“理”圖形表征，“論”模型本質(zhì)

周偉萍

【摘要】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的抽象有經(jīng)驗(yàn)抽象和自反抽象.經(jīng)驗(yàn)抽象可以是以真實(shí)的事物或現(xiàn)象作為直接的原型，由一類物質(zhì)對(duì)象抽象出共同的特征;自反抽象是以已經(jīng)建構(gòu)的數(shù)學(xué)對(duì)象為原型的間接抽象，在更高層次上去對(duì)已有的東西進(jìn)行重新構(gòu)建.Ed Dubinsky提出的APOS理論是對(duì)皮亞杰的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“自反抽象”的拓展.在經(jīng)過(guò)操作、過(guò)程、對(duì)象、圖式等階段后完成數(shù)學(xué)對(duì)象、數(shù)學(xué)思維的建構(gòu)和提升.以APOS理論為指引，對(duì)畢業(yè)班復(fù)習(xí)階段性學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)訓(xùn)練的壓軸題“理”圖形表征，“論”模型本質(zhì).

【關(guān)鍵詞一】APOS理論;初中數(shù)學(xué);壓軸題

一、復(fù)習(xí)階段性學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)訓(xùn)練原題呈現(xiàn)

如圖1，矩形OABC的頂點(diǎn)O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)A，C分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，4），將矩形OABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形ADEF，D，E，F(xiàn)分別與B，C，O對(duì)應(yīng)，EF的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，AF與BC相交于點(diǎn)Q.

（1）求證：△ACQ是等腰三角形.

（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo).

（3）如圖2，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)在折線A-F-C上運(yùn)動(dòng)（不與A，C重合），經(jīng)過(guò)的路程為x，過(guò)點(diǎn)M作AO的垂線交AC于點(diǎn)N，記線段MN在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中掃過(guò)的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

圖1? 圖2

二、梳理原題圖形表征

本題為全卷壓軸題，分值為10分，考查：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、矩形和三角形的面積等知識(shí)，用到了函數(shù)思想、方程思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想等.本題考查的是幾何綜合類型，也有代數(shù)的綜合味道在里面，是一道符合課程標(biāo)準(zhǔn)的好題.

圖形中包含著坐標(biāo)、一般三角形、直角三角形、等腰三角形、全等三角形、相似三角形、翻折的三角形、旋轉(zhuǎn)的三角形、矩形及旋轉(zhuǎn)的矩形.相似三角形中有A字型、反A字型、旋轉(zhuǎn)型、一線三等角型等.

三、討論幾何模型本質(zhì)

APOS理論認(rèn)為，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如果引導(dǎo)個(gè)體經(jīng)過(guò)思維的操作、過(guò)程和對(duì)象等階段后，個(gè)體一般就能在建構(gòu)、反思的基礎(chǔ)上把它們組成圖式，從而理清問(wèn)題過(guò)程，順利解決問(wèn)題.

1.對(duì)基本形的感知，完成操作

個(gè)體對(duì)于感知到的對(duì)象進(jìn)行轉(zhuǎn)換，而此時(shí)的對(duì)象實(shí)質(zhì)上是一種外部刺激.不斷地重復(fù)這種操作，學(xué)生可以從中得到不斷的反思，會(huì)在大腦中進(jìn)行一種內(nèi)部的心理結(jié)構(gòu)，形成一種過(guò)程模式.

圖3（1）如圖3，已知矩形ABCD，連接AC，求證：△ABC≌△CDA.

（2）如圖3，已知矩形ABCD，將△ABC沿AC對(duì)折得△AEC，求證：△AEC≌△CDA.

（3）如圖3，已知矩形ABCD，將△ABC沿AC對(duì)折，CE與AD交于Q點(diǎn)，AB=4，AD=8，求CQ的長(zhǎng).

圖4（4）如圖4，AO⊥CO，BO⊥DO，CO⊥EO，寫出圖中相等的角.

（5）如圖4，AO⊥CO，BO⊥DO，CO⊥EO，若∠BOD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，寫出圖中相等的角.

（6）如圖4，AO⊥CO，BO⊥DO，CO⊥EO，若∠BOD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，BF⊥OC，請(qǐng)構(gòu)造出與△OBF相似的三角形.

設(shè)計(jì)的理由：矩形和垂直，這兩個(gè)幾何圖形在幾何壓軸題中均是重要的基本形，是構(gòu)成復(fù)雜圖形的基礎(chǔ).因此，應(yīng)該圍繞矩形及余角定理基本形設(shè)計(jì)問(wèn)題以幫助學(xué)生從各個(gè)角度去認(rèn)識(shí)基本形，認(rèn)識(shí)圖形所承載的命題.矩形中存在全等形，可由全等形所帶出的對(duì)應(yīng)邊相等及對(duì)應(yīng)角相等，從而引出等腰三角形、直角三角形、勾股定理.余角定理涵蓋著旋轉(zhuǎn)的變化，以旋轉(zhuǎn)角為位似中心，構(gòu)造出相似的三角形及由相似三角形得到對(duì)應(yīng)邊成比例.

每一個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)目的均是加深學(xué)生對(duì)基本圖形知覺(jué)上的識(shí)別能力，并使學(xué)生通過(guò)觀察、對(duì)比、計(jì)算、發(fā)現(xiàn)等學(xué)習(xí)行為，對(duì)附在圖形之上的判定定理與該問(wèn)題條件和結(jié)論的語(yǔ)義做細(xì)致的辨別.不斷地重復(fù)操作使學(xué)生不斷反思，慢慢地呈現(xiàn)出自動(dòng)化的表現(xiàn)形式，不需要借助外部的刺激，而是對(duì)圖形整體的一個(gè)轉(zhuǎn)化及操作，可以指明圖形的基本性質(zhì)，還可以進(jìn)行各種選定的數(shù)學(xué)計(jì)算，如勾股定理、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等.

2.對(duì)結(jié)構(gòu)完整基本形的應(yīng)用，進(jìn)入過(guò)程

圖5如圖5，矩形OABC的頂點(diǎn)O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)A，C分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，8），將矩形OABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEDF，D，E，F(xiàn)分別與C，B，O對(duì)應(yīng)，DE的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，AE與OC相交于點(diǎn)G.

（1）求證：△ACG是等腰三角形.

（2）求點(diǎn)F、點(diǎn)E的坐標(biāo).

設(shè)計(jì)的理由：將操作階段中的兩個(gè)基本形放入更復(fù)雜的圖形里，與階段訓(xùn)練題相似，在訓(xùn)練中對(duì)基本形進(jìn)行尋找和確認(rèn).學(xué)生如果能在結(jié)構(gòu)完整的幾何圖形中尋找出基本形，就完成了過(guò)程模式的建構(gòu)，接下來(lái)對(duì)基本形的運(yùn)用便沒(méi)問(wèn)題了.我們需要將基本形背后的語(yǔ)義分解并放入已知或求證中，培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)已知條件或求證結(jié)論結(jié)合題目圖形發(fā)現(xiàn)基本形的能力.將操作中的基本形放入平面直角坐標(biāo)系中，并利用矩形的性質(zhì)定理設(shè)計(jì)題目，將基本形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)F在第四象限，結(jié)合相似求點(diǎn)F的坐標(biāo)，需要在平面直角坐標(biāo)系中構(gòu)造直角三角形，過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù).通過(guò)加大確定基本形的難度，從而加強(qiáng)學(xué)生確定基本形的能力.學(xué)生若能將這一過(guò)程看作一個(gè)整體，便是把這一過(guò)程看作一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，可在結(jié)構(gòu)完整的圖形中具體地指出幾何圖形的各種性質(zhì)及如何應(yīng)用.

3.對(duì)復(fù)雜圖形一般化后基本形的探究，明確對(duì)象

圖6如圖6，已知矩形ABCD，AB=8，BC=43，矩形ABCD繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為矩形A′BC′D′，當(dāng)點(diǎn)D′、點(diǎn)A′、點(diǎn)D在一條直線上時(shí)，可以添加適當(dāng)?shù)妮o助線和字母，寫出四個(gè)不同類型的結(jié)論.

設(shè)計(jì)的理由：學(xué)生已經(jīng)完成了模式構(gòu)建，意識(shí)到對(duì)整體的轉(zhuǎn)換與操作，就是將過(guò)程看作一個(gè)一般的數(shù)學(xué)對(duì)象.由“過(guò)程”向“對(duì)象”轉(zhuǎn)移的意義在于從更高的層次進(jìn)行研究，將原有的平面直角坐標(biāo)系去掉，只存在兩個(gè)全等的矩形，其中一個(gè)固定，另一個(gè)繞著一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到一個(gè)特殊位置時(shí)，會(huì)出現(xiàn)哪些特殊的幾何模型？開(kāi)放式的問(wèn)題情境引發(fā)學(xué)生再觀察、再思考，如全等、對(duì)折、等腰三角形、相似等，學(xué)生可自動(dòng)化地辨析出與之前相似的基本形及與基本形相關(guān)的定理，從而達(dá)到遷移的目的.學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)更多圖形相關(guān)的性質(zhì)，可以多種不同的形式表達(dá)思維.

對(duì)本題的解決現(xiàn)狀進(jìn)行檢查，可了解學(xué)生是否已經(jīng)對(duì)幾何基本形做出心理建構(gòu).教師在教學(xué)中更能把握學(xué)生的學(xué)習(xí)程度，找準(zhǔn)學(xué)生學(xué)習(xí)的困難點(diǎn)，并有效地打開(kāi)結(jié)點(diǎn).

4.改編求解結(jié)論的基本形應(yīng)用，形成圖式

圖7改編一：如圖7，矩形OABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，0°<α<180°，線段AF所在直線與線段BC所在直線交于點(diǎn)Q，作EH⊥x軸交CB于點(diǎn)P，求線段AQ的函數(shù)關(guān)系式.

改編二：如圖7，若點(diǎn)M在線段AF上運(yùn)動(dòng)，連接EM，求45AM+EM的最小值，并求此時(shí)AM的值.

改編三：如圖7，矩形繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)中，D，B，F(xiàn)三點(diǎn)是否會(huì)共線？若會(huì)，求點(diǎn)D的坐標(biāo);若不會(huì)，說(shuō)明理由.

圖8改編四：如圖8，矩形OABC旋轉(zhuǎn)后使點(diǎn)O剛好落在線段BC上為點(diǎn)E.

（1）求∠OAE的大小.

（2）動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)在折線A-F-C上運(yùn)動(dòng)（不與A，C重合），經(jīng)過(guò)的路程為x，過(guò)點(diǎn)M作AO的垂線交AC于點(diǎn)N，記線段MN在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中掃過(guò)的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

（3）求△AMN周長(zhǎng)C關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

設(shè)計(jì)的理由：學(xué)生在頭腦中對(duì)原有的相關(guān)方面的問(wèn)題圖式進(jìn)行整合，圖式由單個(gè)圖式發(fā)展為多個(gè)圖式，并進(jìn)行圖式的遷移，就會(huì)產(chǎn)生新的問(wèn)題圖式.學(xué)生要會(huì)辨析并決定某些問(wèn)題或某類問(wèn)題是否屬于這個(gè)圖式，從而做出不同的反應(yīng).通過(guò)對(duì)原題的各種改編，學(xué)生跳出原有的實(shí)踐活動(dòng)，對(duì)自己的活動(dòng)過(guò)程進(jìn)行反思，認(rèn)識(shí)單個(gè)圖式的性質(zhì)，整合多個(gè)圖式的關(guān)聯(lián).學(xué)生會(huì)對(duì)基本形進(jìn)行分類，在遇到新問(wèn)題時(shí)是單個(gè)圖式處理，還是多個(gè)圖式整合，就會(huì)判斷哪些問(wèn)題是存在于這個(gè)圖式中，最后對(duì)圖式進(jìn)行遷移，形成對(duì)基本形的理解，建構(gòu)自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

設(shè)置多個(gè)例題及其變式，由問(wèn)題鏈構(gòu)成回顧小結(jié).如讓學(xué)生自己改編題目，使學(xué)生在學(xué)習(xí)后進(jìn)行自我反思，達(dá)到在反思中建構(gòu)新“圖式”.

四、APOS理論對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值

APOS理論起源于皮亞杰的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“自反抽象”理論，指導(dǎo)教學(xué)可以使學(xué)生經(jīng)歷由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，再經(jīng)過(guò)比較、反復(fù)，形成更高層次的認(rèn)識(shí).在形成知識(shí)圖式的同時(shí)，形成了思維圖式，學(xué)生思維得到不斷提升.在建立圖式的過(guò)程中，教師不斷啟發(fā)學(xué)生，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，使學(xué)生的非認(rèn)知因素得到改善，培養(yǎng)學(xué)生全面發(fā)展，因此，運(yùn)用APOS理論對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生指導(dǎo)作用.

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