譚月勝 詹登輝 張彭豪

(北京林業(yè)大學(xué)工學(xué)院， 北京 100083)

0 引言

工業(yè)機(jī)械臂自身結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差及柔性誤差均會(huì)導(dǎo)致其末端執(zhí)行器的實(shí)際位置發(fā)生偏離，從而使機(jī)械臂絕對(duì)定位精度降低[1]。因此對(duì)其進(jìn)行誤差分析與補(bǔ)償顯得尤為重要。國內(nèi)外研究者對(duì)提高機(jī)械臂末端運(yùn)動(dòng)精度進(jìn)行了大量研究。陳宵燕等[2]對(duì)串聯(lián)機(jī)器人多模式標(biāo)定及誤差補(bǔ)償方法進(jìn)行了相關(guān)研究，建立了包含幾何和柔性的誤差模型，利用線性遞減權(quán)重的粒子群算法選取測(cè)量位姿，提出了一種局部補(bǔ)償方法，同時(shí)制定了一種多模式精度提高策略。TAN等[3]利用壓縮感知法對(duì)串聯(lián)機(jī)械臂的幾何誤差進(jìn)行了補(bǔ)償。LIU等[4]利用七次多項(xiàng)式與粒子群算法，并結(jié)合對(duì)機(jī)械臂關(guān)節(jié)進(jìn)行軌跡規(guī)劃，減小了機(jī)械臂末端的綜合誤差。機(jī)械臂作為一個(gè)強(qiáng)耦合性系統(tǒng)，其連桿和關(guān)節(jié)的彈性變形及動(dòng)載荷等對(duì)末端執(zhí)行器位置精度的影響均不可忽略，而采用運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定方法減小因柔性產(chǎn)生的誤差時(shí)，效果不佳。針對(duì)機(jī)械臂剛?cè)狁詈系那闆r，VOLECH等[5]在機(jī)器人的減速器和連桿存在柔性時(shí)以仿真方式獲得了機(jī)器人末端的形變量，以輸入整形法對(duì)機(jī)器人末端誤差進(jìn)行了補(bǔ)償。考慮到機(jī)械臂對(duì)于快速響應(yīng)的要求，吳昊等[6]提出一種連續(xù)線性化模型預(yù)測(cè)控制方法來提高柔性空間機(jī)械臂的末端軌跡精度。由于機(jī)械臂柔性造成的非線性誤差不可忽略，因此可結(jié)合上述方法針對(duì)具體的研究對(duì)象設(shè)計(jì)相應(yīng)的補(bǔ)償策略，對(duì)機(jī)械臂末端位置誤差進(jìn)行補(bǔ)償。

本文針對(duì)機(jī)械臂因連桿與關(guān)節(jié)柔性變形而引起的末端位置的非線性誤差問題，分析其誤差變化情況，并對(duì)誤差進(jìn)行補(bǔ)償。首先，建立剛?cè)狁詈蠙C(jī)械臂動(dòng)力學(xué)和關(guān)節(jié)偏差相結(jié)合的誤差模型；其次，利用有限元法與軟件仿真[7-9]分析末端執(zhí)行器位置誤差變化；最后，基于Matlab并結(jié)合實(shí)際應(yīng)用提出一種快速補(bǔ)償方法，對(duì)機(jī)械臂末端位置誤差進(jìn)行離線補(bǔ)償及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，以期提高機(jī)械臂末端位置精度。

1 剛?cè)狁詈蠙C(jī)械臂誤差模型及數(shù)值仿真

1.1 IRB1410型機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)誤差模型

IRB1410型機(jī)械臂結(jié)構(gòu)如圖1所示，其本體結(jié)構(gòu)包括：基座、腰部、大臂、肩部、小臂、腕部及法蘭盤，作為一款六自由度機(jī)械臂，因其前3個(gè)關(guān)節(jié)及連桿對(duì)末端位置精度的影響遠(yuǎn)大于后3個(gè)關(guān)節(jié)及連桿，故將大臂連桿、小臂橫桿和大臂平行的拉桿等效為Euler-Bernoulli梁模型研究其柔性變形，利用混合坐標(biāo)系法和假設(shè)模態(tài)法來描述機(jī)械臂柔性桿的彈性變形[10-11]，并將關(guān)節(jié)等效為線性扭簧[12]，按照?qǐng)D1的尺寸參數(shù)可得簡化模型如圖2所示，其中用慣性坐標(biāo)XiYiZi(i=0,1,2,3)描述剛體的運(yùn)動(dòng)，柔性桿件的彈性變形則用固連在其根部的浮動(dòng)坐標(biāo)xjyjzj(i=1,2,3)表示。

對(duì)圖2中柔性桿上任一點(diǎn)在基坐標(biāo)系X0Y0Z0下的位置關(guān)系可表述為

ri=Ai(ui+vi+li-1+li-2+R)

(1)

(2)

(3)

式中R——原點(diǎn)O1指向O2的矢量

li——桿i在自身慣性坐標(biāo)系下的位置矢量，規(guī)定l0為零向量

ui——柔性桿在該任意點(diǎn)處未變形時(shí)的位置向量，i=2,3

vi——柔性桿在該任意點(diǎn)處產(chǎn)生變形后的位置向量，i=2,3

a1、a2——前兩階模態(tài)坐標(biāo)

Ai——任意時(shí)刻時(shí)該浮動(dòng)坐標(biāo)系在基坐標(biāo)系下的坐標(biāo)變換矩陣，i=1,2,3

θ1——任意時(shí)刻回轉(zhuǎn)角

θi——關(guān)節(jié)i轉(zhuǎn)動(dòng)角，i=2,3

因此，該點(diǎn)的速度為

(4)

則柔性桿動(dòng)能為

(5)

柔性關(guān)節(jié)動(dòng)能為

(6)

其中

Ji=JriN2(i=1,2,3)

式中Ji——被驅(qū)動(dòng)的機(jī)械負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

N——被驅(qū)動(dòng)的機(jī)械負(fù)載質(zhì)量

Jri——第i關(guān)節(jié)電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，i=1,2,3

在機(jī)械臂簡化模型中，將其腕關(guān)節(jié)及末端的負(fù)載視為依附于第3連桿末端的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為mg，則負(fù)載動(dòng)能為

(7)

式中l(wèi)2——大臂桿長l3——小臂桿長

綜上所述，機(jī)械臂系統(tǒng)的總動(dòng)能可表示為

T=Tl+Tr+TG

機(jī)械臂系統(tǒng)的勢(shì)能包括桿件的彈性勢(shì)能與重力勢(shì)能以及柔性關(guān)節(jié)的彈性勢(shì)能，柔性桿彈性勢(shì)能為

(8)

式中Ei——柔性桿彈性模量

Ii——柔性桿截面慣性矩

重力勢(shì)能為

(9)

柔性關(guān)節(jié)彈性勢(shì)能為

(10)

式中kti——第i關(guān)節(jié)的扭轉(zhuǎn)剛度，i=1,2,3

則系統(tǒng)總勢(shì)能為

U=Ul+G+Ur

根據(jù)第二類拉格朗日法公式有

(11)

其中L=T-U，由式(5)～(10)可得機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型為

(12)

(13)

其中

q=[θ1θ2θ3a1a2b1b2θ4θ5θ6]T

式中q——廣義坐標(biāo)向量

QF——廣義外力二次項(xiàng)組成所對(duì)應(yīng)的廣義力

Qr——廣義速度二次項(xiàng)組成所對(duì)應(yīng)的廣義力

K——?jiǎng)偠染仃?/p>

M——質(zhì)量矩陣

J——JriN2組成的向量

Δθ——關(guān)節(jié)角偏差

由于機(jī)械臂在各連桿自身重力和附加載荷的影響下，關(guān)節(jié)軸線會(huì)受到力矩的作用，從而導(dǎo)致關(guān)節(jié)發(fā)生微小位移，產(chǎn)生一定的轉(zhuǎn)角偏差。在將柔性關(guān)節(jié)等效為扭簧模型時(shí)，關(guān)節(jié)角偏差與關(guān)節(jié)所受力矩的關(guān)系可以表示為

Δθ=Cτ

(14)

式中C——柔度系數(shù)，rad/(N·m)

τ——力矩，N·m

對(duì)于 6 自由度串聯(lián)式機(jī)械臂，其前3個(gè)關(guān)節(jié)產(chǎn)生的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角偏差對(duì)末端定位精度的影響高于后3個(gè)關(guān)節(jié)[13-14]，為簡化計(jì)算模型，只對(duì)前3個(gè)關(guān)節(jié)作柔性化處理和誤差建模分析。圖3為簡化模型的誤差分析圖，建模時(shí)暫且不考慮連桿的微小變形，在機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)過程中，考慮慣性力矩的影響，將其當(dāng)成平衡力系研究，由此可得大臂自重、小臂自重和負(fù)載對(duì)第2、3關(guān)節(jié)軸線的力臂為

(15)

式中l(wèi)c2——大臂重心到關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)軸線的距離

lc3——小臂重心到關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)軸線的距離

則第1、2、3關(guān)節(jié)力矩為

(16)

式中F1——大臂自重F2——小臂自重

FG——負(fù)載載荷

m1、m2、m3、mG——桿1、2、3及負(fù)載質(zhì)量

r——桿1回轉(zhuǎn)半徑，與圖2中的R相等

結(jié)合式(14)，并設(shè)m=F2/F1，n=C3/C2，C1、C2、C3分別表示第1、2、3關(guān)節(jié)的柔度系數(shù)，可得第1、2、3關(guān)節(jié)處的關(guān)節(jié)角偏差為

(17)

1.2 機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型數(shù)值仿真

關(guān)節(jié)力矩是各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其角加速度的乘積，廣義力矩給定為其關(guān)節(jié)力矩的兩倍，因此設(shè)定各個(gè)關(guān)節(jié)與時(shí)間的角位移為

(18)

結(jié)合式(12)、(13)、(17)，同時(shí)給出數(shù)值仿真參數(shù)：l1=0.375 m，l2=0.72 m，l3=0.89 m，R=0.15 m，EI2=4.09×102N·m2，EI3=2.33×102N·m2，m1=87.49 kg，m2=42.26 kg，mg=11 kg，kt1=6.48×106N·m/(°)，kt2=1.492×106N·m/(°)，kt3=6.08×105N·m/(°)，t=2 s，Δt=0.04 s，C1=3.356×10-10rad/(N·m)，C2=6.948×10-10rad/(N·m)，m=0.7，n=1.4，采用Newmark β法[15]計(jì)算得到機(jī)械臂末端3個(gè)方向誤差變化曲線，如圖4所示。

由圖4可知，機(jī)械臂末端的誤差隨時(shí)間變化而變化，3個(gè)方向均呈現(xiàn)波動(dòng)性和非線性，x、y方向的誤差變化范圍較接近，而z方向因末端具有豎直向下的負(fù)載，故誤差變化較大，因此機(jī)械臂連桿柔性與關(guān)節(jié)柔性對(duì)末端位置精度的影響不可忽略。圖5是對(duì)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行數(shù)值仿真后得到的末端綜合距離誤差。由圖5可以看出，綜合距離誤差仍然處在一個(gè)較大的范圍內(nèi)，因此有必要對(duì)已建立的動(dòng)力學(xué)模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證。

2 剛?cè)狁詈蠙C(jī)械臂末端運(yùn)動(dòng)誤差仿真分析

2.1 模型建立

機(jī)械臂在自重、負(fù)載以及慣性力矩的影響下，連桿與關(guān)節(jié)均會(huì)發(fā)生一定程度的柔性變形[16]。機(jī)械臂連桿由于是細(xì)長桿結(jié)構(gòu)，在載荷和慣性力的作用下引起末端執(zhí)行器位置發(fā)生偏離，因此僅將大臂、小臂和大臂平行的拉桿利用ANSYS軟件作柔性化處理，可得含柔性桿件的機(jī)械臂三維模型，如圖6所示。而將關(guān)節(jié)等效為線性扭簧的形式，并在關(guān)節(jié)處施加關(guān)節(jié)力矩函數(shù)以實(shí)現(xiàn)柔性化[17-18]。以基座與腰部之間的關(guān)節(jié)為例，在基座旋轉(zhuǎn)軸輸入端添加轉(zhuǎn)動(dòng)副和驅(qū)動(dòng)函數(shù)，腰部輸出端添加轉(zhuǎn)動(dòng)副和關(guān)節(jié)力矩以帶動(dòng)腰部旋轉(zhuǎn)，柔性關(guān)節(jié)1模型如圖7所示。

2.2 運(yùn)動(dòng)誤差仿真

為與理論模型相對(duì)應(yīng)，末端載荷和各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律均設(shè)置為理論建模時(shí)所給定的數(shù)值，在ADAMS中設(shè)置仿真時(shí)間為2 s，仿真時(shí)間間隔為0.004 s，仿真后再與設(shè)置相同參數(shù)的剛體模型對(duì)比。

圖8、9分別為對(duì)剛?cè)狁詈蠙C(jī)械臂模型進(jìn)行ADAMS仿真時(shí)機(jī)械臂末端3個(gè)方向的距離誤差變化曲線及末端綜合距離誤差變化曲線，對(duì)比圖4和圖8可知，由于受到桿件柔性、關(guān)節(jié)柔性及負(fù)載等因素的綜合影響，在一段時(shí)間內(nèi)會(huì)使機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)過程中做非線性顫動(dòng)；但從3個(gè)方向上分別對(duì)比數(shù)值仿真與ADAMS仿真結(jié)果可得，兩種仿真所得到的3個(gè)方向上的誤差變化趨勢(shì)及范圍基本相同。同時(shí)對(duì)比圖5和圖9，可得圖10的結(jié)果。

由圖10可得，因ADAMS仿真中所取模態(tài)階數(shù)為20階，高于數(shù)值仿真時(shí)的模態(tài)階數(shù)，而模態(tài)階數(shù)越高模型也更接近真實(shí)情況，ADAMS軟件建立的剛?cè)狁詈夏Ｐ推漶詈隙纫哺鼜?qiáng)，在同樣的時(shí)間周期內(nèi)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律下，末端顫振的頻率也會(huì)較數(shù)值仿真時(shí)更高，因此兩種仿真結(jié)果會(huì)有所差別，在誤差允許范圍內(nèi)，數(shù)值仿真與ADAMS仿真的結(jié)果可以相互驗(yàn)證所建機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型及機(jī)械臂剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)模型的準(zhǔn)確性。

3 末端位置誤差補(bǔ)償

由于機(jī)械臂中唯一可控的參數(shù)為其關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，因此使用算法找到合適的關(guān)節(jié)角，并對(duì)關(guān)節(jié)角進(jìn)行微調(diào)，以達(dá)到誤差補(bǔ)償?shù)哪康模溲a(bǔ)償原理如圖11所示[19]。

基于所得誤差變化曲線具有強(qiáng)非線性特征，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)于無規(guī)律、非線性數(shù)據(jù)具有很好的擬合作用，它無需求出具體誤差模型方程，只需對(duì)誤差樣本進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，便可得到所需要的誤差模型[20-21]，因此利用BP算法訓(xùn)練、預(yù)測(cè)誤差，其中輸入為6關(guān)節(jié)角，輸出為x、y、z3個(gè)方向誤差。在ADAMS仿真界面中保持不變的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律，設(shè)置仿真時(shí)間為6 s，仿真時(shí)間間隔為0.02 s，可以得到301組誤差數(shù)據(jù)，將其作為樣本利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法進(jìn)行訓(xùn)練，可得到網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練輸出誤差與仿真所得誤差的對(duì)比擬合曲線，如圖12所示。

由圖12可得，利用BP算法對(duì)于非線性、無規(guī)律數(shù)據(jù)具有很好的擬合效果，其擬合率達(dá)99.226%，網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練輸出的誤差與仿真所得誤差雖有較為微小的差距，但不會(huì)對(duì)后續(xù)的補(bǔ)償研究產(chǎn)生影響，并將已訓(xùn)練好的網(wǎng)絡(luò)保存。

以上運(yùn)用BP算法訓(xùn)練誤差來近似擬合仿真誤差的過程，主要是研究機(jī)械臂正常工作時(shí)末端的軌跡平穩(wěn)現(xiàn)象，針對(duì)機(jī)械臂啟動(dòng)時(shí)的情形，由于末端的抖動(dòng)造成機(jī)械臂在啟動(dòng)時(shí)發(fā)生振動(dòng)現(xiàn)象而導(dǎo)致末端產(chǎn)生不規(guī)則的運(yùn)動(dòng)軌跡，表現(xiàn)為機(jī)械臂啟動(dòng)時(shí)各關(guān)節(jié)振動(dòng)，造成各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡呈非線性特征，以下將對(duì)各關(guān)節(jié)不規(guī)則運(yùn)動(dòng)軌跡展開分析，計(jì)算BP訓(xùn)練實(shí)際誤差擬合率，同時(shí)判定算法訓(xùn)練的有效性。

為驗(yàn)證BP算法對(duì)于誤差訓(xùn)練的有效性，將機(jī)械臂剛?cè)狁詈夏Ｐ退矔r(shí)啟動(dòng)所得到的末端軌跡進(jìn)行離散，設(shè)置仿真時(shí)間為瞬時(shí)啟動(dòng)時(shí)間1 s，仿真時(shí)間間隔為0.02 s，可以得到51組誤差，運(yùn)用式(18)計(jì)算得到各離散點(diǎn)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，并進(jìn)行測(cè)量實(shí)驗(yàn)，綜合比較BP算法訓(xùn)練誤差與實(shí)際測(cè)量誤差及仿真誤差的一致性。

由圖13可看出，在機(jī)械臂啟動(dòng)瞬時(shí)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)軌跡，BP算法的擬合效果雖不明顯，但是基本變化趨勢(shì)相同，說明BP算法對(duì)于強(qiáng)非線性，不規(guī)則運(yùn)動(dòng)軌跡同樣具有較好的擬合效果，在0.5 s之前誤差擬合率達(dá)83.573%，0.5 s后誤差擬合率達(dá)98.926%，BP算法訓(xùn)練輸出的誤差與仿真所得誤差基本接近，與實(shí)驗(yàn)測(cè)量誤差的差距也很小，說明機(jī)械臂啟動(dòng)瞬時(shí)的影響不可忽略，本文重點(diǎn)討論機(jī)械臂平穩(wěn)運(yùn)行時(shí)的柔性因素的影響。

為簡化研究，將第2節(jié)中利用ADAMS仿真得到的誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行離散化，將其均勻離散成51個(gè)誤差點(diǎn)。為實(shí)現(xiàn)快速補(bǔ)償，提出基于正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的偽目標(biāo)點(diǎn)法，其流程如圖14所示。

主要步驟如下：

(19)

式中 IK()——逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算函數(shù)

(20)

式中f()——正運(yùn)動(dòng)學(xué)中關(guān)于位置點(diǎn)的計(jì)算函數(shù)

(3)判斷實(shí)際位置點(diǎn)與理論位置點(diǎn)間的偏差E

(21)

式中E——距離誤差

(22)

(5)通過運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解求解偽逆解為

(23)

(6)基于第k次計(jì)算結(jié)果計(jì)算對(duì)應(yīng)的末端位置點(diǎn)為

(24)

(25)

其中

(26)

式中px、py、pz——關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角微調(diào)后求解得到的3個(gè)方向空間的位置坐標(biāo)值

Δx、Δy、Δz——神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練后預(yù)測(cè)輸出的3個(gè)方向誤差

x0、y0、z0——期望關(guān)節(jié)角對(duì)應(yīng)的末端期望位置點(diǎn)坐標(biāo)值

將離散點(diǎn)結(jié)合訓(xùn)練的BP算法與上述計(jì)算步驟，再利用Matlab編程，根據(jù)IRB1410型機(jī)械臂設(shè)計(jì)資料設(shè)置偏差E=0.24 mm[22-23]，對(duì)所有的離散點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，最終可以得到補(bǔ)償前、后距離誤差對(duì)比如圖15所示。

由圖15可知，從整體的距離誤差看，利用偽目標(biāo)點(diǎn)法補(bǔ)償后，機(jī)械臂末端的位置誤差均減小，能達(dá)到不錯(cuò)的補(bǔ)償效果，其位置誤差均方根減小了68.30%；在耗時(shí)方面，該方法補(bǔ)償每個(gè)點(diǎn)的平均耗時(shí)為0.393 s，能實(shí)現(xiàn)快速實(shí)時(shí)補(bǔ)償。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 末端位置點(diǎn)測(cè)量實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)以IRB1410型機(jī)械臂為研究對(duì)象進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量儀器為經(jīng)緯儀，在測(cè)量前需對(duì)經(jīng)緯儀進(jìn)行安裝調(diào)試，保證其視野清晰，顯示正常，圖16為調(diào)試好的經(jīng)緯儀；利用貼于法蘭盤處的含三角形的坐標(biāo)紙測(cè)量機(jī)械臂末端位置點(diǎn)，如圖17所示。

三角形位于機(jī)械臂末端，其相對(duì)于安裝好的經(jīng)緯儀坐標(biāo)系原點(diǎn)形成一種“透視”效果，利用經(jīng)緯儀測(cè)量三角形的3個(gè)頂點(diǎn)的水平角θ和豎直角α，可構(gòu)建空間點(diǎn)坐標(biāo)求解模型[24-25]，圖18為求解模型圖，三角形三頂點(diǎn)的坐標(biāo)可分別表示為

(27)

(28)

(29)

其中3個(gè)垂直距離hAi、hOi、hBi由下式計(jì)算而得

(30)

三角形邊長lOA=30 mm，mOB=40 mm，nAB=50 mm。將仿真中轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行離散化，將其離散成35組關(guān)節(jié)角，依次輸入到機(jī)械臂示教器中，分別測(cè)量每組關(guān)節(jié)角對(duì)應(yīng)的機(jī)械臂末端懸掛重物(與仿真時(shí)保持一致，為11 kg)和未懸掛重物兩種位置點(diǎn)的水平角和豎直角，部分?jǐn)?shù)值如表1所示(僅列出前5次測(cè)得數(shù)據(jù))。

表1 掛重物前后經(jīng)緯儀測(cè)量值Tab.1 Longitudinal measurements before and after hanging heavy object

根據(jù)所建立的求解模型，利用Matlab軟件編程可以計(jì)算得到機(jī)械臂未掛重物和掛有重物兩種情況下末端三角形三頂點(diǎn)的坐標(biāo)值，由此可得機(jī)械臂在關(guān)節(jié)和連桿柔性變形下末端點(diǎn)位的位置誤差。

為了驗(yàn)證ADAMS仿真誤差與實(shí)驗(yàn)測(cè)量誤差結(jié)果的一致性，將機(jī)械臂剛?cè)狁詈夏Ｐ头抡嫠玫降哪┒塑壽E離散為25個(gè)軌跡點(diǎn)，相應(yīng)的誤差也離散為25個(gè)。表2為運(yùn)用式(18)計(jì)算剛?cè)狁詈蠙C(jī)械臂模型在0.04、0.12、0.20、0.28、0.36 s所對(duì)應(yīng)的機(jī)械臂各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，以此類推計(jì)算25組關(guān)節(jié)角度(僅列出前5次輸入值)。表3為剛?cè)狁詈夏Ｐ头抡娴哪┒塑壽E離散后所得25組連續(xù)時(shí)間間隔的末端軌跡誤差(僅列出前5次輸出值)，表4為實(shí)驗(yàn)階段在連續(xù)時(shí)間間隔內(nèi)點(diǎn)O在3個(gè)方向上的距離誤差變化情況(僅列出前5次測(cè)得數(shù)據(jù))，同時(shí)選擇25組連續(xù)相同時(shí)間間隔的離散點(diǎn)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖19所示。

表2 各關(guān)節(jié)輸入轉(zhuǎn)角Tab.2 Input angle of joints (°)

表3 離散后末端軌跡誤差Tab.3 Discrete rear end trajectory error values

表4 點(diǎn)O 3個(gè)方向誤差Tab.4 O-point three-direction error values mm

圖19為數(shù)值仿真、ADAMS仿真以及實(shí)驗(yàn)測(cè)量的綜合誤差變化情況的對(duì)比曲線。由圖19可看出，由于機(jī)械臂受到除柔性關(guān)節(jié)、柔性桿件及測(cè)量等因素的影響造成的運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差外，同時(shí)還受到機(jī)械臂的裝配誤差、關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)電機(jī)影響、機(jī)械臂啟動(dòng)時(shí)的末端振動(dòng)等因素也會(huì)對(duì)機(jī)械臂的末端綜合運(yùn)動(dòng)誤差造成影響，造成實(shí)際綜合誤差大于數(shù)值仿真及ADAMS仿真時(shí)的運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合誤差，但由于三者綜合誤差變化趨勢(shì)基本相同，因此可利用該剛?cè)狁詈蠙C(jī)械臂模型來近似研究實(shí)際機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差補(bǔ)償問題。

4.2 末端位置誤差補(bǔ)償驗(yàn)證

為驗(yàn)證補(bǔ)償算法的有效性和可操作性，利用所得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差補(bǔ)償驗(yàn)證，因點(diǎn)O、A、B的誤差相差不大，故選取點(diǎn)O作為補(bǔ)償對(duì)象，圖20為誤差補(bǔ)償流程圖?？紤]實(shí)驗(yàn)中人為和環(huán)境等因素的影響并根據(jù)IRB1410型機(jī)械臂的絕對(duì)軌跡精度，可將偽目標(biāo)點(diǎn)法中閾值E設(shè)置為0.6 mm，補(bǔ)償前后效果對(duì)比如圖21所示。

由圖21可看出，補(bǔ)償前距離誤差最大值和平均值分別為2.654、1.530 mm，補(bǔ)償后距離誤差最大值和平均值分別為0.538、0.299 mm，誤差均方根減小了77.01%，可以驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的偽目標(biāo)點(diǎn)法對(duì)誤差的補(bǔ)償具有有效性，由于機(jī)械臂還受到除柔性和測(cè)量之外其他因素的影響，故機(jī)械臂的誤差并未完全消除。

5 結(jié)論

(1)考慮機(jī)械臂連桿和關(guān)節(jié)柔性建立了剛?cè)狁詈侠碚撐恢谜`差模型，并進(jìn)行數(shù)值仿真分析。

(2)基于理論誤差模型建立了機(jī)械臂剛?cè)狁詈咸摂M樣機(jī)模型，并進(jìn)行運(yùn)動(dòng)誤差仿真分析，與理論計(jì)算所得位置誤差進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了所建模型的準(zhǔn)確性。

(3)在仿真所得誤差的基礎(chǔ)上，提出基于BP算法的偽目標(biāo)點(diǎn)法對(duì)位置誤差進(jìn)行快速補(bǔ)償，獲得了較好的誤差補(bǔ)償效果。

(4)通過搭建測(cè)量實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行了誤差測(cè)量實(shí)驗(yàn)，利用偽目標(biāo)點(diǎn)法進(jìn)行誤差補(bǔ)償，結(jié)果表明，距離誤差最大值和平均值均減小，從而驗(yàn)證了所提算法對(duì)誤差補(bǔ)償?shù)挠行浴?/p>