李素波

摘 ?要：以[GeoGebra]軟件為主要信息技術(shù)平臺，以2020年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷理科第20題的講評為例，展示了一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的教學(xué)過程及成果，說明應(yīng)重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的作用.

關(guān)鍵詞：信息技術(shù);數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);數(shù)學(xué)素養(yǎng)

隨著課程改革的深入，信息技術(shù)對數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，它改變了數(shù)學(xué)及其研究方法. 信息技術(shù)不但影響著教師的教學(xué)方式，還影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)方式.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）注重培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)上的自主探究，鼓勵學(xué)生運(yùn)用信息技術(shù)學(xué)習(xí)、探索和解決問題. 響應(yīng)《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，筆者開展了一堂基于[GeoGebra]軟件的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課.

一、教學(xué)過程

以2020年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷理科第20題的講評為契機(jī)，筆者開展了一堂數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課. 授課地點(diǎn)是我校的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室：一個(gè)配備有40臺電腦、1臺服務(wù)器和1個(gè)投影儀的多媒體教室. 另外，每臺電腦上都安裝有[GeoGebra]軟件. 筆者所帶班級的學(xué)生都參加過校本課程《[GeoGebra 5.0]軟件入門基礎(chǔ)》的學(xué)習(xí)，為本次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的順利開展提供了先決條件.

1. 試題回放

首先，在大屏幕上展示2020年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷理科第20題如下.

已知[A，B]分別為橢圓[E： x2a2+y2=1 a>1]的左、右頂點(diǎn)，[G]為[E]的上頂點(diǎn)，[AG · GB=8]，[P]為直線[x=6]上的動點(diǎn)，[PA]與[E]的另一交點(diǎn)為[C]，[PB]與[E]的另一交點(diǎn)為[D].

（1）求[E]的方程;

（2）證明：直線[CD]過定點(diǎn).

答案：（1）[x29+y2=1];（2）定點(diǎn)為[32，0]，具體證明略.

由于在開展本節(jié)課的前一天已經(jīng)解答過該題，所以本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)不再是傳統(tǒng)的解題教學(xué)，而是借助信息技術(shù)工具[GeoGebra]軟件來“解題”，并探究問題. 下面進(jìn)入這節(jié)課的主題.

2. 探究過程

師：同學(xué)們，在校本課程《[GeoGebra 5.0]軟件入門基礎(chǔ)》的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)掌握了該軟件的基本操作，你能借助[GeoGebra]軟件對該題第（2）小題的定點(diǎn)問題進(jìn)行直觀驗(yàn)證嗎？

學(xué)生打開[GeoGebra]軟件，開始操作驗(yàn)證.

師：有哪位同學(xué)愿意展示一下操作過程？

生1：如圖1，拖動點(diǎn)[P]在直線[x=6]上運(yùn)動，可以發(fā)現(xiàn)在運(yùn)動過程中，直線[CD]恒過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為[32，0].

師：很好！看來大家對[GeoGebra]軟件的基本操作還是很熟練的. 接下來開始我們真正的探究過程. 定點(diǎn)問題是解析幾何中的常見問題，在問題的背后一定有著深層次的原因. 那么，很自然我們會提出問題1.

問題1：在該題中，橢圓[x29+y2=1]，定直線[l：x=][6]，以及定點(diǎn)[32，0]之間有什么樣的內(nèi)在關(guān)聯(lián)呢？

生2：我猜測定直線[l]應(yīng)該是[x=2a]，而定點(diǎn)應(yīng)該是[a2，0].

師：你為什么這么認(rèn)為呢？

生2：因?yàn)樵谠摍E圓中[a=3].

師：大家認(rèn)為呢？

生3：我覺得生2的回答不一定正確，難道直線[l]不可能是[x=6b]嗎？

師：大家能夠通過思考提出猜想，值得表揚(yáng). 但凡事要講依據(jù)，現(xiàn)在大家就運(yùn)用[GeoGebra]軟件來探究一下吧！在這里，為了便于討論，我們先做一個(gè)約定. 首先，創(chuàng)建三個(gè)滑塊，并分別命名為[a，b，m]，然后創(chuàng)建橢圓[x2a2+y2b2=1]，直線[x=m]，并先將[m]的值編輯為[2a]，后續(xù)步驟由大家自己操作.

【設(shè)計(jì)意圖】使用[GeoGebra]軟件時(shí)，用戶可以先創(chuàng)建一個(gè)對象，然后對它的屬性進(jìn)行修改. 這里，設(shè)置三個(gè)參數(shù)[a，b，m]，不僅是為了使問題的討論更具一般性，更為下文在其他曲線中的縱向拓展埋下了伏筆. 例如，可以修改曲線[E]的方程為[x2a2+y2a2=1]，[x2a2-y2b2=1]，探究在橢圓中成立的結(jié)論在其他圓錐曲線中是否成立. 這有利于避免重復(fù)作圖，提高學(xué)習(xí)效率.

學(xué)生獨(dú)立思考，并運(yùn)用[GeoGebra]軟件操作驗(yàn)證.

生4：我剛才驗(yàn)證過了，生2的回答是正確的. 如圖2，通過拖動點(diǎn)[P]在直線[l]上運(yùn)動及改變滑塊[a，b]的值，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線[l]為[x=2a]時(shí)，定點(diǎn)始終是[a2，0].

師：大家怎么看呢？

經(jīng)過作圖分析，學(xué)生表示贊同生4的回答.

教師肯定了結(jié)論的正確性，并要求學(xué)生課后完成嚴(yán)格的證明. 然后與學(xué)生一起鼓掌，對生2的表現(xiàn)給予鼓勵，這樣就順理成章地得出我們這節(jié)課的第一個(gè)成果，即性質(zhì)1.

性質(zhì)1：已知[A，B]分別為橢圓[E： x2a2+y2b2=1 a>b>0]的左、右頂點(diǎn)，[P]為直線[l：x=2a]上的動點(diǎn)，[PA]與[E]的另一交點(diǎn)為[C]，[PB]與[E]的另一交點(diǎn)為[D]，則直線[CD]恒過定點(diǎn)[a2，0].

【評注】至此，學(xué)生經(jīng)歷了從最初的提出猜想，到[GeoGebra]軟件的動態(tài)演示和操作確認(rèn)，再到（課后）解析法的嚴(yán)格證明這樣一個(gè)完整的探究過程. 這樣的探究活動，既可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還可以提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)及運(yùn)用信息技術(shù)的能力.

就在這時(shí)，生3滿臉疑惑地發(fā)問了.

生3：大家得出的性質(zhì)1是正確的，而且與題目也是一致的，這毫無疑問. 但是我發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線[x=6b]時(shí)，直線[CD]也過定點(diǎn)，只是定點(diǎn)不再是[a2，0]. 目前我還沒探究出該定點(diǎn)的坐標(biāo)、定直線[l]的方程及橢圓間的聯(lián)系.

師：是嗎？真如生3所說嗎？

學(xué)生再次投入到[GeoGebra]軟件的操作驗(yàn)證中.

生：當(dāng)直線[l]為[x=6b]時(shí)，直線[CD]確實(shí)過定點(diǎn)，那么定點(diǎn)是多少呢？

師：同學(xué)們，探究問題要講究方法，我們是不是可以通過合情推理來探究一下呢？我們可以取[a，b]的幾組不同取值（為了便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，數(shù)據(jù)應(yīng)盡量容易計(jì)算），從而獲得相對應(yīng)的定直線的方程及定點(diǎn)坐標(biāo).

例如，可以得到下表，大家看能有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

[[a] [b] 定直線 定點(diǎn) 3 2 [x=12] [0.75，0] 2 1 [x=6] [0.67，0] 6 3 [x=18] [2，0] ]

生3：老師，我發(fā)現(xiàn)了！把定點(diǎn)的坐標(biāo)都改寫為分?jǐn)?shù)形式，即[0.75=34]，[0.67=23]，且[12×34=][32]，[6×23=22]，[18×2=62]. 歸納可得定點(diǎn)為[a26b，0].

師：大家認(rèn)同生3的回答嗎？

學(xué)生經(jīng)過探究，表示贊同生3的說法.

師：很好！為生3的精彩表現(xiàn)鼓掌！

此時(shí)教室再次響起熱烈的掌聲.

師：合情推理是發(fā)現(xiàn)結(jié)論的重要手段，同學(xué)們應(yīng)該掌握. 現(xiàn)在返回性質(zhì)1，再觀察一下定直線[l：x=2a]與定點(diǎn)[a2，0]的關(guān)系，你怎么看呢？

生4：老師，我發(fā)現(xiàn)了，[a2 · 2a=a2]，這一點(diǎn)上是相同的.

師：觀察入微，很好.

此時(shí)，筆者順?biāo)浦郏岢鰡栴}2.

問題2：用鼠標(biāo)拖動滑塊[m]，改變定直線[l：x=m]的位置，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生5：如圖2，通過實(shí)踐操作，可以發(fā)現(xiàn)無論[m]取何值，直線[CD]恒過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)的坐標(biāo)為[a2m，0].

師：你是如何發(fā)現(xiàn)定點(diǎn)坐標(biāo)的呢？

生5：經(jīng)過剛才的討論，發(fā)現(xiàn)當(dāng)定直線[l]為[x=2a]，[x=3b]時(shí)，直線[CD]恒過定點(diǎn)，且定點(diǎn)的橫坐標(biāo)與直線的橫截距的乘積都恰好為[a2]. 那么，對于任意一條垂直于[x]軸的直線[l：x=m]，會不會都有這樣的規(guī)律呢？然后，我繪制了點(diǎn)[a2m，0]，發(fā)現(xiàn)該點(diǎn)與直線[CD]所過的定點(diǎn)完全重合.

師：大家同意生5的觀點(diǎn)嗎？

學(xué)生思考過后，表示贊同. 這樣，我們就得到了性質(zhì)2.

性質(zhì)2：已知[A，B]分別為橢圓[E： x2a2+y2b2=1 a>b>0]的左、右頂點(diǎn)，[P]為直線[x=m]上的動點(diǎn)，[PA]與[E]的另一交點(diǎn)為[C]，[PB]與[E]的另一交點(diǎn)為[D]，則直線[CD]恒過定點(diǎn)[a2m，0].

【評注】探究問題，不能胡亂猜測，要注重方法，才能有所獲. 合情推理是發(fā)現(xiàn)結(jié)論的重要方法，在教學(xué)中要多從方法上引導(dǎo)學(xué)生，使他們積累一些基本活動經(jīng)驗(yàn).

問題3：如果將[A，B]改為橢圓[E： x2a2+y2b2=1 a>b>0]的上、下頂點(diǎn)，相應(yīng)地，定直線改為[l：y=m]，此時(shí)直線[CD]是否過定點(diǎn)呢？若過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)又是多少呢？

生6：那還不是一樣嘛！直線[CD]肯定要過定點(diǎn)[0， a2m].

不少學(xué)生隨聲附和起來.

師：可以親自試一試！

生6臉上露出困惑的表情，怎么不是呢？學(xué)生苦思冥想中……

生7：我發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，直線[CD]要過定點(diǎn)[0， b2m].

師：很棒！你是怎么發(fā)現(xiàn)的？

生7：如圖3，我拖動滑塊改變[a]的值，發(fā)現(xiàn)定點(diǎn)并未隨之移動，而再拖動滑塊[b]卻發(fā)現(xiàn)該定點(diǎn)也跟著移動，這說明定點(diǎn)的坐標(biāo)與[a]無關(guān)，卻與[b]有關(guān)，類比性質(zhì)2的探究方法，發(fā)現(xiàn)定點(diǎn)的坐標(biāo)恰好是[0， b2m].

師：很好！只要勤于動手實(shí)踐和嘗試，你就會有意想不到的收獲. 生7的回答是正確的，希望大家在課后完成證明.

于是，得到性質(zhì)3.

性質(zhì)3：已知[A，B]分別為橢圓[E： x2a2+y2b2=1 a>b>0]的上、下頂點(diǎn)，[點(diǎn)P]為直線[y=m]上的動點(diǎn)，[PA]與[E]的另一交點(diǎn)為[C]，[PB]與[E]的另一交點(diǎn)為[D]，則直線[CD]恒過定點(diǎn)[0， b2m].

【評注】[GeoGebra]軟件的最大特點(diǎn)就是能在變動狀態(tài)中保持不變的幾何關(guān)系. 這為我們提供了一個(gè)進(jìn)行數(shù)學(xué)“實(shí)驗(yàn)”、實(shí)際“操縱”幾何圖形的環(huán)境. 學(xué)生可以任意拖動圖形，通過觀察、思考，發(fā)現(xiàn)結(jié)論并驗(yàn)證. 學(xué)生在觀察、探索的過程中，增加了對圖形的感性認(rèn)識，形成了豐富的幾何經(jīng)驗(yàn)背景，從而更有助于發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

生8：為什么[A，B]作為左、右頂點(diǎn)和上、下頂點(diǎn)，定點(diǎn)的情況會不一樣呢？

師：這個(gè)問題提得很好！世界上真正巧合的事情是很少的，這背后是有原因的. 事實(shí)上，這道題的背景涉及共軛直徑、極點(diǎn)與極線等高等幾何的知識，所以我們不妨將這個(gè)問題先放一放，有機(jī)會我們可以專門開展一節(jié)研究型學(xué)習(xí)課來探討這方面的知識.

生：太神奇了！

問題4：眾所周知，各圓錐曲線之間有著很多優(yōu)美和諧的性質(zhì)，那么在其他曲線中是否也有類似的結(jié)論呢？請大家小組合作，探究一番吧！

各小組又投入到緊張的探究活動中. 大約5分鐘之后，各小組都取得了不錯的成果.

師：下面各小組匯報(bào)一下成果吧.

第1小組匯報(bào)：在橢圓[x2a2+y2b2=1]中，將滑塊[b]的值修改為[a]，此時(shí)曲線[E：x2+y2=a2 a>0]變?yōu)閳A，經(jīng)操作驗(yàn)證，隨著滑塊[m]的改變，我們發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論.

（1）當(dāng)定直線為[l：x=m]，且點(diǎn)[A，B]分別為圓[E]與[x]軸的兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直線[CD]恒過定點(diǎn)[a2m，0].

（2）當(dāng)定直線為[l：y=m]，且點(diǎn)[A，B]分別為圓[E]與[y]軸的兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直線[CD]恒過定點(diǎn)[0， a2m].

于是，我們不難得到性質(zhì)4和性質(zhì)5.

性質(zhì)4：已知[A，B]分別為圓[E： x2+y2=r2 r>0]與[x]軸的兩個(gè)交點(diǎn)，[P]為直線[x=m]上的動點(diǎn)，[PA]與[E]的另一交點(diǎn)為[C]，[PB]與[E]的另一交點(diǎn)為[D]，則直線[CD]恒過定點(diǎn)[r2m，0].

性質(zhì)5：已知[A，B]分別為圓[E： x2+y2=r2 r>0]與[y]軸的兩個(gè)交點(diǎn)，[P]為直線[y=m]上的動點(diǎn)，[PA]與[E]的另一交點(diǎn)為[C]，[PB]與[E]的另一交點(diǎn)為[D]，則直線[CD]恒過定點(diǎn)[0， r2m].

第2小組匯報(bào)：將曲線[E]的方程由[x2a2+y2b2=1]變?yōu)閇x2a2-y2b2=1]. 此時(shí)，曲線[E]代表雙曲線，定直線仍為[l：x=m]，點(diǎn)[A，B]為雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn). 經(jīng)操作驗(yàn)證，隨著滑塊[m]的改變，直線[CD]同樣過定點(diǎn)，且定點(diǎn)同樣為[a2m，0]. 于是得到性質(zhì)6.

性質(zhì)6：已知[A，B]分別為雙曲線[E： x2a2-y2b2=1][a>0，b>0]的兩個(gè)頂點(diǎn)，[P]為直線[x=m]上的動點(diǎn)，[PA]與[E]的另一交點(diǎn)為[C]，[PB]與[E]的另一交點(diǎn)為[D]，則直線[CD]過定點(diǎn)[a2m，0].

時(shí)間過得真快，下課的鈴聲響了，學(xué)生有一種意猶未盡的感覺. 總體來講，這節(jié)課還是收獲滿滿. 事實(shí)上，由于知識所限，學(xué)生并未觸及到試題的真背景（極點(diǎn)、極線及共軛直徑等）.

二、試題背景

極點(diǎn)與極線是高等幾何中一個(gè)非常重要的概念，雖然在中學(xué)教材中沒有具體介紹，但以它為背景命制的高考試題卻層出不窮. 作為教師，掌握了極點(diǎn)與極線的基礎(chǔ)知識，就可以讓我們居高臨下，直擊問題的本質(zhì).

例如，在原題中，在橢圓[x29+y2=1]中，它的其中一條極線[l：x=6]，即[32 · x9+0 · y=1]所對應(yīng)的極點(diǎn)為[32，0];性質(zhì)1中，橢圓[x2a2+y2b2=1 a>b>0]的一條極線[l：x=2a]，即[l： a2 · xa2+0 · yb2=1]所對應(yīng)的極點(diǎn)為[a2，0];更一般地，在性質(zhì)2和性質(zhì)3中，在橢圓[x2a2+][y2b2=1 a>b>0]中，極線[l： a2m · xa2+0 · yb2=1]對應(yīng)極點(diǎn)[a2m，0]，極線[l： 0 · xa2+b2m · yb2=1]對應(yīng)極點(diǎn)[0， b2m]. 同樣地，在性質(zhì)4、性質(zhì)5和性質(zhì)6中也是如此.

事實(shí)上，經(jīng)過探究不難發(fā)現(xiàn)更具一般性的性質(zhì)，即性質(zhì)7.

性質(zhì)7：已知橢圓[E]和任意一條直線[l]，[l0]是[E]的平行于[l]的直徑，[A，B]分別為[l0]關(guān)于[E]的共軛直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，[P]為直線[l]上的動點(diǎn)，[PA]與[E]的另一交點(diǎn)為[C]，[PB]與[E]的另一交點(diǎn)為[D]，則直線[CD]恒過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)與直線[l]為關(guān)于[E]的一對極點(diǎn)與極線.

同樣地，在雙曲線、圓中也有類似的結(jié)論，也就是下面的性質(zhì)8和性質(zhì)9.

性質(zhì)8：已知雙曲線[E]和任意一條直線[l]，[l0]是[E]的平行于[l]的直徑，[A，B]分別為[l0]關(guān)于[E]的共軛直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，[P]為直線[l]上的動點(diǎn)，[PA]與[E]的另一交點(diǎn)為[C]，[PB]與[E]的另一交點(diǎn)為[D]，則直線[CD]恒過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)與直線[l]為關(guān)于[E]的一對極點(diǎn)與極線.

性質(zhì)9：已知圓[E]和任意一條直線[l]，[l0]是[E]的平行于[l]的直徑，[A，B]分別為[l0]關(guān)于[E]的共軛直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，[P]為直線[l]上的動點(diǎn)，[PA]與[E]的另一交點(diǎn)為[C]，[PB]與[E]的另一交點(diǎn)為[D]，則直線[CD]恒過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)與直線[l]為關(guān)于[E]的一對極點(diǎn)與極線.

篇幅所限，各性質(zhì)的證明過程不再贅述，留給讀者自己完成.

三、結(jié)束語

在信息化時(shí)代，信息技術(shù)對于數(shù)學(xué)教學(xué)已不是用與不用的問題，而是如何用好的問題. 教學(xué)中對于信息技術(shù)的融入和運(yùn)用，學(xué)生有著濃厚的興趣，而很多教師往往忽略了這一點(diǎn)，認(rèn)為只要通過信息技術(shù)的演示讓學(xué)生看問題是如何解決的就可以了. 實(shí)際上，這是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，要讓學(xué)生真正動起手來，主動參與到教學(xué)活動中來，能在活動中提出問題、形成猜想、驗(yàn)證結(jié)論，最后能用數(shù)學(xué)知識加以證明. 讓學(xué)生多經(jīng)歷這樣的完整的探究過程，對于學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有著舉足輕重的作用. 久而久之，即使在脫離信息技術(shù)的情況下，學(xué)生仍然能夠在頭腦中進(jìn)行信息技術(shù)操作，借助直觀想象更直觀地解決問題.

參考文獻(xiàn)：

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