩邊倒棱，但形狀誤差較大，達(dá)0.5 mm.劉景成[11]提出采用盤狀銑刀的弧齒錐齒輪單邊倒棱加工方法，加工精度可達(dá)0.07 mm，但該方法僅適用于大輪.上述研究大多以雙邊倒棱為基礎(chǔ)，著重提高倒棱效率，對(duì)于倒棱精度的重視不夠.鑒于此，本文擬以小輪為對(duì)象，提出基于錐形刀具的螺旋錐齒輪齒頂?shù)估饧庸し椒ǎ赐ㄟ^建立齒頂棱線方程，設(shè)置倒棱參數(shù)，對(duì)錐形刀具軌跡進(jìn)行求解計(jì)算，從而實(shí)現(xiàn)倒棱大小的靈活控制，同時(shí)提高倒棱精度.
1 齒頂棱線方程的建立
1.1 錐形刀具倒棱加工原理
螺旋錐齒輪形體復(fù)雜，但根據(jù)成型原理，可將螺旋錐齒輪看作是由一個(gè)個(gè)齒形截面(見圖1)銜接構(gòu)成的，所有截面均垂直于齒向曲線，因?yàn)辇X頂棱線依據(jù)齒向線生成，所以這些截面近似垂直于齒頂棱線.
錐形刀具倒棱加工，實(shí)質(zhì)上是指刀具切削側(cè)刃沿齒頂做切削運(yùn)動(dòng)的加工.錐形刀具在進(jìn)行倒棱加工時(shí)，刀具走向與齒頂棱線密切相關(guān)，其軌跡求解流程為：根據(jù)垂直于齒頂棱線的齒形截面對(duì)倒棱參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，得出刀具倒棱加工軌跡.因計(jì)算的需要，應(yīng)首先對(duì)齒頂棱線方程[12]進(jìn)行求解.
1.2 齒頂棱線方程的推導(dǎo)
本文以一對(duì)螺旋錐齒輪副的小輪為例來研究倒棱加工.由文獻(xiàn)[13]可知，其齒頂棱線方程為
圖1 齒形截面Fig.1 Tooth section
①
其中，Lx為齒線上任一點(diǎn)錐距，hax為棱線任一點(diǎn)齒頂高，δ為節(jié)錐角，t為齒線任一點(diǎn)轉(zhuǎn)角，PC為節(jié)錐頂點(diǎn)與頂錐頂點(diǎn)的距離.
1.3 齒頂棱線方程的驗(yàn)證
取一對(duì)螺旋錐齒輪副的小輪參數(shù)并創(chuàng)建模型，進(jìn)行齒頂棱線和后續(xù)倒棱的計(jì)算和驗(yàn)證.螺旋錐齒輪參數(shù)分別為：齒數(shù)15，大端模數(shù)6，外錐距95.29 mm，節(jié)錐角28.18°，壓力角20°，螺旋角39.87°，齒頂高4.2 mm，齒根高5.4 mm.在UG中根據(jù)基本參數(shù)構(gòu)建的螺旋錐齒輪三維模型如圖2所示.
提取三維模型中一條齒頂棱線的30個(gè)點(diǎn)(即圖2所示模型上的棱線點(diǎn)集)，在Matlab中與式①齒頂線方程進(jìn)行比對(duì)，齒頂棱線方程驗(yàn)證結(jié)果如圖3所示.由圖3可以看出，齒頂棱線方程與三維模型中棱線提取的數(shù)據(jù)點(diǎn)基本重合，說明螺旋錐齒輪齒頂棱線參數(shù)方程與理論模型誤差不大，可以作為后續(xù)刀具軌跡計(jì)算的依據(jù).
2 刀具軌跡求解
2.1 局部坐標(biāo)系原點(diǎn)與各軸矢量計(jì)算
將齒輪軸心線與坐標(biāo)軸重合，使得給定主坐標(biāo)系位于螺旋錐齒輪上頂部中心，且Z軸與軸心線一致.根據(jù)齒頂棱線分割的離散點(diǎn)，得出與離散點(diǎn)相同數(shù)量的棱線法平面，設(shè)離散點(diǎn)為O2(x0,y0,z0),對(duì)應(yīng)齒頂棱線方程自變量t0，棱線法平面為P，則法平面方程[14]為
圖2 螺旋錐齒輪三維模型Fig.2 3D model of spiral bevel gear
x′(t0)·(x-x0)+y′(t0)·(y-y0)+
z′(t0)·(z-z0)=0
該法平面的法矢量v2=[x′(t0),y′(t0),z′(t0)]為局部坐標(biāo)系的Y坐標(biāo)軸矢量，法截面P與Z軸交點(diǎn)及矢量如圖4所示，其中法平面與螺旋錐齒輪軸線的交點(diǎn)O1即為所求的局部坐標(biāo)系原點(diǎn)，該點(diǎn)在主坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為O1(0,0,w)，根據(jù)平面與直線的交點(diǎn)關(guān)系，求得：
點(diǎn)O1與離散點(diǎn)連成的直線矢量作為局部坐標(biāo)系的Z坐標(biāo)軸矢量v3[x0,y0,z0-w]，因坐標(biāo)系三矢量?jī)蓛纱怪?，所?/p>
因v1有無窮多解，可選取其中一個(gè)v1=[1，b,c]作為X軸矢量.
2.2 當(dāng)量齒輪齒廓齒頂角度求解
圖3 齒頂棱線方程驗(yàn)證結(jié)果Fig.3 Verification results of tooth top ridge equation
由于當(dāng)量齒輪齒廓齒頂角度θ并不是一個(gè)定值，故它會(huì)隨著倒棱大小的改變而作微小改變.為提高刀具軌跡的精度，需要求解齒廓頂角θ與倒棱大小參數(shù)Ld1和Ld2之間的關(guān)系.而大多螺旋錐齒輪齒頂?shù)估馍疃仍?.2～0.5 mm之間，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于齒輪的尺寸，所以齒頂?shù)估庑螤羁煽醋饕粋€(gè)三角形，即弧線近似為直線，根據(jù)漸開線與圓的性質(zhì)，可由螺旋錐齒輪的基本參數(shù)和給定的倒棱長(zhǎng)度，求出齒廓頂角θ.螺旋錐齒輪當(dāng)量齒輪參數(shù)如圖6所示.在圖6的坐標(biāo)系下，齒頂角求解過程如下.
圖4 法截面P與Z軸交點(diǎn)及矢量Fig.4 Intersection point and vector of normal section P and Z axis
圖5 單齒截面與倒棱參數(shù)Fig.5 Single tooth section and chamfer parameters
1)首先求解漸開線與齒頂圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)漸開線方程計(jì)算得O3坐標(biāo)：
O3=[x3,y3]=[Rj·sinα0-Rj·α0·cosα0,Rj·cosα0+Rj·α0·sinα0]
2)根據(jù)弧長(zhǎng)Ld1和Ld2可以計(jì)算出點(diǎn)H和點(diǎn)G的坐標(biāo)，計(jì)算可得
H=[xh,yh]=
[x3·cosφ-y3·sinφ,x3·sinφ+y3·cosφ]
G=[xg,yg]=
[Rj·sinσ-Rj·σ·cosσ,Rj·cosσ+Rj·σ·sinσ]
3)聯(lián)立O3，H，G這3點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出齒頂角，即
圖6 螺旋錐齒輪當(dāng)量齒輪參數(shù)Fig.6 Equivalent gear parameters of spiral bevel gear
②
2.3 刀位點(diǎn)在副坐標(biāo)系的坐標(biāo)求解
刀位點(diǎn)與刀軸矢量如圖7所示，其中，O2為倒棱曲線上離散點(diǎn)，在副坐標(biāo)系下坐標(biāo)為[0,0,r]，倒棱形狀可看成三角形，線段O2D可看成與X2軸平行，O2D=Ld1，O2C=Ld2，設(shè)定刀具角度為δ，刀尖露出長(zhǎng)度BC=Lt.根據(jù)平面幾何關(guān)系，求出刀位點(diǎn)B和刀軸矢量上A的坐標(biāo).
先求出三角形的內(nèi)角：
③
據(jù)此可以求出γ角：
④
其中
⑤
根據(jù)式②—⑤，可以得出B點(diǎn)和A點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
B=[-lBE,0,r-lO2E]=
[-lBO2·sinγ,0,r-lBO2·cosγ]
圖7 刀位點(diǎn)與刀軸矢量Fig.7 Tool point and tool axis vector
2.4 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換
將副坐標(biāo)系下的刀位點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為主坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，以便于生成加工代碼.
首先將副坐標(biāo)系各軸矢量轉(zhuǎn)換為單位矢量，轉(zhuǎn)換后單位矢量為v11=[ux,uy,uz]，v21=[mx,my,mz]，v31=[nx,ny,nz].設(shè)某點(diǎn)在主坐標(biāo)系下坐標(biāo)為(x,y,z)，在副坐標(biāo)系下坐標(biāo)為(xf,yf,zf)，副坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)為O1(0,0,w)，據(jù)此可以構(gòu)建一個(gè)如下的線性方程組：
因此，副坐標(biāo)系點(diǎn)轉(zhuǎn)為主坐標(biāo)系坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換矩陣為
A，B兩點(diǎn)在主坐標(biāo)系下的坐標(biāo)可由轉(zhuǎn)換矩陣T求出：
AZ=T·AT
⑥
BZ=T·BT
⑦
由一個(gè)個(gè)刀尖點(diǎn)BZ組成刀尖軌跡.
刀軸矢量為
⑧
由式⑥—⑧即可確定刀具軌跡.
3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析
為檢驗(yàn)本文提出的倒棱加工方法的有效性，進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn).通過對(duì)仿真模型數(shù)據(jù)的提取，計(jì)算出法截面和齒頂棱線與倒棱邊界線交點(diǎn)之間的距離，并與倒棱大小參數(shù)進(jìn)行比對(duì)分析.
3.1 倒棱參數(shù)設(shè)置與仿真步驟
設(shè)置3組倒棱參數(shù)：Ld1=Ld2=0.3 mm；Ld1=0.2 mm，Ld2=0.3 mm；Ld1=0.3 mm，Ld2=0.2 mm.錐形刀具參數(shù)為Φ4×90°×50×3F，刀尖露出長(zhǎng)度Lt=0.5 mm.在Matlab中，根據(jù)式⑥—⑧編寫由齒頂棱線離散點(diǎn)轉(zhuǎn)換為倒棱刀位點(diǎn)和刀軸矢量的程序，并后置處理得到數(shù)控加工代碼，而后在數(shù)控機(jī)床加工仿真軟件VERICUT平臺(tái)上建立倒棱加工仿真模型，即可進(jìn)行仿真.
在軟件VERICUT中導(dǎo)入機(jī)床模型文件，在機(jī)床轉(zhuǎn)臺(tái)位置添加齒輪模型(齒輪模型參數(shù)見1.3)，并設(shè)置坐標(biāo)系統(tǒng)csys(0，0，0).然后添加錐形刀刀具模型，刀具編號(hào)設(shè)置為1，控制點(diǎn)設(shè)置為刀尖，在添加數(shù)控仿真代碼后，進(jìn)行加工仿真.倒棱切削模型如圖8所示，其中倒棱切削位置兩端的曲線為倒棱邊界線.將VERICUT切削模型導(dǎo)出，在UG中打開并提取兩端倒棱仿真邊界曲線.
3.2 誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)與結(jié)果分析
UG中的倒棱仿真邊界曲線與齒頂棱線如圖9所示，其中，中間曲線為輪齒右側(cè)齒頂棱線，兩端為倒棱仿真邊界曲線.在齒頂棱線上均勻分布20個(gè)離散點(diǎn)，以這些離散點(diǎn)確定齒頂棱線法平面，法平面與兩端倒棱邊界線相交得到
圖8 倒棱切削模型Fig.8 Chamfer cutting model
位于同一法平面的點(diǎn)U和L.將點(diǎn)U與點(diǎn)T之間的空間距離設(shè)為齒頂距離Dd1，T點(diǎn)與L點(diǎn)之間的空間距離設(shè)為齒面距離，倒棱形狀誤差可由如下公式進(jìn)行定義：
e=max(|Dd1-Ld1|,|Dd2-Ld2|)
根據(jù)設(shè)置的3組倒棱參數(shù)進(jìn)行仿真并比對(duì)，倒棱形狀誤差結(jié)果如圖10所示.由圖10可以看出，3組不同參數(shù)的倒棱的形狀誤差最大值皆出現(xiàn)在齒頂中部，而向兩端的形狀誤差都是呈逐漸變小的趨勢(shì)，說明倒棱刀具軌跡在齒頂中部的形狀誤差最大，在齒頂上下兩端的形狀誤差最??；3組倒棱形狀誤差均不大，最大形狀誤差≤0.05 mm，遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)[10-11]的誤差，說明錐形刀具倒棱確實(shí)提高了倒棱精度，且在刀位點(diǎn)和刀軸矢量方程中調(diào)整倒棱大小參數(shù)可靈活控制倒棱大小.本文方法中錐形刀具強(qiáng)度高、壽命長(zhǎng)，具有成本低、耐用度高的優(yōu)點(diǎn)，且該方法可在通用五軸機(jī)床上實(shí)現(xiàn)，無需專用機(jī)床，加工靈活性較高.
圖9 倒棱仿真邊界曲線與齒頂棱線Fig.9 Chamfer simulation boundary line and tooth crest line
圖10 倒棱形狀誤差結(jié)果Fig.10 Result of chamfer shape error
4 結(jié)語
本文提出基于錐形刀具的螺旋錐齒輪齒頂?shù)估饧庸し椒ǎ鶕?jù)齒頂棱線方程和倒棱參數(shù)的設(shè)置，對(duì)錐形刀具的刀位點(diǎn)和刀軸矢量進(jìn)行了公式推導(dǎo)，進(jìn)而求解刀具加工軌跡.仿真結(jié)果表明，在3組不同倒棱參數(shù)下，倒棱的形狀誤差不超過 0.05 mm，切實(shí)提高了倒棱精度，且倒棱大小可根據(jù)刀具軌跡方程進(jìn)行調(diào)整，驗(yàn)證了本文倒棱方法控制倒棱大小的精確性和靈活性.本文以小輪為研究對(duì)象，補(bǔ)足了單邊倒棱只研究大輪而忽視小輪的不足，得出的倒棱加工刀位計(jì)算公式，為下一步倒棱自動(dòng)編碼軟件的開發(fā)提供了理論依據(jù).
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