鄒 斌

(安徽開放大學(xué))

0 引言

決策問題就是考慮在多個(gè)屬性的情況下，選擇最優(yōu)備選方案進(jìn)行方案排序的決策問題.隨著社會(huì)的發(fā)展，多屬性群決策問題變得越來越復(fù)雜，其中包含了很多模糊的、不確定的因素.在這種環(huán)境下，決策者很難表達(dá)他們的偏好或認(rèn)知.Zadeh于1965年提出了模糊集(Fuzzy Sets)理論來處理模糊信息[1].模糊集是解決決策問題的有效工具，并得到了廣泛的推廣.針對概率論和模糊數(shù)學(xué)在處理不確定性方面的不足，李德毅教授于1995年在概率論和模糊數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上提出了云的概念，并研究了模糊性和隨機(jī)性及兩者之間的關(guān)聯(lián)性.自云模型提出至今，云模型已成功的應(yīng)用到自然語言處理、數(shù)據(jù)挖掘、決策分析、智能控制、圖像處理等眾多領(lǐng)域[2].云模型的數(shù)字特征有3個(gè)，分別是期望、熵和超熵[3].

然而，這些經(jīng)典的模糊集并不能解釋認(rèn)知信息的可靠性.為了解決這一局限性，模糊的創(chuàng)始人Zadeh于2011年提出了Z-number的概念，表示為Z=(A,B)[4].相比較經(jīng)典模糊集Z-number同時(shí)考慮了模糊和概率兩種不確定信息，即加入了模糊約束的可靠性信息，具有更大的總結(jié)實(shí)際決策信息的能力.Zadeh認(rèn)為在決策問題中模糊約束的可靠性對于決策結(jié)果會(huì)產(chǎn)生一定的影響，因此利用Z-number自身所包含的不確定信息和模糊約束來彌補(bǔ)決策問題中專家知識(shí)的不精確，不可靠等原因造成的不可控制的影響的缺點(diǎn).Z-number是一種更加靈活的思維或知識(shí)的描述方式.近年來，很多學(xué)者都對Z-number展開了很多的理論和應(yīng)用的研究.

Banerjee和Pal等學(xué)者提出了一種稱為Z*-number的Z-number的增廣形式[5].這個(gè)概念將決策信息(如時(shí)間、上下文和影響組)合并到Z-number結(jié)構(gòu)中.Peng和Wang等學(xué)者引入了猶豫不確定語言Z+-number的概念，其中模糊約束是用一個(gè)不確定的語言變量來表示的，可靠性是用若干線性項(xiàng)來描述的[6].Aliev等學(xué)者提出了離散Z-number和Z+-number的概念以及相關(guān)運(yùn)算[7].文獻(xiàn)[8]定義了Z-number譜；文獻(xiàn)[9]基于TIT2FS幾何度量應(yīng)用模糊數(shù)之間的向量夾角進(jìn)行決策分析；文獻(xiàn)[10]針對模糊信息進(jìn)行了多目標(biāo)決策.

以上工作均是基于Z-number的一般形式，研究Z-number包含的不確定信息，該文在前人工作的基礎(chǔ)上，引入Z-number cloud的概念，度量2個(gè)離散Z-numbers包含了很多的不確定信息.

該文從代數(shù)的角度更系統(tǒng)的挖掘Z-number自身包含的不確定信息.首先，引入Z-number Cloud的定義，提出Z-number轉(zhuǎn)換到Z-number Cloud的方法.其次，基于Z-number Cloud的結(jié)構(gòu)定義了2個(gè)ZCs之間的優(yōu)序關(guān)系，并根據(jù)ZCs的優(yōu)序關(guān)系從代數(shù)角度定義了ZCs的優(yōu)于度.然后，建立了基于ZCs優(yōu)于度的多屬性群決策模型.最后，以一個(gè)制藥公司選擇材料供應(yīng)商的實(shí)例驗(yàn)證了該模型的有效性和可行性.

該文結(jié)構(gòu)如下：第1節(jié)介紹了基礎(chǔ)知識(shí);第2節(jié)定義了Z-number轉(zhuǎn)換到Z-number Cloud的方法;第3節(jié)根據(jù)第二節(jié)的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合代數(shù)角度定義了連個(gè)ZCs之間的優(yōu)于度；第4節(jié)建立了基于ZCs優(yōu)于度的多屬性群決策模型;第5節(jié)是實(shí)例分析，最后是該文結(jié)論.

1 基礎(chǔ)知識(shí)

這一部分介紹相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)和概念.

定義1[4]設(shè)li∈L是一個(gè)語言型術(shù)語集，即L={li|i=0,1,2,…,2n}.θi∈[0,1]是一個(gè)數(shù)值變量，設(shè)F是li到θi的一個(gè)映射，即

F:li→θi(i=0,1,2,…,2n)

下面有兩類語言尺度函數(shù)(LF)[11]：

第一類：

(1)

第二類：

其中：i=0,1,2,…,2n.

(2)

定義2[12]設(shè)U是一個(gè)論域，T為U中的定性概念，若一個(gè)隨機(jī)變量x∈U，滿足x～N(Ex,En′2)和En′～N(En,He2)，則x∈T的確定度y定義如下：

則稱x的分布是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)云，記為C=(Ex,En,He)，稱(x,y)為云滴，利用期望Ex，熵En和超熵He有效地刻畫T在U中的特征.

定義3[4]Z-number是由一對與不確定變量X重新賦值相關(guān)的模糊數(shù)組A和B組成，第一個(gè)元素A是對X取值的一種模糊限制，R(x)是X的可能取值，寫作

X=A

R(X):X=A→Poss(X=u)=μA(u)

其中：μA是模糊數(shù)A的隸屬函數(shù)；第二個(gè)元素B被稱作“確定性”，是對第一個(gè)元素可靠性的一種度量.潛在的概率分布px未知，已知對概率分布的限制可以表示為

A和B通常是自然語言表示，比如(A,B)=(good,very likely)，這里“very likely”是對“good”可能性的一種度量.

2 Z-number到Z-number Clouds的轉(zhuǎn)換方法

Z-number本身包含很多的不確定信息，大多數(shù)不確定信息包括模糊性信息和隨機(jī)性信息，標(biāo)準(zhǔn)云的數(shù)字特征充分展示了不確定環(huán)境中的隨機(jī)性和模糊性.為了能夠得到更多的不確定信息，考慮了Z-number與云模型相結(jié)合，提出了一個(gè)新的由Z-number轉(zhuǎn)換得到Z-number Clouds的方法，簡稱ZCs.

(3)

(4)

(3)計(jì)算正負(fù)熵值En+，En-,由標(biāo)準(zhǔn)云的特征x～N(Ex,En′2)正態(tài)分布的“3δ原則”可到

(5)

(6)

(7)

(8)

得到Z-number云，記為

圖1 ZCs的分布示意圖

3 ZCs的優(yōu)勢關(guān)系和優(yōu)于度

該章節(jié)主要分為2個(gè)部分，第一部分根據(jù)ZCs的結(jié)構(gòu)特征定義了ZCs的優(yōu)勢關(guān)系;第二部分定義了ZCs的優(yōu)于度.

3.1 ZCs的優(yōu)勢關(guān)系

定義5 (ZCs的優(yōu)勢關(guān)系)設(shè)2個(gè)語言型

ZCj

(5)無優(yōu)勢或不可比:ZCi和ZCj是無優(yōu)勢或不可比，若ZCi和ZCj都不滿足以上關(guān)系，記作ZCi⊥ZCj或ZCj⊥ZCi.

性質(zhì)1 假設(shè)有任意3個(gè)ZCs：ZCi，ZCj和ZCk，極強(qiáng)優(yōu)勢于這一關(guān)系有如下性質(zhì)(其他優(yōu)勢關(guān)系具有類似的性質(zhì))：

(1)非自反性:ZCi≯eZCi,其中 ≯e表示非極強(qiáng)優(yōu)勢；

(2)非對稱性:ZCi>eZCj?/ZCj>eZCi；

(3)傳遞性:ZCi>eZCj和ZCj>eZCl?ZCi>eZCl.

3.2 ZCs的優(yōu)于度

這一小節(jié)定義ZCs的優(yōu)于度，在ZCs優(yōu)勢關(guān)系的基礎(chǔ)上度量ZCs的優(yōu)于程度.

性質(zhì)2 假設(shè)P(ZCi?ZCj)是ZCi優(yōu)勢于ZCj的優(yōu)于度，有以下性質(zhì)：

(1)P(ZCi?ZCj)=0當(dāng)且僅當(dāng)ZCi=ZCj.

(2)P(ZCi?ZCj)=-P(ZCj?ZCi).

ZCs的優(yōu)于度是度量ZCi優(yōu)勢于ZCj的程度.該文定義的優(yōu)于度優(yōu)點(diǎn)在于考慮到在Z-number中A和B所表達(dá)的信息中是一個(gè)整體，若將它們分開單獨(dú)計(jì)算則會(huì)忽略很多不確定信息.例如現(xiàn)在有2個(gè)Z-number分別表示為Z1=(A1,B1)=(high,certain)和Z2=(A2,B2)=(low, certain)，其中B1和B2都是“certain”，但是B1的“certain”是對A1的“high”可能性的限制，B2所表示的“certain”是對A2的“l(fā)ow”可能性的限制.

再比如與Z1=(A1,B1)=(high,likely)對應(yīng)的A表達(dá)相同的意義，B表達(dá)不相同的Z-numberZ3=(A3,B3)=(high,uncertain)，其中A1和A3都是“high”，但是A1的“high”有B1的“l(fā)ikely”對其可能性有了一個(gè)限制，A3所表示的“high”有B3的“uncertain”對其可能性有一個(gè)限制，也即都是“high”但是確定的程度不一樣因此所表達(dá)的也不一樣.若將Z-number中的2個(gè)元素A和B分開就失去了Z-number本身的意義.

該文定義優(yōu)于度將Z-number的2個(gè)元素作為一個(gè)整體考慮，將Z-number轉(zhuǎn)換為ZC包含了云模型中表達(dá)模糊性和隨機(jī)性的數(shù)字特征.該文定義的優(yōu)于度在實(shí)際問題中較為合適，能更多的反應(yīng)Z-number所包含的不確定信息從而做出合理的決策.

表1 不同λ參數(shù)的ZCs的優(yōu)于度

利用MATLAB做出參數(shù)λ和優(yōu)于度的絕對值的變化趨勢圖，從圖2和圖3可以看出參數(shù)λ選取較小值時(shí)對優(yōu)于度的影響較大，λ選取的值大于某一值時(shí)，優(yōu)于度的值不再變化.當(dāng)參數(shù)λ∈[0,1]時(shí)ZC1優(yōu)勢于ZC2的優(yōu)于度呈現(xiàn)一個(gè)單調(diào)遞減的趨勢，而當(dāng)參數(shù)λ∈[1,10]時(shí)ZC1優(yōu)勢于ZC2的優(yōu)于度也呈現(xiàn)一個(gè)單調(diào)遞減的趨勢最終趨于某一固定值，總體趨勢沒有發(fā)生改變.圖中結(jié)果可以看出隨著參數(shù)當(dāng)參數(shù)λ的增大ZC1優(yōu)勢于ZC2的優(yōu)于度逐漸在減小.因?yàn)樽兓厔輬D是選取優(yōu)于度的絕對值，當(dāng)ZC1優(yōu)勢于ZC2的優(yōu)于度為負(fù)值是即ZC2優(yōu)勢于ZC1的優(yōu)于度為正值變化趨勢也相反.

圖2 λ∈[0,1]時(shí)優(yōu)于度的變化趨勢

圖3 λ∈[1,10]時(shí)優(yōu)于度的變化趨勢

4 多屬性群決策模型

這一部分建立基于ZCs優(yōu)于度的多屬性群決策模型.首先，主要用該文提出的轉(zhuǎn)換方法將專家的語言性Z-number決策矩陣轉(zhuǎn)換為ZCs表示的評價(jià)矩陣.其次，建立線性規(guī)劃模型求解出各專家的屬性權(quán)重.最后，在ZCs優(yōu)于度的基礎(chǔ)上結(jié)合QUALIFLEX方法對方案進(jìn)行排序，得到最優(yōu)排序方案.

第一步：問題描述.

現(xiàn)有i位專家對n個(gè)方案進(jìn)行評價(jià)，其中每個(gè)方案各有m個(gè)屬性，記A={a1,…,ai,…,an}和C={c1,…,cj,…,cm}分別是方案集合和屬性集合.對方案個(gè)體有Z-numberZ=(A,B)為決策標(biāo)準(zhǔn)，專家表達(dá)的分級評價(jià)集合為S={A,C,Z}(這里的A是方案集合).專家的決策矩陣記為(Zij)n×m，其中使用Zij表示第i個(gè)方案的第j個(gè)屬性的決策值.

第二步：計(jì)算同一屬性下不同方案的專家評價(jià)的優(yōu)于度，得到每個(gè)方案的優(yōu)于度矩陣：

Pj=(P(ZCkj?ZClj))n×m

第三步：計(jì)算屬性權(quán)重.與其他屬性一致性高的屬性獲得較高屬性權(quán)重，與其他屬性一致性低的屬性只能賦予較低的屬性權(quán)重，通過第二步的同一屬性的兩兩方案之間的優(yōu)于度計(jì)算屬性權(quán)重：

第四步：計(jì)算兩兩方案之間的綜合優(yōu)于度.

第五步：列出所有方案排序，Rr=(…,as,at,…),(r=1,2,…,n!)其中as,at∈A，且滿足方案as優(yōu)于方案at.

第七步：比較Rr值，取最大值為最優(yōu)方案排序.

5 實(shí)例分析

這一部分以一個(gè)制藥廠選擇材料供應(yīng)商的實(shí)例分析來說明該文定義的ZCs優(yōu)于度在多屬性群決策中的應(yīng)用.

表2 專家的評價(jià)矩陣

第一步：問題描述.

記A={a1,a2,a3,a4}為方案集合，C={c1,c2,c3,c4}為屬性集合.該文將會(huì)分別計(jì)算參數(shù)λ=1,0,5,2時(shí)的最優(yōu)方案排序.

第二步：計(jì)算專家評價(jià)的優(yōu)于度，該文展示參數(shù)λ=1時(shí)優(yōu)于度矩陣:

第三步：計(jì)算屬性權(quán)重.

ω=(0.2851,0.2326,0.1287,0.3536)

第四步：計(jì)算專家屬性權(quán)重.

第五步：列出四個(gè)方案的所有排序：

第六步：計(jì)算各方案排序的相對一致優(yōu)勢度.

第七步：選出相對一致優(yōu)勢度最大的為最優(yōu)方案排序.當(dāng)λ=1時(shí)，Rr(max)=R20=12.2125可以得到第20方案排序是最優(yōu)的方案排序即a4>a1>a3>a2，可以得到a4是最優(yōu)選擇方案.

該例題分別計(jì)算參數(shù)λ=0.5,1,2的最優(yōu)方案排序結(jié)果見表3.

表3 參數(shù)λ不同的最優(yōu)方案排序

6 結(jié)束語

該文在常規(guī)的Z-number研究的基礎(chǔ)上增加了云模型，由于Z-number的結(jié)構(gòu)是Z=(A,B)的形式，很多研究者往往會(huì)只考慮A和B元素對Z-number的不確定信息的影響.該文結(jié)合A、B元素和云模型的數(shù)字特征定義了一個(gè)度量2個(gè)Z-number之間的偏離程度的優(yōu)于度，很好的比較了2個(gè)Z-number的優(yōu)勢程度和其潛藏的不確定信息.

該文的多屬性決策模型在一定程度上將屬性權(quán)重賦予合理值.根據(jù)專家的評價(jià)來計(jì)算優(yōu)于度從而賦予評價(jià)一致性高屬性權(quán)重，沒有人為的設(shè)定屬性權(quán)重，因此減少了人為因素帶來的不確定性從而做出了更為合理適當(dāng)?shù)姆桨概判?但該文屬性權(quán)重的確定方法都比較單一，之后的研究里會(huì)對這方面的問題加以改進(jìn).