李志 王浩

摘 ?要：先界定好的數(shù)學(xué)問題，再以2020年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷理科第20題為例，研討結(jié)構(gòu)化教學(xué)觀點(diǎn)下的數(shù)學(xué)問題探究教學(xué)，形成了教學(xué)范式——探究教學(xué)的五個(gè)基本環(huán)節(jié)，最后進(jìn)行了問題探究教學(xué)的優(yōu)越性分析.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)問題;結(jié)構(gòu)化;問題探究

數(shù)學(xué)教學(xué)的寬度容易實(shí)現(xiàn)，而數(shù)學(xué)教學(xué)的深度很難實(shí)施，這需要學(xué)生具有一定的認(rèn)知和理解能力，教師要有數(shù)學(xué)專業(yè)上的真功夫和學(xué)科教學(xué)上的真水平，三者缺一不可. 這里我們說的深度，不是說學(xué)習(xí)那些偏、難、怪題，而是指對(duì)數(shù)學(xué)核心思想方法的綜合運(yùn)用，對(duì)數(shù)學(xué)核心問題的深刻思考. 我們知道，數(shù)學(xué)學(xué)科擔(dān)負(fù)著對(duì)學(xué)生思維能力培養(yǎng)的使命，沒有經(jīng)歷過深刻的思考，沒有思考的深度，就很難突破思維的上限，也就難以達(dá)到思維的高度.

數(shù)學(xué)教學(xué)的深度對(duì)于啟發(fā)學(xué)生思考數(shù)學(xué)本質(zhì)、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、孕育創(chuàng)新人才來說非常重要. 那么，怎樣才能使我們的教學(xué)有深度？怎樣才能讓學(xué)生經(jīng)歷有深度的思考？在學(xué)生深刻思考后，怎樣才能使他們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)方面得到提升？

經(jīng)過多年一線教學(xué)實(shí)踐和相關(guān)理論學(xué)習(xí)，筆者發(fā)現(xiàn)好的數(shù)學(xué)問題能夠引發(fā)學(xué)生深入思考. 如果教師能有效運(yùn)用，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升和思維品質(zhì)的培養(yǎng)可以起到事半功倍的效果.

一、 好的數(shù)學(xué)問題的界定

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究的落實(shí)，建議主題教學(xué)和深度學(xué)習(xí)，整體把握學(xué)科課程，抓住學(xué)科本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的提升、發(fā)展. 無獨(dú)有偶，單墫教授在《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)&數(shù)學(xué)解題》中所附的解題12條原則中有這樣一條：要做100道有質(zhì)量的題目. 這里所說的有質(zhì)量的題目也許正是好的數(shù)學(xué)問題，好的數(shù)學(xué)問題可以成為主題教學(xué)和深度學(xué)習(xí)的載體. 那么，什么樣的問題才是好的數(shù)學(xué)問題呢？

1. 好的數(shù)學(xué)問題不是題目，可以承載思維的厚度

現(xiàn)在的學(xué)生把做題說成“刷題”，作為教師，每當(dāng)聽到這兩個(gè)字，筆者會(huì)深感不安. 因?yàn)椤八㈩}”一般只是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的掌握有好處，是淺層次的思考. 做一些題就可以了，過度“刷題”容易形成慣性思維、模式思維. 長此以往，思維容易僵化、固化，必將降低學(xué)生的創(chuàng)新思維能力. 這與數(shù)學(xué)學(xué)科的意義和價(jià)值是相悖的. 好的數(shù)學(xué)問題不同于一般的題目，一定要能引起學(xué)生的深刻思考，要能夠承載思維的厚度. 筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)科的最終育人價(jià)值就是提升人的思維能力.

2. 好的數(shù)學(xué)問題要有背景，能夠激發(fā)探究的欲望

好的數(shù)學(xué)問題應(yīng)該有一定的數(shù)學(xué)背景，可以引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的探究欲望. 學(xué)生做的題目雖然繁多，但是有意義的、好的數(shù)學(xué)問題偏少. 這些數(shù)學(xué)題目一般沒有什么數(shù)學(xué)背景，大致只有數(shù)學(xué)知識(shí)或數(shù)學(xué)方法的訓(xùn)練價(jià)值，不能引起學(xué)生的深入思考，不能激發(fā)學(xué)生的探究欲望，不能促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展. 好的數(shù)學(xué)問題應(yīng)該有比較深刻的數(shù)學(xué)背景，能引起學(xué)生不同角度、不同層次的深入思考. 只要教師適時(shí)地啟發(fā)和引導(dǎo)，學(xué)生就會(huì)經(jīng)歷由淺入深、深入淺出的探究過程，其分析問題和解決問題的能力必將得到大幅度提升. 久而久之，學(xué)生就會(huì)掌握探究問題的一般過程和基本方法，或許有一天也能嘗試發(fā)現(xiàn)和提出好的數(shù)學(xué)問題.

3. 好的數(shù)學(xué)問題可以拓展，是智力發(fā)展的平臺(tái)

波利亞指出，高中數(shù)學(xué)首先和主要的教學(xué)目標(biāo)是教會(huì)年輕人思考. 那么，怎樣才能教會(huì)學(xué)生思考？好的數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂，可以承載學(xué)生的智力發(fā)展，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的媒介. 因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該始于學(xué)生感興趣、能探究和能拓展的問題. 好的數(shù)學(xué)問題應(yīng)該具有拓展探究的可能，也有拓展探究的價(jià)值，應(yīng)該能進(jìn)行探究性延伸教學(xué). 好的數(shù)學(xué)問題可以為學(xué)生的智力發(fā)展提供廣闊的舞臺(tái)，能讓學(xué)生經(jīng)歷思考問題的過程，并在分析問題和解決問題的過程中，積累探究的經(jīng)驗(yàn)，形成探究的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維品質(zhì). 在探究問題的過程中，我們期望學(xué)生的數(shù)學(xué)情感、品性和價(jià)值觀受到良好的熏陶.

二、問題探究教學(xué)

“基于結(jié)構(gòu)化教學(xué)觀點(diǎn)的課堂教學(xué)”是上海市第四期“雙名工程”攻關(guān)計(jì)劃虞濤數(shù)學(xué)基地的研究課題. 該課題以《標(biāo)準(zhǔn)》和教材為基礎(chǔ)，用聯(lián)系的、整體的和發(fā)展的觀點(diǎn)分析數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，希望構(gòu)建中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的基本框架體系，分析和開發(fā)豐富的教學(xué)案例，在此基礎(chǔ)上研究教學(xué)實(shí)踐的范式，促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的改革.

本文希望在結(jié)構(gòu)化教學(xué)觀點(diǎn)下研究問題探究教學(xué)的基本結(jié)構(gòu)，探索構(gòu)建問題探究教學(xué)的范式. 我們希望的教學(xué)范式要求在教學(xué)上容易操作，具有可行性，在學(xué)習(xí)上可以實(shí)施，要有有效性.

1. 提出問題，引發(fā)探討

當(dāng)找到了好的數(shù)學(xué)問題，怎么讓這些問題最大程度地發(fā)揮出其教學(xué)價(jià)值呢？這是教師要認(rèn)真思考的問題. 2020年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷理科第20題第（2）小題就是一個(gè)很好的數(shù)學(xué)問題. 下面以它為例，在“結(jié)構(gòu)化教學(xué)”觀點(diǎn)下摸索“問題探究教學(xué)”的范式.

已知[A，B]為橢圓[E： x29+y2=1]的左、右頂點(diǎn)，[P]是直線[l：x=6]上的動(dòng)點(diǎn)，[PA]與[E]的另一個(gè)交點(diǎn)為[C]，[PB]與[E]的另一個(gè)交點(diǎn)為[D]. 證明：直線[CD]過定點(diǎn).

教學(xué)的確需要解題，但絕不只是解題. 教學(xué)更重要的是啟發(fā)學(xué)生思考，幫助學(xué)生打開思路，給予學(xué)生適當(dāng)?shù)闹敢?，鼓?lì)學(xué)生探究下去，勇敢地去發(fā)現(xiàn). 怎樣證明直線過定點(diǎn)？把這個(gè)問題交給學(xué)生探討. 下面是探究的過程.

2. 思維碰撞，共享智慧

證明：設(shè)[P6，m]，則[A-3，0，B3，0]，直線[PA]與直線[PB]的方程分別為[y=m9x+3]和[y=][m3x-3].

聯(lián)立直線[PA]和橢圓的方程，得[y=m9x+3，x29+y2=1.]

所以[m2+9x2+6m2x+9m2-81=0].

所以[-3xC=9m2-81m2+9]，解得[xC=-3m2+27m2+9].

從而[C-3m2+27m2+9， 6mm2+9].

同理，聯(lián)立直線[PB]和橢圓的方程，可以得到[D3m2-3m2+1， -2mm2+1].

教師設(shè)問1：用參數(shù)[m]表示出點(diǎn)[C]和點(diǎn)[D]的坐標(biāo)后，發(fā)現(xiàn)直線[CD]的方程很難表示. 采用哪種形式的直線方程好呢？

大部分學(xué)生認(rèn)為，不管哪種形式的方程，計(jì)算量都比較大，運(yùn)算過程都比較麻煩. 那么，就只好直接計(jì)算. 因?yàn)閇CD=2m2+3m2+1m2+93m2-9，-4m]，所以法向量[n=4m，3m2-9]. 從而直線[CD]的點(diǎn)法式方程為[4mx-3m2-3m2+1+3m2-3y--2mm2+1=0]. 化簡，可得[4mx-32+3m2-3y=0]. 所以直線[CD]恒過定點(diǎn)[32，0].

生1：我采取行列式的形式表示，計(jì)算量會(huì)小一些，可操作性強(qiáng). 其他形式方程計(jì)算量都很大，甚至?xí)捎谟?jì)算太煩瑣而沒辦法進(jìn)行下去.

生1用行列式形式表示的計(jì)算過程如下.

根據(jù)題意，得直線[CD]的直線方程可以表示為[xy13m2-3m2+1-2mm2+11-3m2+27m2+96mm2+91=0]，即[xy13m2-3-2mm2+1-3m2+276mm2+9=0]. 按第一行展開這個(gè)三階行列式，得[x-2mm2+16mm2+9-][y3m2-3m2+1-3m2+27m2+9+3m2-3-2m-3m2+276m=0]. 化簡，可以得到[4mx-32+3m2-3y=0]. 所以直線[CD]恒過定點(diǎn)[32，0].

教師設(shè)問2：這個(gè)解法容易想到，找個(gè)合適的參數(shù)，按部就班寫出直線方程，整理化簡后，就可以看到過哪個(gè)定點(diǎn)了. 缺點(diǎn)是計(jì)算量大，有沒有簡單些的方法呢？

探討后征詢學(xué)生的想法.

生2：我們可以先找到這個(gè)定點(diǎn)，再證明直線[CD]恒過這個(gè)點(diǎn).

生2的證明過程如下.

因?yàn)闄E圓和直線[x=6]都是關(guān)于[x]軸對(duì)稱的，

所以直線[CD]恒過的定點(diǎn)在[x]軸上，即定點(diǎn)的縱坐標(biāo)為[0].

取[P6，3]，聯(lián)立直線[PA]和橢圓的方程，可以得到[C0，1].

同理，可得[D125，-35].

由此可得直線[CD]的方程為[y=-23x+1].

所以定點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是[T32，0].

教師設(shè)問3：下面，再來證明所有直線[CD]都經(jīng)過點(diǎn)[T32，0]，怎么證明呢？這是一個(gè)需要思考也值得思考的問題.

生3：好像還是要回到上面的過程引入?yún)?shù)表示出點(diǎn)[C]和點(diǎn)[D]的坐標(biāo)，只要證明[TD∥TC]就可以了.

生3的證明過程如下.

設(shè)[P6，m]，聯(lián)立方程，得

[C-3m2+27m2+9， 6mm2+9]，[D3m2-3m2+1， -2mm2+1].

從而[TC=-32m2+93m2-9，-4m]，

[TD=12m2+13m2-9，-4m].

所以[TD∥TC].

所以直線[CD]恒過定點(diǎn)[32，0].

師：生2的想法是我們證明恒過定點(diǎn)問題的一般方法，也是通法. 先用特例找到定點(diǎn)，再進(jìn)行一般性證明. 證明的運(yùn)算過程在生3的方法的處理下得到了簡化. 他們的想法都非常寶貴.

教師設(shè)問4：上面兩種解決問題的辦法運(yùn)算量還是有點(diǎn)大，同學(xué)們想想還有什么好的辦法嗎？

生4：由于這個(gè)問題僅僅涉及“點(diǎn)在直線上”這一仿射性質(zhì)，而不涉及長度、夾角、面積等度量性質(zhì)，從而進(jìn)行仿射變換將會(huì)保持“過定點(diǎn)”的性質(zhì).

由于當(dāng)時(shí)與學(xué)生探究了仿射變換在解析幾何中的應(yīng)用，所以生4突發(fā)奇想，想到用仿射變換來解決這個(gè)問題.

生4的證明過程如下.

先研究單位圓過定點(diǎn)的問題（因?yàn)楸容^簡單，所以研究一般情況）.

已知[A，B]為圓[x2+y2=1]和[x]軸的兩個(gè)交點(diǎn)，[P]是直線[x=x0 x0≠0]上的動(dòng)點(diǎn)，[PA]與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為[C]，[PB]與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為[D]. 證明：直線[CD]過定點(diǎn).

設(shè)[Px0，m]，則[A-1，0，B1，0].

所以直線[PA]的方程為[y=mx0+1x+1 x0≠±1]，直線[PB]的方程為[y=mx0-1x-1 x0≠±1].

聯(lián)立直線[PA]與圓的方程，得

[C-1+2x0+12x0+12+m2， 2mx0+1x0+12+m2].

聯(lián)立直線[PB]與圓的方程，得

[D1+-2x0-12x0-12+m2， -2mx0-1x0-12+m2].

故線段[CD]的中點(diǎn)的坐標(biāo)為

[M4m2x0x20+1+m22-4x20， 2mm2+1-x02x20+1+m22-4x20].

直線[CD]的點(diǎn)法式方程為[2mx0x-4m2x0x20+1+m22-4x20+][m2+1-x02y-2mm2+1-x02x20+1+m22-4x20=0].

化簡，得[2mx0x-1x0+m2+1-x02y=0].

所以恒過點(diǎn)[Q1x0，0].

當(dāng)[x0=±1]時(shí)，結(jié)論仍然成立.

通過上面的探究發(fā)現(xiàn)：[x0xQ=1].

下面我們利用仿射變換解決原題目.

作仿射變換[x=3x，y=y，]

則橢圓[E： x29+y2=1]變?yōu)閱挝粓A[x2+y2=1]，直線[x=6]變?yōu)橹本€[x=2].

按照單位圓的情形下得出的結(jié)論，直線[CD]過定點(diǎn)[Q12，0].

因此點(diǎn)[Q12，0]對(duì)應(yīng)直線[CD]過的定點(diǎn)[Q32，0].

生4：應(yīng)用仿射變換，我們還可以簡單地得到下面的一般化結(jié)論，否則很難得到.

已知[A，B]為橢圓[E： x2a2+y2b2=1 a>b>0]的左、右頂點(diǎn)，[P]是直線[l：x=x0]上的動(dòng)點(diǎn)，[PA]與[E]的另一個(gè)交點(diǎn)為[C]，[PB]與[E]的另一個(gè)交點(diǎn)為[D]. 則直線[CD]過定點(diǎn)[a2x0，0].

師：生4的證明方法打開了探究這個(gè)問題的全新的思路. 通過仿射變換，把橢圓的問題轉(zhuǎn)化成單位圓的問題，使得運(yùn)算變得簡單可行，而且得到了較一般的結(jié)論. 生4的這個(gè)想法非常奇妙，具有開創(chuàng)意義.

3. 激發(fā)潛能，拓展探究

教師設(shè)問5：我們知道，在平面幾何中，一些橢圓有的性質(zhì)，一般情況下雙曲線也有. 由于可以進(jìn)行仿射變換，為了計(jì)算簡單，我們選取等軸雙曲線，大家可以嘗試探究下面的問題.

拓展探究1：已知[A，B]為雙曲線[E：x2-y2=1]的左、右頂點(diǎn)，[P]是直線[l：x=x0 x0≠±1]上的動(dòng)點(diǎn)，[PA]與[E]的另一個(gè)交點(diǎn)為[C]，[PB]與[E]的另一個(gè)交點(diǎn)為[D]. 證明：直線[CD]過定點(diǎn).

證明：設(shè)[Px0，m]，

則[A-1，0，B1，0].

所以直線[PA]的方程為[y=mx0+1x+1 x0≠±1]，直線[PB]的方程為[y=mx0-1x-1 x0≠±1].

聯(lián)立直線[PA]與雙曲線的方程，得

[C-1+2x0+12x0+12-m2， 2mx0+1x0+12-m2].

聯(lián)立直線[PB]與圓的方程，得

[D1+-2x0-12x0-12-m2， -2mx0-1x0-12-m2].

故線段[CD]的中點(diǎn)為

[M-4m2x0x20+1-m22-4x20， -2mx02+m2-1x20+1-m22-4x20].

則[CD=2x20+1-m22-4x20m4-x20-12，-2mx0x02-m2-1].

所以法向量[n=2mx0x02-m2-1，m4-x20-12].

則直線[CD]的點(diǎn)法式方程為[2mx0x02-m2-1 · ][x+4m2x0x20+1-m22-4x20+m4-x20-12y+2mx02+m2-1x20+1-m22-4x20=0].

化簡，得

[2mx0x02-m2-1x-1x0+m4-x20-12y=0].

所以直線[CD]恒過定點(diǎn)[1x0，0].

教師設(shè)問6：橢圓和雙曲線都至少有兩個(gè)定點(diǎn)，類似問題容易提出. 而對(duì)于拋物線，類似的問題是什么呢？

拋物線是無心二次曲線，根據(jù)射影幾何學(xué)的觀點(diǎn)，另一個(gè)頂點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處，兩條平行線相交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn). 因此，我們提出下面的問題，證明比較簡單，就留給讀者.

拓展探究2：已知拋物線[Γ：y2=2px p>0]，[P]是直線[x=x0 x0≠0]上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)[P]作[y]軸的垂線，交拋物線[Γ]于點(diǎn)[C]，[OP]與拋物線[Γ]的交點(diǎn)為[D]. 證明：直線[CD]過定點(diǎn).

4. 深度研究，揭示背景

為了揭示問題的本質(zhì)，我們引入高等幾何中的一個(gè)定義. 這個(gè)定義給出了極線和極點(diǎn)的代數(shù)關(guān)系. 而下面的兩個(gè)定理揭示了它們的幾何意義.

定義：已知圓錐曲線[Γ：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+][F=0]，點(diǎn)[Px0，y0]（非中心）和直線[l：Ax0x+By0x+x0y2+][Cy0y+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0]. 我們稱點(diǎn)[Px0，y0]是直線[l]關(guān)于圓錐曲線[Γ]的極點(diǎn)，直線[l]是點(diǎn)[Px0，y0]關(guān)于圓錐曲線[Γ]的極線.

特別地，給定橢圓[Γ： x2a2+y2b2=1 a>b>0]，以及不同于橢圓中心的任意一點(diǎn)[Px0，y0]，則點(diǎn)[Px0，y0]關(guān)于橢圓[Γ]的極線是[xx0a2+yy0b2=1]. 如果點(diǎn)[Px0，y0]在橢圓[Γ]上，它的極線就是經(jīng)過點(diǎn)[P]的橢圓[Γ]的切線.

定理1：若一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在一條二次曲線上，則這個(gè)四邊形的對(duì)邊延長線的交點(diǎn)（假設(shè)四邊形對(duì)邊不平行）及其對(duì)角線的交點(diǎn)組成的三角形叫自極三角形，即每個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊所在直線是極點(diǎn)和極線的關(guān)系.

定理2：若點(diǎn)[S]和直線[lS]是關(guān)于圓錐曲線[Γ]的極點(diǎn)和極線，[AB]是[Γ]的一條弦，[CD]是[Γ]的另一條弦，直線[AC]與[BD]的交點(diǎn)為[P]. 則點(diǎn)[P]在[lS]上的充要條件是[CD]經(jīng)過點(diǎn)[S].

定理1的證明可以參看文[3]中的“6.4 關(guān)于二次曲線的極點(diǎn)和極限”. 定理2的證明可以參看文[4]. 前面的定義和定理揭示了2020年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷理科第20題第（2）小題的本質(zhì).

本質(zhì)：直線[l：x=6]關(guān)于橢圓[E： x29+y2=1]的極點(diǎn)是[32，0]. 因?yàn)橹本€[AB]經(jīng)過極點(diǎn)[32，0]，點(diǎn)[P]是極線[l：x=6]上任意一點(diǎn)，所以直線[CD]一定恒過點(diǎn)[32，0].

5. 總結(jié)反思，提升素養(yǎng)

好的數(shù)學(xué)問題的解決一定有總結(jié)提升的價(jià)值. 這里探討了三種方法：方法1，選取合適的參數(shù)，寫出關(guān)于參數(shù)的直線方程，整理化簡后可以求得定點(diǎn)，應(yīng)用了直線方程的概念;方法2，先用特殊的兩條直線求出定點(diǎn)，再證明一般直線都經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)，運(yùn)用了特殊與一般的辯證關(guān)系;方法3，通過仿射變換，把橢圓的問題轉(zhuǎn)化為單位圓的問題，先解決單位圓過定點(diǎn)的問題，再解決橢圓的相應(yīng)問題. 方法1和方法2是解決過定點(diǎn)問題的基本思路，屬于通法;方法3運(yùn)用了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

圓、橢圓、雙曲線和拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線. 一般情況下其中之一有某些性質(zhì)，其他幾個(gè)也可能有，我們可以進(jìn)行類比拓展探究. 在發(fā)現(xiàn)和提出相應(yīng)問題、分析和解決問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，深化數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

分別解決了以上問題之后，自然會(huì)問：對(duì)于一般的二次曲線，這個(gè)問題會(huì)是什么樣的呢？可以統(tǒng)一解決嗎？不管有沒有能力解決，問題能不能解決，都要有這樣的問題意識(shí). 因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)和提出問題，相對(duì)于分析和解決問題，有時(shí)更困難，也更有意義. 這個(gè)問題必將揭示原來問題的背景，定會(huì)抓住問題的本源，研究的價(jià)值更大.

三、問題探究教學(xué)結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問題，展開自主探究、合作研究并最終解決問題的過程. 我們知道，一般的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)不適合集體課堂教學(xué)，而問題探究教學(xué)是想把數(shù)學(xué)問題探究活動(dòng)應(yīng)用于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，我們希望探討問題探究教學(xué)的基本結(jié)構(gòu).

1. 結(jié)構(gòu)化教學(xué)觀點(diǎn)下，探究的五個(gè)基本環(huán)節(jié)

在2020年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷理科第20題的探討和研究過程中，我們運(yùn)用了聯(lián)系的觀點(diǎn)、整體的觀點(diǎn)和發(fā)展的觀點(diǎn)，這就是結(jié)構(gòu)化的教學(xué)觀. 在結(jié)構(gòu)化教學(xué)觀的指導(dǎo)下，形成了問題探究教學(xué)的基本范式和實(shí)施途徑.

實(shí)現(xiàn)問題探究教學(xué)，分為五個(gè)環(huán)節(jié)：提出問題，引發(fā)探討;思維碰撞，共享智慧;激發(fā)潛能，拓展探究;深度研究，揭示背景;總結(jié)反思，提升素養(yǎng).

為了達(dá)到教學(xué)效果，教師可以通過有質(zhì)量的層層遞進(jìn)的設(shè)問，以問題串的形式啟發(fā)學(xué)生思考，鼓勵(lì)他們探究下去，繼而發(fā)現(xiàn)問題的本源.

2. 五個(gè)環(huán)節(jié)相互聯(lián)系，思維層次不斷深化發(fā)展

上面的五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)相互聯(lián)系、相互影響，問題的質(zhì)量會(huì)決定探究的深度，探討的過程會(huì)展現(xiàn)問題教學(xué)的效果，從而也反映了教師選題的能力.

（1）第一個(gè)環(huán)節(jié)要能提出有質(zhì)量的好問題，學(xué)習(xí)用聯(lián)系的觀點(diǎn)辯證地發(fā)現(xiàn)問題.

好的問題不需要看起來就很難，拒人于千里之外，可以是一些看起來樸素但又有內(nèi)涵的問題. 首先，不管是問題本身，還是解決問題的方法，最好都有探究的價(jià)值. 其次，提出的問題要能引起學(xué)生探究的興趣，因?yàn)楦信d趣就是探究下去最好的動(dòng)力. 最后，經(jīng)歷了問題的鉆研和探討后，學(xué)生要有學(xué)識(shí)和思維的提升. 因此，在第一個(gè)環(huán)節(jié)，教師要學(xué)習(xí)用聯(lián)系的觀點(diǎn)，辯證地審視數(shù)學(xué)問題，要提出有質(zhì)量的好問題，因?yàn)檫@是后繼探究的基礎(chǔ)和前提.

（2）第二個(gè)環(huán)節(jié)和第三個(gè)環(huán)節(jié)要激發(fā)出學(xué)生的潛在想法，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)用發(fā)展的觀點(diǎn)探討和研究.

第一個(gè)環(huán)節(jié)選的問題到底好不好，需要第二個(gè)環(huán)節(jié)和第三個(gè)環(huán)節(jié)來證明. 也可能問題的確是個(gè)好問題，但是由于教師的專業(yè)能力或者教學(xué)水平有限，學(xué)生探討的積極性和主動(dòng)性沒能調(diào)動(dòng)起來，沒能激發(fā)出學(xué)生鉆研的興趣. 因此，在這個(gè)環(huán)節(jié)教師要運(yùn)用自己的教學(xué)能力，把握好教學(xué)的節(jié)奏，充分運(yùn)用好第一個(gè)環(huán)節(jié)找到的好的數(shù)學(xué)問題. 可以通過設(shè)問不斷把探討推向高潮，要學(xué)會(huì)運(yùn)用發(fā)展的觀點(diǎn)提出和研討問題.

（3）第四個(gè)環(huán)節(jié)和第五個(gè)環(huán)節(jié)要善于引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，使學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用統(tǒng)一的觀點(diǎn)整體看問題.

第四個(gè)環(huán)節(jié)和第五個(gè)環(huán)節(jié)難度比較大，需要鼓勵(lì)學(xué)生探究下去，教師要給予學(xué)生必要的幫助和指引，提供必需的探究途徑和研究材料. 第四個(gè)環(huán)節(jié)將揭示問題的背景，要求第一個(gè)環(huán)節(jié)選取的問題要有背景，否則就成了無米之炊，無源之水. 在這里，要學(xué)會(huì)運(yùn)用統(tǒng)一的觀點(diǎn)整體看問題. 第五個(gè)環(huán)節(jié)是總結(jié)反思，是收獲的時(shí)候，希望學(xué)生有方法、思想和意識(shí)形態(tài)上的獲得感. 這兩個(gè)環(huán)節(jié)將實(shí)現(xiàn)探究的目標(biāo)，也是第二個(gè)環(huán)節(jié)和第三個(gè)環(huán)節(jié)發(fā)展的必然，是第一個(gè)環(huán)節(jié)價(jià)值的實(shí)現(xiàn).

3. 由淺入深，深入淺出，洗禮思維，感悟創(chuàng)新

完整地經(jīng)歷了結(jié)構(gòu)化教學(xué)觀點(diǎn)下的數(shù)學(xué)問題探究教學(xué)過程，由淺入深、深入淺出地探討和鉆研，一定會(huì)經(jīng)受思維的洗禮，在創(chuàng)新思維方面也會(huì)有所提升. 這里的問題不要太難，可以由淺入深，否則學(xué)生將無從下手. 當(dāng)然，問題難與不難要考慮學(xué)生的思維能力，這是相對(duì)而言的. 通過五個(gè)環(huán)節(jié)的深入探討，分析了問題的背景后，希望能得出統(tǒng)一的、淺顯明了的結(jié)論，從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美和簡潔美.

教學(xué)研究的最終目的是培養(yǎng)人，而數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)就是培養(yǎng)人的思維能力，讓人更聰慧. 讓學(xué)生經(jīng)歷探究的歷程，必將開啟智慧、激發(fā)潛能、洗滌思維，從而達(dá)到感悟創(chuàng)新的目的.

四、問題探究教學(xué)的優(yōu)越性

問題探究教學(xué)有哪些優(yōu)點(diǎn)？下面我們從對(duì)問題的解決、對(duì)思維的養(yǎng)成和對(duì)人的培養(yǎng)三個(gè)方面來分析.

1. 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題背景，有利于問題的徹底解決

一個(gè)數(shù)學(xué)問題如果沒有得到自然、徹底、簡單的解決，那它就沒有得到真正的解決. 從解決問題的方法和過程來講，就無法讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)的和諧美、統(tǒng)一美、簡潔美. 但是，如何才能完善地解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題呢？怎樣才能讓人感受到思維的洗禮呢？實(shí)踐表明，在解決問題的過程中引導(dǎo)學(xué)生了解問題的背景，發(fā)現(xiàn)問題的本源，激勵(lì)學(xué)生探究問題的解決辦法，有助于學(xué)生徹底解決問題.

2. 啟發(fā)學(xué)生的高階深度思考，有利于思維的提升和突破

布魯納指出，教授一門學(xué)科不是要在學(xué)生頭腦中建立一個(gè)小型圖書館，而是要讓他們參與知識(shí)的構(gòu)建，掌握該學(xué)科的思維方式. 問題探究教學(xué)就是在學(xué)生探究的過程，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行深度思考，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的上限，不斷突破思維的極限. 問題探究教學(xué)的目標(biāo)就是讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)學(xué)科的思維方式，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

3. 落實(shí)新課程的精神，有利于創(chuàng)新人才的孕育

從問題探究教學(xué)的五個(gè)基本環(huán)節(jié)來看，在問題探究的過程中，我們要注重有策略地持續(xù)提升學(xué)生的“四能”. 在探索研究的實(shí)踐過程中，的確提高了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，發(fā)展了學(xué)生自主學(xué)習(xí)和探究的能力，樹立了學(xué)生敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神，提升了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

要實(shí)現(xiàn)人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展. 在課堂上，怎樣才能讓所有學(xué)生都有收獲？如何解決“吃不飽”的問題？這些都是問題探究教學(xué)想要解決的教學(xué)難題.

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