不規(guī)則波激勵(lì)下磁力雙穩(wěn)態(tài)波浪能轉(zhuǎn)換裝置的能量捕獲特性研究

席 儒，張海成，陸 曄，徐道臨，吳 博

(1. 湖南大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082； 2. 中國(guó)船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無(wú)錫 214082； 3. 湖南海浮科技有限公司，湖南 長(zhǎng)沙 410082)

在數(shù)次工業(yè)革命的推動(dòng)下，人類(lèi)的生產(chǎn)力得到顯著提升的同時(shí)，對(duì)能源的需求量也在近百年來(lái)急劇增加。傳統(tǒng)的不可再生的化石能源如煤、石油、天然氣等在短時(shí)間內(nèi)被過(guò)度使用，引發(fā)了一系列的環(huán)境問(wèn)題如溫室效應(yīng)、酸雨、霧霾等[1-2]，嚴(yán)重威脅了人類(lèi)的健康與生存。尋求可再生的清潔能源作為化石能源的替代品成為了近年來(lái)熱門(mén)的研究課題。

海洋中蘊(yùn)含豐富的能源，波浪能作為其中的一種形式，具有可再生、無(wú)污染、儲(chǔ)量巨大等特點(diǎn)，受到了許多能源領(lǐng)域研究學(xué)者的關(guān)注[3]。自波浪能利用被提出以來(lái)，已提出了大量的波浪能轉(zhuǎn)換裝置，如振蕩水柱式、點(diǎn)吸收式、越浪式、擺式、筏式、點(diǎn)頭鴨式等[4-6]。其中點(diǎn)吸收式波浪能轉(zhuǎn)換裝置由于其具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于安裝維護(hù)和可靠性較好等優(yōu)點(diǎn)，得到了學(xué)者和工程人員的廣泛關(guān)注。由振動(dòng)理論可知，線(xiàn)性點(diǎn)吸收式波浪能轉(zhuǎn)換裝置在波浪激勵(lì)下處于共振狀態(tài)時(shí)運(yùn)動(dòng)幅值最大，此時(shí)的波能捕獲效率最高。然而線(xiàn)性裝置的有效波能捕獲頻帶非常窄，即當(dāng)波浪激勵(lì)頻率稍微偏離裝置固有頻率時(shí)，運(yùn)動(dòng)幅值明顯降低，導(dǎo)致波能捕獲效率銳減。而海洋中的波浪頻率時(shí)刻都在變化，呈現(xiàn)隨機(jī)波譜的特征，因此線(xiàn)性裝置在實(shí)際海域中的應(yīng)用因其效率低下存在較大的局限性。

為了提高波能轉(zhuǎn)換裝置的效率，有學(xué)者提出采用主動(dòng)控制的方法，如相位控制[7]、滑?？刂芠8]和短期波浪預(yù)測(cè)模型控制[9]等。相關(guān)研究表明，控制方法可以有效的提高波能捕獲效率，但前提是控制裝置需要提前盡可能詳細(xì)地預(yù)測(cè)和分析入射波的波況，一旦控制裝置在分析過(guò)程中出現(xiàn)誤差，波能轉(zhuǎn)換效率將可能急劇降低[10]。其次控制裝置在執(zhí)行過(guò)程中需消耗額外的能量、復(fù)雜的執(zhí)行機(jī)構(gòu)增加安裝和維護(hù)成本，這些都制約了控制方法的應(yīng)用。

不同于主動(dòng)控制技術(shù)，利用被動(dòng)的非線(xiàn)性捕獲機(jī)制來(lái)提高能量轉(zhuǎn)換效率成為近年來(lái)的研究熱點(diǎn)，其中雙穩(wěn)態(tài)機(jī)制作為一種典型的非線(xiàn)性機(jī)構(gòu)已應(yīng)用在不同的能量捕獲系統(tǒng)中。在波浪能捕獲系統(tǒng)中，已有一些學(xué)者開(kāi)展了研究。Zhang等[11]首次將對(duì)稱(chēng)斜彈簧雙穩(wěn)態(tài)機(jī)構(gòu)引入到波浪能轉(zhuǎn)換裝置中用以提高波能捕獲效率，結(jié)果表明該裝置可以有效提高低頻范圍內(nèi)的波能捕獲效率。采用氣彈簧，TodalShaug等[12]提出了一種“WaveSpring”負(fù)剛度機(jī)構(gòu)應(yīng)用于點(diǎn)吸收式波能捕獲裝置中。實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果表明，在不規(guī)則波激勵(lì)下，安裝該機(jī)構(gòu)的波能轉(zhuǎn)換裝置的捕獲效率是線(xiàn)性系統(tǒng)的近3倍。除此之外，也有學(xué)者提出了磁彈簧[13]、多連桿[14]等不同類(lèi)型的雙穩(wěn)態(tài)機(jī)構(gòu)用于點(diǎn)吸收式波能轉(zhuǎn)換裝置。

圖1 雙穩(wěn)態(tài)勢(shì)能曲線(xiàn)示意

雙穩(wěn)態(tài)機(jī)構(gòu)的勢(shì)能曲線(xiàn)如圖1所示，由于系統(tǒng)存在兩個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)和一個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，故系統(tǒng)存在三種可能的運(yùn)動(dòng)形式：1) 單 阱小幅運(yùn)動(dòng)；2) 阱間復(fù)雜運(yùn)動(dòng)；3) 雙阱大幅運(yùn)動(dòng)。雙阱大幅運(yùn)動(dòng)即為所尋求的能量轉(zhuǎn)換的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，此時(shí)波浪能轉(zhuǎn)換裝置的捕獲效率最佳。而決定雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式最重要的參數(shù)即為圖1所示的勢(shì)壘高度ΔUp和穩(wěn)定平衡點(diǎn)間距z0。只有當(dāng)系統(tǒng)外激勵(lì)大于一定值時(shí)，才能越過(guò)勢(shì)壘進(jìn)行雙阱大幅運(yùn)動(dòng)，此時(shí)雙阱間大幅運(yùn)動(dòng)的幅值又由穩(wěn)定平衡點(diǎn)的間距決定，即大的平衡點(diǎn)間距對(duì)應(yīng)大的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)幅值，因此為了適應(yīng)不同的外部激勵(lì)條件，需要雙穩(wěn)態(tài)機(jī)構(gòu)存在較寬的阱間距離同時(shí)勢(shì)壘高度較小。然而對(duì)于傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)裝置來(lái)講，通過(guò)調(diào)整機(jī)構(gòu)參數(shù)只能達(dá)到單方面的效果，并不能同時(shí)降低勢(shì)壘高度和拓寬平衡點(diǎn)間距。所以在小幅波浪激勵(lì)條件下，雙穩(wěn)態(tài)波能轉(zhuǎn)換器的效率顯著降低，甚至低于等效線(xiàn)性系統(tǒng)的效率。

文中提出了一種新型磁力雙穩(wěn)態(tài)波能轉(zhuǎn)換裝置，通過(guò)在一對(duì)同向充磁的負(fù)剛度磁環(huán)基礎(chǔ)上附加一對(duì)異向充磁非線(xiàn)性正剛度磁環(huán)，選取合適的結(jié)構(gòu)參數(shù)，可達(dá)到降低勢(shì)壘高度和拓寬平衡點(diǎn)間距的效果，提高點(diǎn)吸收式波浪能轉(zhuǎn)換裝置的捕獲效率，拓寬裝置應(yīng)用頻帶，特別是改善在小幅波浪激勵(lì)條件下的捕獲效率。

1 動(dòng)力學(xué)模型

為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，這里研究?jī)H考慮浮子式點(diǎn)吸收波能轉(zhuǎn)換裝置的垂蕩自由度運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)吸收式磁力雙穩(wěn)態(tài)波浪能轉(zhuǎn)換裝置簡(jiǎn)圖如圖2所示，主要由半徑為R的浮球、連桿、磁力雙穩(wěn)態(tài)機(jī)構(gòu)、電動(dòng)機(jī)和支撐架組成。xoz笛卡爾坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)與浮球的球心重合，其中x軸與浮球靜平衡時(shí)的水面重合，z軸豎直向上。

圖2 點(diǎn)吸收式磁力雙穩(wěn)態(tài)波浪能轉(zhuǎn)換裝置示意

圖3 新型磁力雙穩(wěn)態(tài)機(jī)構(gòu)

1.1 磁力雙穩(wěn)態(tài)機(jī)構(gòu)

如圖3所示，磁力雙穩(wěn)態(tài)機(jī)構(gòu)主要由一對(duì)同向充磁的負(fù)剛度磁環(huán)和一對(duì)異向充磁的正剛度磁環(huán)組成。參數(shù)r表示內(nèi)部磁環(huán)的內(nèi)徑，δ表示磁環(huán)的磁隙寬度，l表示內(nèi)外磁環(huán)的厚度，h和h0分別表示負(fù)剛度磁環(huán)和正剛度磁環(huán)的高度?？紤]垂蕩方向的自由度，磁環(huán)間的軸向作用力函數(shù)Fm表達(dá)式如下[15]

(1)

(2)

式中：σ=J·n表示磁極表面密度，J和n分別表示磁極化向量和磁體表面單元法向量，μ表示磁導(dǎo)率，Rm=r+l+δ/2表示內(nèi)部和外部永磁環(huán)的平均半徑。

1.2 動(dòng)力學(xué)方程

基于Cummins方程[16]，建立系統(tǒng)時(shí)域動(dòng)力學(xué)方程如下

(3)

式中：m和A∞分別表示浮子的質(zhì)量和其在無(wú)窮大頻率處的附加質(zhì)量。由浮子靜力平衡可知m=2ρπR3/3，其中ρ為海水密度。對(duì)于僅考慮垂蕩自由度的浮子可知A∞=0.5 m[17]。其中靜水恢復(fù)力Fr=-ksz(t)，對(duì)于在垂蕩位移較小的條件下可知靜水恢復(fù)剛度滿(mǎn)足ks=ρgπR2，g為重力加速度。

系統(tǒng)的控制方程中的卷積積分項(xiàng)表示波浪的輻射力，表征了流體的記憶效應(yīng)。其中脈沖響應(yīng)函數(shù)hz(t)可以通過(guò)浮子的輻射阻尼系數(shù)Bz(ω)求出

(4)

動(dòng)力學(xué)方程等號(hào)右邊f(xié)ir(t)表示不規(guī)則波激勵(lì)下的波浪激勵(lì)力。

1.3 不規(guī)則波模型

在波浪研究中，通常采用不規(guī)則波模型來(lái)模擬復(fù)雜隨機(jī)的真實(shí)海浪。在滿(mǎn)足波浪譜的分布規(guī)則前提下，使用無(wú)限多個(gè)不同的規(guī)則波疊加來(lái)實(shí)現(xiàn)不規(guī)則波模型的效果。文中計(jì)算所采用的波浪譜為Jonswap譜[18]，其譜密度表達(dá)式如下

(5)

式中：Hs表示有效波高，ωp表示譜峰頻率，Tp=2π/ωp表示譜峰周期。譜峰因子γ設(shè)定為3.3，當(dāng)激勵(lì)頻率低于譜峰頻率即ω≤ωp，譜峰形狀參數(shù)χ設(shè)定為0.07，大于激勵(lì)頻率時(shí)χ為0.09。菲利普參數(shù)αJ表達(dá)式如下

(6)

為了通過(guò)疊加法獲得不規(guī)則波的時(shí)間序列，首先需要將Jonswap譜離散成無(wú)限個(gè)不同振幅不同頻率的規(guī)則波。第i個(gè)規(guī)則波成分的頻率ωi可以表示如下

ωi=ω0+i·Δω

(7)

式中：ω0表示計(jì)算最低頻率，Δω表示頻率間隔。

第i個(gè)規(guī)則波成分的幅值A(chǔ)ωi可以通過(guò)如下表達(dá)式計(jì)算

(8)

浮體所受到的不規(guī)則波作用力fir(t)可以采用無(wú)限個(gè)不同頻率和不同隨機(jī)相位的規(guī)則波成分疊加來(lái)表示

(9)

(10)

為了開(kāi)展數(shù)值仿真分析，同時(shí)考慮波浪的有效頻段，選取了N個(gè)規(guī)則波成分來(lái)近似模擬上述的無(wú)限個(gè)規(guī)則波成分疊加的效果。數(shù)值計(jì)算中設(shè)定N=40，最低初始頻率為ω0=0.04 rad/s，頻率間隔為Δω=0.04 rad/s。

1.4 狀態(tài)空間模型

直接計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程將會(huì)由于其中存在的卷積積分項(xiàng)導(dǎo)致運(yùn)算量非常大，給數(shù)值分析帶來(lái)不便。而根據(jù)Taghipour的研究發(fā)現(xiàn)[19]，使用狀態(tài)空間模型方法替代處理卷積積分項(xiàng)將比直接計(jì)算后者提高了將近8倍的計(jì)算速度。

對(duì)于一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，其激勵(lì)u(t)與響應(yīng)y(t)之間的關(guān)系可以用以下三種方式來(lái)表示

(11)

(12)

(13)

第一種為帶高階導(dǎo)數(shù)的常微分方程(11)，第二種為卷積積分方程(12)，第三種狀態(tài)空間模型表達(dá)式(13)。以上三種方式對(duì)時(shí)域內(nèi)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行了等價(jià)描述[19]。

對(duì)比方程(11)與方程(12)，可得

hz(t)=CeAtB

(14)

對(duì)比方程(13)與方程(14)，可得

(15)

(16)

(17)

對(duì)方程(11)進(jìn)行拉普拉斯變換可得

(18)

考慮傳遞函數(shù)H(s)，并對(duì)脈沖響應(yīng)函數(shù)hz(t)進(jìn)行傅里葉變換可得

(19)

式中：j為虛數(shù)單位。對(duì)于動(dòng)力學(xué)方程(3)而言，垂蕩速度與脈沖響應(yīng)函數(shù)是該動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的輸入，因此利用狀態(tài)空間模型方法近似替代卷積積分項(xiàng)后的表達(dá)式如下

(20)

為了確定系數(shù)A,B,C，參考了Taghipour所提出的方法[19]，即基于浮子的水動(dòng)力系數(shù)，采用頻域識(shí)別方法。通過(guò)傅里葉變換，可以將脈沖響應(yīng)函數(shù)hz(t)寫(xiě)成頻域內(nèi)浮子的附加質(zhì)量Az(ω)和輻射阻尼Bz(ω)的函數(shù)，表達(dá)式如下

(21)

(22)

式中：s=jω，且系數(shù)θ=[pn-1,pn-2,……,p1,qn-1,qn-2,……,q0]可以通過(guò)使用最小二乘法求解獲得，再根據(jù)表達(dá)式即可確定系數(shù)A,B,C。

1.5 波浪能捕獲寬度

計(jì)算求解動(dòng)力學(xué)方程(3)后即可獲得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，波浪能捕獲裝置單位時(shí)間內(nèi)捕獲的波浪能Er可表示為

(23)

其中，T0表示時(shí)間間隔。根據(jù)線(xiàn)性波浪理論[16]，對(duì)于規(guī)則波而言，單位寬度入射波波前單位長(zhǎng)度的入射波浪能可表示為

(24)

對(duì)于不規(guī)則波，利用譜分析法可得其入射波浪能為

(25)

在波浪能轉(zhuǎn)換特性研究過(guò)程中，捕獲寬度常被作為評(píng)價(jià)波浪能轉(zhuǎn)換裝置轉(zhuǎn)換效率的參考值，它表示波浪能轉(zhuǎn)換裝置吸收能量與入射波波浪能的比值[21]。表達(dá)式如下

(26)

1.6 勢(shì)能函數(shù)

設(shè)動(dòng)力學(xué)方程(3)中的靜水恢復(fù)力Fr和磁力Fm的合力為Frz=-Fr-Fm，則系統(tǒng)在垂蕩方向上的勢(shì)能函數(shù)Up表達(dá)式如下

(27)

其中，函數(shù)ψ為式(2)中函數(shù)φ的原函數(shù)。函數(shù)ψ的表達(dá)式如下

(28)

2 數(shù)值計(jì)算結(jié)果分析

在分析過(guò)程中，選取了R,ρ,g作為特征量對(duì)各參數(shù)進(jìn)行無(wú)量綱化處理

其中，選取計(jì)算的模型參數(shù)為R=5 m,ρ=1 025 kg/m3,g=9.81 m/s2。結(jié)合Zhang等[22]的研究工作，發(fā)現(xiàn)磁環(huán)參數(shù)中相比于內(nèi)磁環(huán)內(nèi)徑r*、磁環(huán)厚度l*以及磁隙寬度δ*，磁環(huán)高度h*對(duì)軸向磁力影響最大。因此在其研究基礎(chǔ)上選取計(jì)算的磁力雙穩(wěn)態(tài)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 雙穩(wěn)態(tài)機(jī)構(gòu)磁環(huán)參數(shù)表

在利用狀態(tài)空間模型實(shí)現(xiàn)浮球輻射力卷積替代過(guò)程中，采用了四階的狀態(tài)空間模型近似替代，如圖4所示，可知替代結(jié)果與文獻(xiàn)近似解析方法求解的水動(dòng)力系數(shù)結(jié)果二者擬合效果良好，驗(yàn)證了狀態(tài)空間模型的可靠性。

圖4 浮球水動(dòng)力系數(shù)的卷積替代結(jié)果驗(yàn)證

圖5 不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下磁力雙穩(wěn)態(tài)裝置的勢(shì)能曲線(xiàn)變化

圖6 雙穩(wěn)態(tài)機(jī)構(gòu)勢(shì)壘高度與穩(wěn)定平衡點(diǎn)間距隨結(jié)構(gòu)參數(shù)變化云圖

圖7 不同裝置的捕獲寬度隨阻尼系數(shù)變化曲線(xiàn)和勢(shì)能曲線(xiàn)

圖8 捕獲寬度隨結(jié)構(gòu)參數(shù)變化云圖

圖9 捕獲寬度隨不同波浪和結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化曲線(xiàn)

圖10 三種不同裝置捕獲寬度隨波況參數(shù)變化云圖

3 結(jié) 語(yǔ)

提出了一種可用于波浪能轉(zhuǎn)換裝置的新型磁力雙穩(wěn)態(tài)機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)主要由兩對(duì)不同充磁方向的磁環(huán)串聯(lián)組成，可通過(guò)調(diào)整磁環(huán)參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)改變系統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)特征的效果。數(shù)值分析中采用Jonswap波浪譜來(lái)模擬真實(shí)海域下的不規(guī)則波，分析了不同不規(guī)則波激勵(lì)下波浪能轉(zhuǎn)換裝置的波能捕獲效率隨結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化規(guī)律。結(jié)果表明，相比于線(xiàn)性波能轉(zhuǎn)換裝置，新型的磁力雙穩(wěn)態(tài)裝置能有效提高波能轉(zhuǎn)換效率，拓寬轉(zhuǎn)換頻帶，尤其可顯著提高在小幅波浪激勵(lì)下的波能效率。本研究對(duì)于波浪能的工程應(yīng)用具有重要的理論借鑒意義。