鄧曦澤

一 復(fù)述與整理

根據(jù)亞里士多德的記載，芝諾關(guān)于運動的悖論有四個，第二個是追及悖論。亞里士多德說：

第二個是所謂“阿克琉斯”論證。這個論證的意思是說：一個跑得最快的人永遠(yuǎn)追不上一個跑得最慢的人，因為追趕的人必須首先跑到被追的人跑的出發(fā)點，因此走得慢的人必然永遠(yuǎn)領(lǐng)先。但是，這個論證和第一個論證，即二分法的論證是一回事，分別只在于：在分劃那個量時這里不是用的二分法。由論證所得到的結(jié)論是：跑得慢的人不可能被趕上，而這個結(jié)論是根據(jù)和二分法同樣的原理得到的——因為在這兩個論證里得到的結(jié)論都是因為無論以二分法還是以非二分法取量時都達不到終結(jié)，在第二個論證里說最快的人也追不上最慢的人，這樣說只是把問題說得更明白些罷了——因此，對這個論證的解決方法必然是同一個方法。認(rèn)為在運動中領(lǐng)先的東西不能被追上這個想法是錯誤的。因為在它領(lǐng)先的時間內(nèi)是不能被趕上的，但是，如果芝諾允許它能越過所規(guī)定的有限的距離的話，那么它也是可以被趕上的。這兩個論證就說到這里為止。(1)亞里士多德《物理學(xué)》，張竹明譯，商務(wù)印書館1982年版，第191-192頁(239b)。

為了表述方便，這里把運動快者稱為阿基里斯(Achilles)，把運動慢者稱為烏龜。根據(jù)亞里士多德的敘述，對芝諾的追及悖論可以整理如下：

(1)事實前提：烏龜前進了一段距離l0，然后阿基里斯去追烏龜。

(2)問題：阿基里斯能否追上烏龜？

(3)芝諾的結(jié)論是：阿基里斯不能追上烏龜。

于是，芝諾開始證明其結(jié)論。為了結(jié)構(gòu)完整，下面增加(4)這一步。

(4)求證：阿基里斯不能追上烏龜。

下面是芝諾的論證：

(5)當(dāng)阿基里斯跑完了烏龜先行的一段距離l0時，則烏龜又跑了一段距離l1，則烏龜仍在阿基里斯前面，即阿基里斯沒追上烏龜。

說明：芝諾說出(5)時，采取的句式是“當(dāng)p，則q”?！爱?dāng)p，則q”這種句式是限制句，表達的是限制命題，即：在某種情況p下，(一定)會產(chǎn)生某種結(jié)果q(“如果p，那么q”是條件句，表達的是條件命題)。

(6)當(dāng)阿基里斯又跑完了烏龜領(lǐng)先的一段距離l1時，則烏龜又跑了一段距離l2，只不過l2

說明：與(5)同理，當(dāng)芝諾說出(6)時，采取的句式仍然是限制句式“當(dāng)p，則q”，表達的是限制命題。

(7)若此，可以無限進行下去，當(dāng)阿基里斯又跑完了烏龜領(lǐng)先的一段距離ln時，則烏龜又跑了一段距離ln+1，則阿基仍留斯沒追上烏龜。

(8)對(7)這個無限進行的過程，芝諾使用的都是“當(dāng)p，則q”句式，即：“當(dāng)阿基里斯跑完了烏龜領(lǐng)先的距離ln時，烏龜又跑了一段距離ln+1?！?/p>

(9)總結(jié)芝諾的論證模式為：當(dāng)阿基里斯跑完了烏龜領(lǐng)先的距離ln時，烏龜又跑了一段距離ln+1，所以，阿基里斯仍沒有追上烏龜。

(10)如果我們對(9)中的n進行賦值，代入0或任意自然數(shù)，就可以得到芝諾的任意論證步驟。

(11)而對n作任意代入，獲得的都是真命題，即“當(dāng)阿基里斯跑完了烏龜領(lǐng)先的距離ln時，烏龜又跑了一段距離ln+1?！?/p>

(12)所以，阿基里斯不能追上烏龜。

二 分析：芝諾從限制命題推出一般命題

芝諾的結(jié)論明顯是反常識的，他的論證過程肯定有錯誤。問題是：芝諾的論證究竟錯在哪里？關(guān)于這個問題，兩千多年來懸而未決。關(guān)于追及悖論，有許多研究，例如，最常見的解決方法，是運用無窮級數(shù)來解決，但這個方法并不能有效解決芝諾悖論。本文不打算對這些研究作具體述評，而只需要明確：追及悖論是一個尚未解決的難題，而本文的任務(wù)是要提出新的解決方案。關(guān)鍵在于本文的方案是否有效，而不是別的方案是否有效(2)就目前能檢索的研究看，均未發(fā)現(xiàn)有人提出與本文提出的解決方案相近的方案，例如：Simon Prosser， “Zeno objects and supetvenience，” Analysis, no.1 (January 2009)： 18-26；Andrew Erskine，“Zeno and the Beginning of Stoicism，” Classics Ireland, vol. 7 (2000)： 51-60；Kevin Davey，“Aristotle, Zeno, and the Stadium Paradox，” History of Philosophy Quarterly, no.2 (April 2007)： 127-146。。

本文提出一種新的解決思路，認(rèn)為芝諾犯了從限制命題推出一般命題的謬誤，而這一巧妙且隱蔽的謬誤尚無人明確指出。本文認(rèn)為，芝諾追及悖論不是一個技術(shù)問題，即不是論證復(fù)雜性問題，而是一個思維問題，即陷入了思維盲區(qū)。

在芝諾的推論過程中，芝諾高明地進行了兩次問題偷換，并隱含了一個限制，正是這兩次問題偷換與一個限制，才導(dǎo)致了悖論。當(dāng)我們清楚了這一點，就會發(fā)現(xiàn)，追及悖論不是悖論，而是從限制命題推出一般命題，是一個很精致的不完全歸納錯誤。

芝諾要解決的問題是(2)所表述的問題(為方便，稱為問題A)：阿基里斯能否追上烏龜？須注意，這一問題是非限制問題，是一般性問題，也即沒有限制條件的普遍問題。但是，從(5)到(8)，芝諾把該問題偷換為問題B：當(dāng)烏龜領(lǐng)先時，阿基里斯跑完烏龜前一階段領(lǐng)先的距離之際，阿基里斯能否追上烏龜？或者：烏龜與阿基里斯的空間關(guān)系是什么？須注意，這一問題是限制問題，即限制了條件(當(dāng)p)的問題，其具體限制為“當(dāng)烏龜領(lǐng)先時，阿基里斯跑完烏龜前一階段領(lǐng)先的距離之際……”。這是第一次偷換。然后，到了(9)，芝諾又把問題偷換回最初的一般問題即問題A：阿基里斯能否追上烏龜？這是第二次偷換。

從(5)到(8)，認(rèn)為芝諾偷換了問題，這一斷定是否符合實際呢？答曰：符合實際。可以看到，從(5)開始，直到(8)，芝諾使用的全部都是限制句式“當(dāng)p，則q”；或者說，把芝諾的意思改寫成限制句式，不會改變芝諾的本意。這些限制句顯然都只能應(yīng)對限制問題，并且這些限制問題的句法完全一樣，即只能表述為問題B。只有在具體限制條件改變時，限制問題中狀語的具體條件才可能發(fā)生改變。在B這個限制問題中，同時在從(5)到(8)的限制句推論中，芝諾假設(shè)的條件亦即限制的條件都是烏龜領(lǐng)先，而阿基里斯在后面追。這就意味著，芝諾已經(jīng)限制了追及的條件，限制了阿基里斯與烏龜?shù)目臻g關(guān)系——不論芝諾是有意還是無意作出這一限制。這一限制(當(dāng)p)可以表述為：“當(dāng)阿基里斯追完烏龜領(lǐng)先的一段距離li時……”。這就是芝諾推論過程中所隱含的一個限制——這一限制的作用是幫助芝諾限定了歸納范圍與對象(參見下文)。明確這一限制后，可以把芝諾所討論的問題完整地補充出來：“當(dāng)阿基里斯追完烏龜領(lǐng)先的一段距離li時，他能否追上烏龜？(或：他與烏龜?shù)目臻g關(guān)系是什么？)”答案肯定是：烏龜又領(lǐng)先了一段距離li+1(li+1

可以看到，這一個限制支持了芝諾的第一次問題偷換。只有加上了這一限制，一般性的問題A才能被偷換為限制性的問題B，從(5)到(8)的限制句型或限制條件推論才能成立。從推理有效性看，顯然，從(5)到(8)的推論完全成立，因為在限制條件下，阿基里斯不可能追上烏龜；同時在事實上，阿基里斯的確沒有追上烏龜。這意味著，在限制的條件下，即當(dāng)阿基里斯僅僅追完烏龜領(lǐng)先的一段距離li時，他不可能追上烏龜。這在邏輯上是必然的，在經(jīng)驗上是符合觀測結(jié)果的。

但是，只有在限制條件下，阿基里斯才不可能追上烏龜。芝諾所能限制的最大距離即l0+l1+l2+l3+……ln之和必須小于S。按照通常的算法，S=l0÷(v1-v2)×v1(v1代表阿基里斯的速度，v2代表烏龜?shù)乃俣?。當(dāng)l0+l1+l2+l3+……ln之和等于或超過S時，阿基里斯就能追上烏龜。

的確，在S這段距離內(nèi)，無論阿基里斯速度多快，烏龜?shù)乃俣榷嗦?，烏龜領(lǐng)先的li雖然越來越小，但都大于0。因此，芝諾追及悖論的真正問題是：在S這段距離內(nèi)，阿基里斯能否追上烏龜？這顯然是一個限制問題。只不過，芝諾巧妙地將S分解為無窮多個(越來越小的)線段li，因而問題被修改為：當(dāng)阿基里斯追完烏龜領(lǐng)先的距離li時，阿基里斯能否追上烏龜？重復(fù)一下，li始終是在S的范圍內(nèi)。通過如此分析，芝諾追及問題的限制特征是非常明顯的。甚至，還可以對“在S這段距離內(nèi)，阿基里斯能否追上烏龜？”這個問題作加強，以顯示其限制特征。由于在S這段距離內(nèi)，阿基里斯事實上便追不上烏龜，因此，該問題可以修改為：“在阿基里斯追不上烏龜這段S距離之內(nèi)，阿基里斯能否追上烏龜？”答案顯然是不能追上。但是，由此完全不能推出阿基里斯一般地追不上烏龜?shù)慕Y(jié)論。

從(5)到(8)的推論，芝諾都是限制在S范圍內(nèi)，亦即限制在烏龜必定領(lǐng)先的范圍內(nèi)進行的，而(9)(10)(11)這三步，是對(5)到(8)的論證方式進行總結(jié)和歸納，沒有增加新的內(nèi)容，也都是在限制條件下進行的。但是，芝諾得出結(jié)論(12)，卻是取消了限制的一般命題。從限制命題是不能推出一般命題的，其邏輯形式為：從“當(dāng)p，則q”，推不出q。(比較一下，從條件命題推不出事實命題的形式是：從“如果p，則q”，推不出p。)

一旦取消限制條件，越出了S這段距離，芝諾的推論立即不成立。如果取消限制條件，在一般條件下考察阿基里斯與烏龜?shù)目臻g關(guān)系，當(dāng)越出距離S，li就小于0，阿基里斯就能追上烏龜。

其實，關(guān)于芝諾在推論中隱含了一個限制，亞里士多德也隱約地注意到了，他說：“因為在它領(lǐng)先的時間內(nèi)是不能被趕上的，但是，如果芝諾允許它能越過所規(guī)定的有限的距離的話，那么它也是可以被趕上的?！薄叭绻ブZ允許”這一句，說明亞里士多德意識到了芝諾對距離作出了限制，也就是限定了歸納對象(參見下文)，但是，亞里士多德沒有明確指出芝諾的錯誤乃是從限制命題推出一般命題，并且沒有意識到芝諾偷換了兩次問題，而是終止了討論。

本文這樣破解追及悖論，沒有修改芝諾在論證時使用的任何條件，而僅僅揭示了他從限制命題推出一般命題的，以及他的兩次問題偷換。指出芝諾這一錯誤，也就破解了追及悖論，追及悖論就不再是悖論。芝諾提出追及悖論而沒有給出解決方案，我覺得，他很可能把自己也迷惑了，認(rèn)為從(8)這個限制命題可以推出(12)這個一般命題。

三 實質(zhì)：芝諾追及悖論是不完全歸納錯誤的精致案例

從限制命題推出一般命題，其實就是不完全歸納。不完全歸納就是在限制條件下(把限制條件表述為命題則是限制命題)推出不受限制的一般結(jié)論(一般命題)，但不完全歸納是不可靠的。只不過，芝諾所犯的不完全歸納錯誤，是很精致的案例，其歸納對象(樣本)是非隨機的，而具有遞減性，與通常的不完全歸納有差異。上面之所以先揭示芝諾的論證形式是從限制命題“當(dāng)p，則q”推出一般命題q，而沒有直接指出芝諾犯的是不完全歸納錯誤，乃是希望把芝諾的論證過程、形式及其錯誤展現(xiàn)得更細(xì)密一些。

下面，先通過復(fù)制芝諾的論證方式，來檢驗本文對芝諾追及悖論的分析，然后指出，芝諾的錯誤其實是常見不完全歸納錯誤的精致案例。

例1：“太陽永遠(yuǎn)在天空?！?/p>

為方便表述，先略作說明。太陽從東方升起，向西方運行，把太陽在中午的位置稱為“正上方”，把太陽消失的地方稱為“西山”。

(1)當(dāng)太陽運行到正上方的一半時(在東方與地面成45度角)，太陽在天空。

(2)當(dāng)太陽運行到余下的一半時(在東方與地面成67.5度角，余下類推)，太陽在天空。

(3)當(dāng)太陽又運行到余下的一半時，太陽在天空。

(4)如此無窮。

(5)所以，太陽永遠(yuǎn)在天空。

把正上方換成天空中太陽要經(jīng)過的任一位置(如西山、東邊45度位置等)，論證方式與結(jié)論皆不變；把一半換成8/9、1/3、1/5等，論證方式與結(jié)論也不變。

這個例子與芝諾追及悖論有極大的相似性，其歸納樣本也是非隨機的，而具有遞減性(例2、例3的樣本也有，參見下文)，唯一的差別在于：在芝諾追及悖論中，阿基里斯與烏龜都是運動的，而在例1中，正上方作為一個空間位置是不動的。

其實，在追及悖論中，烏龜是否運動，根本不影響芝諾的推理。如果我們假定烏龜不動，等待阿基里斯來追，按照芝諾的論證方式，阿基里斯同樣追不上烏龜。這里把烏龜不動的情況稱為例2。

例2：“阿基里斯追不上靜止的烏龜。”

(1)烏龜在阿基里斯前面一段距離l處靜止不動，阿基里斯去追龜。

(2)當(dāng)阿基里斯追完烏龜領(lǐng)先的距離l的一半時，烏龜仍然領(lǐng)先(等于阿基里斯沒有追上烏龜)。

(3)當(dāng)阿基里斯追完烏龜領(lǐng)先的余下距離的一半時，烏龜仍然領(lǐng)先。

(4)當(dāng)阿基里斯又追完烏龜領(lǐng)先的余下距離的一半時，烏龜仍然領(lǐng)先。

(5)如此無窮。

(6)所以，烏龜永遠(yuǎn)領(lǐng)先(等于阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜)。

其實，例1與例2完全同構(gòu)，甚至就是同一個例子，只不過，例1用太陽取代了阿基里斯，用正上方取代了烏龜，這只是變元的取值不同，毫不影響討論的過程與結(jié)論。

這意味著，采用芝諾的論證方式，一個運動物也永遠(yuǎn)追不上一個靜止目標(biāo)。上述論證的思路可以簡化為：如果一個運動物要追上一個靜止目標(biāo)，首先需要追上初始距離的一半，然后又需要追上剩下的一半的一半，然后又需要追上剩下的一半的一半的一半……，所以，運動物追不上靜止目標(biāo)。

甚至，按照芝諾的論證方式，即便烏龜?shù)雇?，阿基里斯同樣追不上烏龜。這里把烏龜?shù)雇说那闆r稱為例3。

例3：“阿基里斯追不上倒退的烏龜；或是：相向而行的阿基里斯與烏龜不能相遇?！?/p>

(1)烏龜在阿基里斯前面一段距離l處開始倒退，而阿基里斯也去追烏龜。

(2)當(dāng)阿基里斯追完l的1/4時，同時當(dāng)烏龜?shù)雇送阬的1/4時，阿基里斯沒有追上烏龜(等于阿基里斯與烏龜沒有相遇，下同)。

(3)當(dāng)阿基里斯追完余下距離的1/4時，同時當(dāng)烏龜?shù)雇送暧嘞戮嚯x的1/4時，阿基里斯仍沒有追上烏龜。

(4)當(dāng)阿基里斯又追完余下距離的1/4時，同時當(dāng)烏龜又倒退完余下距離的1/4時，阿基里斯仍沒有追上烏龜。

(5)如此無窮。

(6)所以，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜(等于阿基里斯與烏龜永遠(yuǎn)不能相遇)。

但是，在例3中，必須有一個限制，我們假定的阿基里斯一次追完l的比例與烏龜一次倒退l的比例之和不能大于1/2。若大于1/2，在有限的次數(shù)內(nèi)，二者就一定相遇。而當(dāng)烏龜靜止時，阿基里斯一次追l的比例只需要小于1；當(dāng)烏龜與阿基里斯同向運動時，阿基里斯一次追l的比例可以等于1。在這3個例子以及芝諾的追及悖論中，都不需要考慮速度的大小。

下面，我們看看通常的不完全歸納。

例4：“太陽永遠(yuǎn)從東方升起。”

(1)當(dāng)前天我起床時，太陽從東方升起。

(2)當(dāng)昨天我起床時，太陽從東方升起。

(3)當(dāng)今天我起床時，太陽從東方升起。

(4)所以，太陽永遠(yuǎn)從東方升起。

對這個例子，還可以在(3)之后加上更多限制性內(nèi)容，如：

(3.1)當(dāng)天晴時，太陽從東方升起。

(3.2)當(dāng)天陰時，太陽從東方升起。

(3.3)當(dāng)公雞啼鳴時，太陽從東方升起。

除開上面的命題(4)，所有命題都是限制了條件的，從這些命題顯然推不出一般命題(4)。在這個意義上，例1、例2、例3都是不完全歸納推理。

例5：“我永遠(yuǎn)活著。”

(1)當(dāng)我睡著時，我活著。

(2)當(dāng)我醒著時，我活著。

(3)無論當(dāng)我睡著還是醒著時，我都活著。

(4)所以，我永遠(yuǎn)活著。

甚至，我們還可以在命題(3)之后加上更多限制性內(nèi)容，如：

(3.1)當(dāng)我吃飯時，我活著。

(3.2)當(dāng)張三和我討論問題時，我活著。

上面的例1、例2、例3、例5的結(jié)論都明顯反常識，因而可以說這些結(jié)論是錯的。下面還可以舉一個結(jié)論正確的歸納命題，但歸納論證過程卻是錯的(例6)。

例6：“2+3=5。”

(1)在古代，2+3=5。(“在古代”就是一個限制，若表述為“當(dāng)p”句式，則為“當(dāng)在古代(時)”，只不過有點別扭。)

(2)在現(xiàn)代，2+3=5。

(3)在未來，2+3=5。

(4)在地球上，2+3=5。

(5)在月球上，2+3=5。

(6)所以，2+3永遠(yuǎn)等于5。

雖然(6)這個一般命題是正確的，但是，這一論證過程卻是錯誤的。2+3=5這一命題的正確性，不是通過(1)到(5)這種不完全歸納獲得的。

例4-6的錯誤，都是從不完全歸納得出一般命題。

下面，重新分析芝諾的論證，即可知道，芝諾在論證中犯的就是不完全歸納錯誤，只不過是一個很精致的案例。

芝諾為其論證限制了條件，即把阿基里斯與烏龜?shù)目臻g關(guān)系限制為：當(dāng)阿基里斯追完烏龜領(lǐng)先的一段距離li。而烏龜只有在S之內(nèi)才可能領(lǐng)先li，這就意味著，芝諾將距離限制在S之內(nèi)(亞里士多德也意識到了這一點)。只不過，芝諾不是直接把追及的最大距離限制在S之內(nèi)，而是將S轉(zhuǎn)化為阿基里斯與烏龜在S之內(nèi)的動態(tài)的空間關(guān)系，并做了無限的遞減分割，即li越來越小，使S表現(xiàn)為無窮多個不斷遞減的li之和，即l0+l1+l2+l3+……ln，但l0+l1+l2+l3+……ln之和始終小于S。可以發(fā)現(xiàn)，在距離S之內(nèi)與烏龜領(lǐng)先li，二者實際上是等值的，即當(dāng)在距離S之內(nèi)，烏龜一定領(lǐng)先li；而當(dāng)烏龜領(lǐng)先li，它一定在距離S之內(nèi)。

當(dāng)芝諾作出了上述限制后，也就限制了他的歸納范圍與對象，為不完全歸納提供了樣本。當(dāng)芝諾對S做了無限遞減的分割后，他再考察阿基里斯與烏龜?shù)年P(guān)系，實際上，此時，他是在對S之內(nèi)所有可能的li進行歸納，并得出所有l(wèi)i都大于0的結(jié)論，即歸納出所有l(wèi)i都具有大于0的屬性，亦即對于所有l(wèi)i，阿基里斯都沒有追上烏龜。看起來，li的數(shù)目可以無窮多，但是，其歸納對象的范圍總是小于S，因此，芝諾的歸納對象是有限的距離，無窮的數(shù)目。而芝諾的一般性結(jié)論所需要的歸納對象(即距離)必須是無限制的，即必須大于S。不過，芝諾通過l0、l1、l2……ln都大于0來證明阿基里斯追不上烏龜，這屬于歸納法，但求l0+l1+l2+l3+……ln之和則不屬于歸納法。

每一個li，都是芝諾的歸納對象(樣本)，但是，通常的樣本是隨機的，而芝諾的樣本不是隨機的，具有規(guī)律性特征，即遞減性，隨著i的數(shù)值增大，li越來越小，ln+1一定小于ln。正是樣本的遞減性，使得芝諾能在有限距離S中分割出無窮多個樣本li，從而將有限歸納偽裝成無限歸納。

還可以變換一下論證策略，修改一下li的i的取值，則更能看出芝諾犯的是不完全歸納錯誤。如果沿用芝諾的論證方式，但對li的i取有限值，如取10，則可以這樣推理：

(1)當(dāng)阿基里斯跑完了烏龜先行的一段距離l0時，則烏龜又跑了一段距離l1，則阿基里斯沒追上烏龜。

(2)當(dāng)阿基里斯又跑完了烏龜先行的一段距離l1時，則烏龜又跑了一段距離l2，則阿基里斯仍沒追上烏龜。如此等等。

(3)當(dāng)阿基里斯又跑完了烏龜先行的一段距離l10時，則烏龜又跑了一段距離l11，則阿基里斯仍沒追上烏龜。

(4)所以，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜。

若此，很容易判斷，雖然l0-l11都大于0，但這個論證犯了不完全歸納錯誤，結(jié)論不成立。

與上面這個i取有限值10的明顯錯誤不同，芝諾的i取的是無限值，這讓人迷惑，因為無窮無盡的li都大于0。不過，實際上，無窮多個遞減的li之和未必是無限值。

由此可知，芝諾所犯的錯誤乃是不完全歸納的精致案例。

一些論者通過假定時空性質(zhì)來破解芝諾悖論，其實是不必的，也是無效的。例如，羅素說：“可以下述的幾種方法來避免芝諾的悖論，一是主張時空雖確由點和瞬間構(gòu)成，但其數(shù)目在任何有限的間隔中都是無限的；二是根本否定時空由點和瞬間構(gòu)成；三是完全否定時空的實在性。芝諾本人作為巴門尼德的支持者，在這三種可能的演繹中似乎采取最后一種，無論如何就時間來說是這樣的。”(3)伯蘭特·羅素《我們關(guān)于外間世界的知識——哲學(xué)上科學(xué)方法應(yīng)用的一個領(lǐng)域》，陳啟偉譯，上海譯文出版社1990年版，第134頁。按照羅素的看法，如果通過假定時空具有某種性質(zhì)(如上述三種情況的任一種)來破解芝諾悖論，那么，我們不應(yīng)該僅在處理芝諾悖論時認(rèn)為時空具有該性質(zhì)，而在不處理芝諾悖論時卻認(rèn)為時空不具有該性質(zhì)。我們應(yīng)堅持同一性。堅持同一性，則該時空性質(zhì)適用于一切時空與一切運動。若此，將該性質(zhì)用于日常情況，又是否會導(dǎo)致否定阿基里斯能追上烏龜呢？甚至否定運動本身呢？芝諾是在承認(rèn)運動的前提下得出反常識悖論的，如果假定時空具有某種特性(如否定時空的實在性)，豈非可能導(dǎo)致更大范圍的反常識結(jié)論(如否定運動本身)？其實，破解芝諾悖論，無需專門考慮時空性質(zhì)問題，按照日常觀念處理即可。

也有不少論者試圖以無窮級數(shù)觀念來破解芝諾追及悖論。但是，運用無窮級數(shù)觀念只能得出：隨著li的i的數(shù)值增大，li的長度越來越短；這意味著芝諾的樣本的長度越來越短，樣本數(shù)目越來越多，而所有樣本都有“大于0”這一屬性，從而得出烏龜永遠(yuǎn)領(lǐng)先于阿基里斯的結(jié)論，進而無法指出芝諾追及悖論的漏洞。但實際上，無論芝諾歸納了多少數(shù)目的li，都是在S之內(nèi)進行歸納的。而在S之內(nèi)，阿基里斯當(dāng)然追不上烏龜。所以，對于破解此悖論，無窮級數(shù)是無效的。

芝諾的歸納對象具有遞減性和無窮性，并且都大于0，這很具有欺騙性，使人們的思維陷入了盲區(qū)。人們沒有意識到芝諾所犯的錯誤其實是不完全歸納錯誤，亦即從限制命題推出一般命題的錯誤，而把芝諾的錯誤想得過于復(fù)雜，因而設(shè)計了種種方案來破解該悖論，結(jié)果總是無法破解。

本文的解決方案其實很簡單，或許有人會質(zhì)疑其有效性。其實，解決問題的關(guān)鍵不在于方法是否復(fù)雜，而在于能否有效解決問題，又是否有人提出過同樣的解決方案。如果能有效解決問題，方法越簡單越好。因此，針對本文的論證過程，質(zhì)疑者應(yīng)當(dāng)思考的是：此文的論證過程究竟是否自洽？有什么漏洞？