周 敏，宋來富

（南通大學(xué) a. 理學(xué)院； b. 機(jī)械工程學(xué)院， 江蘇 南通 226019）

1 問題重現(xiàn)

在集成電路板等電子產(chǎn)品的工業(yè)批量生產(chǎn)中，往往通過回流焊加熱將電子元件焊接于電路板上，回焊爐起著至關(guān)重要的作用?；亓骱妇哂芯雀摺?rùn)濕力強(qiáng)、抗氧化能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，在工業(yè)生產(chǎn)中具有不可替代的地位?；亓骱干a(chǎn)過程中回焊爐各部分要保持工藝要求的溫度，以保證焊接效果與產(chǎn)品質(zhì)量。目前，該工作大多通過實(shí)驗(yàn)測(cè)試來調(diào)控，周期長(zhǎng)且成本高，因此，通過機(jī)理模型分析降低成本，壓縮測(cè)試周期顯得尤為必要。

文獻(xiàn)[1]要求解決以下問題：

（1）各溫區(qū)設(shè)定溫度為173 ℃（小溫區(qū)1—5）、198 ℃（小溫區(qū) 6）、230 ℃（小溫區(qū) 7）、257 ℃（小溫區(qū)8—9），在傳送帶過爐速度為78 cm/min 的情況下，明確焊接區(qū)域中心的溫度變化情況，得到小溫區(qū)3、6、7 中點(diǎn)及小溫區(qū)8 的結(jié)束處焊接區(qū)域中心的溫度，并畫出相應(yīng)的爐溫曲線。

（2）在各溫區(qū)設(shè)定溫度為182 ℃（小溫區(qū)1—5）、203 ℃（小溫區(qū) 6）、237 ℃（小溫區(qū) 7）、254 ℃（小溫區(qū)8—9）的情況下，確定傳送帶最大過爐速度。

（3）為保證爐溫曲線超過217 ℃至峰值溫度所覆蓋的面積最小，給出最優(yōu)爐溫曲線，各溫區(qū)的設(shè)定溫度、傳送帶過爐速度及相應(yīng)面積。

2 問題（1）的解決

2.1 顯式前向差分方程

用顯式前向差分法[2]求解熱傳導(dǎo)方程[3-4]，顯式前向差分方程簡(jiǎn)化為：

其中：uik表示第i 個(gè)坐標(biāo)位置、第k 個(gè)時(shí)間點(diǎn)的溫度，r 為需要確定的參數(shù)。網(wǎng)格中格點(diǎn)的分布如圖1 所示。

圖1 熱傳導(dǎo)方程的網(wǎng)格劃分

2.2 擬合結(jié)果

選定參數(shù)r 的取值，用迭代法求得前三個(gè)溫區(qū)的溫度，在冷卻區(qū)使用變化的參數(shù)r，得到最后的溫度[5]。與文獻(xiàn)[1]附錄給定的溫度進(jìn)行擬合，得到前三個(gè)溫區(qū)最優(yōu)擬合的熱傳導(dǎo)系數(shù)r = 5.1 ×10-6，爐溫曲線的擬合結(jié)果如圖2 所示。圖2 中擬合曲線與實(shí)驗(yàn)曲線重合度高，表明擬合效果較好。此時(shí)，小溫區(qū)3、6、7 中點(diǎn)及小溫區(qū)8 結(jié)束處焊接區(qū)域中心的溫度依次為：

圖2 爐溫曲線擬合對(duì)比

136.17 ℃，166.09 ℃，178.76 ℃，210.17 ℃。

2.3 參數(shù)的靈敏度分析

取r±5%，考察擬合殘差。當(dāng)r=5.355×10-6時(shí)，平均殘差為 2.43；當(dāng) r=4.845× 10-6時(shí)，平均殘差為2.85，說明擬合所得r 是恰當(dāng)?shù)摹?/p>

3 問題（2）的解決

問題（2）實(shí)質(zhì)上是一個(gè)優(yōu)化問題。給定四個(gè)恒溫區(qū)的溫度，求傳送帶最大過爐速度。過爐速度調(diào)節(jié)范圍為65～100 cm/min，以給定的制程界限為約束條件[1]，求解最優(yōu)速度。

采用倒退方式逆向求解。以速度100 cm/min為初值，給定步長(zhǎng)0.1 cm/min 向下搜索，得到在給定條件下的爐溫曲線。判斷是否滿足制程界限，如果不滿足，向下繼續(xù)搜索；如果滿足，可以認(rèn)為當(dāng)前速度即為允許的最大過爐速度。

搜索得到滿足制程界限的傳送帶最優(yōu)過爐速度為v=78.4 cm/min。此時(shí)溫度上升速率最高，達(dá)2.99 ℃/s。溫度上升過程中，在 150 ℃～190 ℃時(shí)，升溫時(shí)長(zhǎng)T1=71.3 s；溫度大于217 ℃時(shí)，升溫時(shí)長(zhǎng)T2=53 s；峰值溫度為U=240.00 ℃，均滿足約束條件。

4 問題（3）的解決

由于溫度是離散的，每間隔Δt=0.5 s 取值，因此求面積采用離散求和的方式，用公式表示為：

其中：N 為 217 ℃至最高溫度間的間隔數(shù)，u（tk）為爐溫曲線上每個(gè)時(shí)間間隔所對(duì)應(yīng)的溫度，由各溫區(qū)的溫度及過爐速度共同確定。

通過優(yōu)化求得最小面積為544.97（℃·s）。根據(jù)多目標(biāo)優(yōu)化[6]，最終求得各溫區(qū)的設(shè)定溫度分別為 165 ℃、186 ℃、225 ℃、259 ℃。傳送帶過爐速度v = 74.2 cm/min。在此設(shè)定參數(shù)下，爐溫最優(yōu)曲線如圖3 所示。

圖3 最優(yōu)爐溫曲線

分析圖3 爐溫曲線可知：溫度上升速率最高為2.98 ℃/s，溫度上升過程中，在150 ℃～190 ℃時(shí)，升溫時(shí)長(zhǎng)T1=63.1 s；溫度大于217 ℃時(shí)，升溫時(shí)長(zhǎng)T2=40 s，峰值溫度U=240.69 ℃，各項(xiàng)指標(biāo)均符合制程界限。