高超

【摘要】中學(xué)數(shù)學(xué)離不開化歸思想.在數(shù)學(xué)的解題方法中，化歸思想對于提高解題效率、提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力具有重要的作用.本文將結(jié)合數(shù)學(xué)教法，通過案例分析化歸思想在教學(xué)中的應(yīng)用，討論在教學(xué)中如何加強化歸思想方法的滲透以及在滲透化歸方法時應(yīng)注意哪些問題等，并提出加強化歸思想的教學(xué)對策，從而培養(yǎng)學(xué)生的化歸意識和學(xué)習(xí)能力.

【關(guān)鍵詞】化歸方法;中學(xué)數(shù)學(xué);教學(xué);應(yīng)用

一、化歸思想在數(shù)學(xué)新知識學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

化歸思想在數(shù)學(xué)新知識學(xué)習(xí)中的應(yīng)用很廣，我們對新概念的學(xué)習(xí)往往是建立在舊知識的基礎(chǔ)上的.例如，我們對代數(shù)的學(xué)習(xí)是從研究簡單的數(shù)、式開始的，對于復(fù)雜的數(shù)、式，也是通過變換，將其歸結(jié)為簡單的數(shù)、式，進而解決問題的.在解一元一次方程組和一元二次方程時，仍離不開解一元一次方程，其解決問題的方法就是將問題轉(zhuǎn)化為一元一次方程，然后解一元一次方程，從而得到問題的解.新知識與舊知識之間的聯(lián)系，關(guān)鍵的一步就是轉(zhuǎn)化.在數(shù)學(xué)中有一種重要的證明方法：數(shù)學(xué)歸納法，它也離不開化歸法.

二、化歸思想在教學(xué)中的滲透

數(shù)學(xué)教材體系的靈魂是數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)思想能夠?qū)?shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題以及數(shù)學(xué)問題解決結(jié)合在一起，從而形成一個比較完善的體系.在高中數(shù)學(xué)教材中，化歸思想方法出現(xiàn)的頻率也比較高，并且滲透到了各個環(huán)節(jié)中.有些教師教學(xué)的時候非常重視做題量，自己做題比較多，也要求學(xué)生做大量的題目，為了做題而做題，對于學(xué)生解題能力的培養(yǎng)不夠重視.做題不是沒必要，深厚的解題功底是掌握數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，但是我們不能只停留在這個初級階段，還要理解這些操作背后的思想方法.一般情況下，數(shù)學(xué)問題的解答往往是通過已知條件來轉(zhuǎn)化問題，從而達到解決問題的目的.教師在引導(dǎo)學(xué)生利用化歸思想解答問題的時候，需要先對題目解答的過程和步驟進行分析，找到每一步的主要內(nèi)容和作用，將其組織成為一個整體，然后對學(xué)生進行引導(dǎo)，幫助學(xué)生找到解答問題的辦法和實質(zhì)，在這種情況下，化歸思想的作用便會比較明顯.教師以此為基礎(chǔ)將化歸方法講解給學(xué)生，然后通過化歸方法來解答題目，這樣能夠幫助學(xué)生更好地掌握這種方法.

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時候，知識的深化是逐步進行的，這也導(dǎo)致知識發(fā)展的不同階段所反映出的數(shù)學(xué)思想也各不相同，這也能夠?qū)?shù)學(xué)思想方法所具有的層次性體現(xiàn)出來.在解答問題的時候，我們經(jīng)常會遇到需要多次化歸的情況，并且有時候化歸的方向是不一樣的.這便要求我們在應(yīng)用化歸方法的時候，必須重視不同階段知識再現(xiàn)的情況，和學(xué)生一起研究在不同階段中化歸方法形成的整個過程，這樣能夠啟發(fā)學(xué)生的思維，幫助學(xué)生更好地認識化歸思想.化歸思想方法本身便是在學(xué)生思維啟發(fā)的過程中慢慢形成的.所以，教師在教學(xué)的時候，首先需要重視問題解決之后的反思，通過這個過程來進行化歸方法的提煉.在這種情況下，學(xué)生很容易了解、接受和掌握化歸方法.并且在這個過程中，我們還需要認識到化歸思想方法滲透需要較長的時間，其無法在短期內(nèi)幫助學(xué)生提高能力.學(xué)生想要真正掌握化歸思想方法必須不斷訓(xùn)練，循序漸進地進行.

三、化歸思想在解題中的應(yīng)用

化歸思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用比比皆是.立體幾何中相關(guān)的證明題、計算題，我們多將其轉(zhuǎn)化到平面幾何中來解決，或者將其轉(zhuǎn)化到向量空間中去解決;多數(shù)三角函數(shù)的計算題或證明題，我們?nèi)糁苯咏鉀Q會感到很吃力，若換個角度，運用數(shù)形結(jié)合的思想，將抽象的問題轉(zhuǎn)化到直觀的圖形中，解決起來就容易多了;對復(fù)雜、非特殊的數(shù)列的求和問題，我們也是將其轉(zhuǎn)化為較為簡單、特殊的數(shù)列進行求和.多數(shù)數(shù)學(xué)問題的解決都離不開化歸思想方法，只是所體現(xiàn)的形式不同罷了.總體來說，我們在解數(shù)學(xué)題時，計算題是利用規(guī)定的法則進行化歸，證明題是利用公式、定理或已經(jīng)證明了的命題化歸，從而使問題得以解決.

（1）將未知的問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為已知的知識

把不知道的問題轉(zhuǎn)化成為已經(jīng)掌握的知識，并將二者結(jié)合在一起，然后通過較為熟悉的方法和知識進行新問題的解答，這種轉(zhuǎn)化方式起到的效果比較好.比如，要求空間兩條異面直線所成的角，在這種情況下，我們只需利用平行線進行轉(zhuǎn)化，將其轉(zhuǎn)化成為我們比較熟悉的兩相交直線所成的角即可.

例1 如圖1所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，對角線AC，BD相交于O點，且AC⊥BD，AD=3，BC=5，求AC的長.

圖1

分析 此題是根據(jù)梯形對角線互相垂直的特

點，通過平移對角線將等腰梯形轉(zhuǎn)化為直角三角

形和平行四邊形，使問題得以解決.

解 過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E，則得AD=CE，

AC=DE，所以BE=BC+CE=8.

∵AC⊥BD

∴BD⊥DE

又∵AB=CD

∴AC=BD

∴BD=DE

在Rt△BDE中，BD2+DE2=BE2

∴BD=42，即AC=42.

（2）將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為簡單問題

在數(shù)學(xué)問題解答中，將較為復(fù)雜的問題簡單化是非常普遍的一種方法.若一個問題很難直接解決，那么，我們可以對其進行深入的研究和觀察，將其轉(zhuǎn)變成為比較簡單的問題，然后再進行求解.特別是將正向思維轉(zhuǎn)變成為逆向思維很有意義，若教師經(jīng)常對學(xué)生進行引導(dǎo)，讓其注意問題的分析，并讓其逆向思考問題，這樣不但能夠幫助學(xué)生更好地理解相關(guān)的逆向知識，還能讓學(xué)生的思維更加靈活.

例2 已知x2+x-1=0，求x3+2x2+2009的值.

分析 此題通過“化零散為整體”或利用降次來轉(zhuǎn)化，可使問題得以解決.

解法一 ∵x2+x-1=0

∴x2=1-x

∴x3+2x2+2009=x（1-x）+2（1-x）+2009