武基云
【摘要】構(gòu)造法是數(shù)學(xué)中一種常見的解決問題的手段,它是指根據(jù)問題的特征,通過構(gòu)造函數(shù)、方程、圖形等熟悉的數(shù)學(xué)模型來解決問題的方法.嚴(yán)格地說,構(gòu)造法并沒有固定的應(yīng)用思路,而是具有很強(qiáng)的創(chuàng)造性,所以讓學(xué)生熟練應(yīng)用這一方面具有一定的難度.本文將從構(gòu)造法的原理和優(yōu)勢(shì)入手,具體分析構(gòu)造法的應(yīng)用策略,希望能夠?yàn)楦咧袠?gòu)造法解題提供一定的參考思路.
【關(guān)鍵詞】構(gòu)造法;高中數(shù)學(xué);解題方法
高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生來說難度較大,特別是在新課程改革之后,數(shù)學(xué)解題過程對(duì)學(xué)生抽象能力、知識(shí)運(yùn)用能力有了更高的要求,數(shù)學(xué)題目的難度也有了一定的提升.仍然使用傳統(tǒng)的解題思路,按照一般的順序來思考問題經(jīng)常會(huì)面對(duì)著大量的計(jì)算內(nèi)容或是復(fù)雜的推理過程,不僅會(huì)耗費(fèi)大量時(shí)間,還十分容易出錯(cuò).此時(shí),我們不妨嘗試運(yùn)用構(gòu)造法來快速找到正確的解題思路,提高答題的速度.
一、高中數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造法的原理
相對(duì)于其他學(xué)科來說,數(shù)學(xué)更加的抽象和復(fù)雜,在解決問題時(shí)可以從多個(gè)角度去進(jìn)行思考.構(gòu)造法是一種基于逆向思維的解題方法,通過題目中明確給出或是隱秘包含的條件,從另一個(gè)角度出發(fā),分析和理解題目內(nèi)容,推導(dǎo)所要答案的一種方法.從本質(zhì)上來看,構(gòu)造法是將抽象知識(shí)具體化的過程,它可以幫助學(xué)生找到更加高效的解題方法.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,學(xué)生為了提升自身的解題能力會(huì)進(jìn)行大量的題目練習(xí),很容易產(chǎn)生固定的思維模式.為了改變學(xué)生的思維定式,解決他們?cè)诮忸}過程中解題困難、效率低的問題,教師可以在教學(xué)中提高對(duì)構(gòu)造法重視程度,幫助學(xué)生在解題過程中從不同的角度去分析問題、解決問題.
二、高中數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造法的應(yīng)用策略
1.構(gòu)造函數(shù)
函數(shù)是高中階段數(shù)學(xué)課程中的重要組成部分,也是高考中的考查重點(diǎn).構(gòu)造函數(shù)法是構(gòu)造法中一種較為常見的方法.在幾何或是代數(shù)問題中,采用構(gòu)造函數(shù)的方法可以找到更多的已知信息,讓復(fù)雜的題目內(nèi)容變得直觀和簡單,提升解題的效率和準(zhǔn)確度.
例1 已知關(guān)于x的方程x2-(2a+1)sin(cos x)+1-4a2=0有唯一實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的取值.
分析 這道題目屬于二次方程,且在題目的已知中含有特殊的參數(shù).所以,許多學(xué)生在面對(duì)這類問題時(shí)經(jīng)常會(huì)找不到解決問題的切入點(diǎn).此時(shí),只要認(rèn)真觀察題目,結(jié)合構(gòu)造函數(shù)的方式便可以找到輕松解決問題的方法.在實(shí)際教學(xué)過程中,教師可以先為學(xué)生列出詳細(xì)的解題過程,讓學(xué)生自己去思考和感受,分析構(gòu)造函數(shù)的具體方法,以此做到舉一反三,將這種方法應(yīng)用到其他類似題目的解答過程中.
解 構(gòu)造函數(shù)f(x)=x2-(2a+1)sin(cos x)+1-4a2.
因?yàn)閒(-x)=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).
設(shè)x0為f(x)=0的解,則-x0也為f(x)=0的解.
由題目已知可知,f(x)=0有唯一的實(shí)數(shù)解,即-x0=x0,顯然x0=0.
所以f(0)=02-(2a+1)sin(cos 0)+1-4a2=0,
即(2a+1)(1-2a-sin 1)=0,解得a=-12或a=1-sin 12.
2.構(gòu)造方程
方程和函數(shù)關(guān)系密切,在構(gòu)造法中構(gòu)造函數(shù)與構(gòu)造方程也基本相通,許多類型的題目都可以通過函數(shù)與方程的融合找到解決方法.簡單來說,構(gòu)造方程法,就是要在深入分析已知條件和各項(xiàng)關(guān)系的前提下,通過對(duì)已知關(guān)系之間的關(guān)系式的構(gòu)建來解決問題的方法.
例2 已知α+β+γ=π,求證:
sin2β+sin2γ-2sin βsin γcos α=sin2α;
cos 2β+cos 2γ+2cos βcos γcos α=sin2α.
分析 該案例中給出的已知條件十分有限,學(xué)生在一開始接觸到該案例時(shí)必然會(huì)思考利用三角函數(shù)知識(shí)去對(duì)題目已知進(jìn)行變化,雖然可以得出結(jié)果,但解題的過程十分復(fù)雜,容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.此時(shí),我們便可以采用構(gòu)造方程的方式來降低解題難度.
證明 設(shè)x=sin2β+sin2γ-2sin βsin γcos α-sin2α,①
y=cos 2β+cos 2γ+2cos βcos γcos α-sin2α.②
①+②得
x+y=2+2cos αcos(β+γ)-2sin2α=2(1-sin2α)+2cos αcos(π-α)=2cos 2α-2cos 2α=0.
②-①得
y-x=cos 2β+cos 2γ+2cos αcos(β-γ)=-2cos αcos(β-γ)+2cos αcos(β-γ)=0,所以x+y=0,y-x=0,解得x=0,
y=0,得證.
3.構(gòu)造數(shù)列
高中階段的數(shù)列包括了等差數(shù)列和等比數(shù)列兩個(gè)部分,這部分內(nèi)容的難度雖然一般,但是其中涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)比較多,也是高考中的熱點(diǎn).構(gòu)造數(shù)列的方法通常被應(yīng)用于比較特殊的題目中,其主要目的是通過構(gòu)建等差或等比的數(shù)列公式來對(duì)題目進(jìn)行分析,降低解題思路,優(yōu)化解題過程.
例3 設(shè)有一數(shù)列{an},前n項(xiàng)和為Sn,S4=4.當(dāng)n≥2時(shí),an=12(Sn+Sn-1),求Sn的表達(dá)式.
分析 題目中給出了部分公式,求Sn的表達(dá)式,這也是數(shù)列題目中常見的一種題目類型,已知數(shù)列前幾項(xiàng)的和,又給出了數(shù)列的通項(xiàng)公式,就可以求出Sn.但是,這種方法在求解過程中計(jì)算難度較大,且方法通常比較煩瑣,在計(jì)算過程中基本上不會(huì)有簡化的方法.所以,此時(shí),我們便可以嘗試采用構(gòu)造數(shù)列的方法來求解Sn的表達(dá)式.
解 由題目已知可知,n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,
推導(dǎo)可得12=Sn-Sn-1.
設(shè)bn=Sn,則數(shù)列bn的公差為12,通過計(jì)算可得Sn=n2,因此,Sn=n24.
4.構(gòu)造圖形
構(gòu)造圖形的方式是將參數(shù)之間的關(guān)系通過圖形來直觀地展示出來,這樣除了可以提升解題效率之外,還能夠加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解把握,提高他們的知識(shí)轉(zhuǎn)化能力.從本質(zhì)上來看,構(gòu)造圖形法實(shí)際上就是數(shù)形轉(zhuǎn)化法,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析題目中的已知條件,善于尋找參數(shù)與圖形之間的聯(lián)系,學(xué)會(huì)用圖形去簡化數(shù)學(xué)問題.