張青云 趙新華,2 劉 涼 戴騰達

(1.天津理工大學計算機科學與工程學院， 天津 300384；2.天津理工大學天津市先進機電系統(tǒng)設(shè)計與智能控制重點實驗室， 天津 300384；3.天津理工大學機電工程國家級實驗教學示范中心， 天津 300384)

0 引言

柔性機器人具有輕質(zhì)、高精度、快速響應(yīng)等特點，廣泛應(yīng)用于航天、設(shè)備制造、工業(yè)設(shè)計等領(lǐng)域[1-4]。相對柔性串聯(lián)機器人而言，柔性閉鏈機器人能增加有效載荷、減少累積誤差、提高工作效率[5-8]。因此，柔性閉鏈機器人動力學分析及控制策略研究已成為熱點問題。剛?cè)狁詈蠙C器人具有強耦合、高度非線性特性，大部分學者先采用奇異攝動法將剛?cè)狁詈蠙C器人進行降階，分解為快變和慢變子系統(tǒng)后再進行控制策略研究[9-11]。文獻[12]針對慢變子系統(tǒng)采用自適應(yīng)魯棒終端滑?？刂?，而對快變系統(tǒng)則通過自適應(yīng)狀態(tài)觀測器的最優(yōu)控制來抑制振動。文獻[13]根據(jù)Schur分解法，提出基于時間尺度設(shè)計的狀態(tài)變量特征值控制器。文獻[14]通過加速度反饋控制算法有效抑制了平面3-RRR柔性并聯(lián)機器人的自激振動。文獻[15]通過設(shè)計一種新的自適應(yīng)滑?？刂破鱽硌芯恳活悤r滯空間機械臂的控制問題。文獻[16]根據(jù)非奇異快速終端滑模面和多冪次趨近律，提出了一種帶擾動補償?shù)目刂坡?。對于多變量、高緯度的剛?cè)狁詈蠙C器人，奇異攝動法雖然能對模型進行降階，但同時也增加了子系統(tǒng)的復(fù)雜程度，使控制方案的實時性降低、軌跡跟蹤精度不能得到有效提高。因此，文獻[17]基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計了逼近控制算法，對并聯(lián)機器人運動軌跡進行跟蹤。文獻[18]基于反饋線性化控制策略對機械臂的末端軌跡進行跟蹤。

目前，對含柔性關(guān)節(jié)或柔性連桿的控制分析主要以空間機械臂、串聯(lián)機器人及平面并聯(lián)機器人為研究對象[19-24]，鮮有對高維度、多變量的空間剛?cè)狁詈喜⒙?lián)機器人的軌跡跟蹤和振動抑制問題進行研究。本文以含空間柔性構(gòu)件的剛?cè)狁詈祥]鏈機器人為研究對象，采用有限元法對空間柔性構(gòu)件進行離散，基于浮動坐標系描述柔性構(gòu)件的位移場矢量，最后通過Lagrange方程建立考慮末端執(zhí)行器微小位移的動力學方程。利用基于前饋補償?shù)腜D控制算法對末端執(zhí)行器軌跡進行跟蹤，以消除柔性構(gòu)件變形產(chǎn)生的振動。

1 剛?cè)狁詈峡臻g閉鏈機器人動力學模型

1.1 系統(tǒng)分析模型

考慮系統(tǒng)中含有空間柔性構(gòu)件的閉鏈機器人作研究對象，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

由圖1可知，從動桿的轉(zhuǎn)動軸線垂直于驅(qū)動桿和中間連桿的轉(zhuǎn)動軸線，在全局坐標系下需看作空間構(gòu)件。且其長徑比(即連桿長度與直徑的比值)大于20，當系統(tǒng)高速運行時，其產(chǎn)生的彈性變形不可忽略。因此，本文將從動桿作為空間柔性構(gòu)件來建立其動力學模型和分析其軌跡跟蹤性能會更符合實際工況。

剛?cè)狁詈峡臻g閉鏈機器人中的3條運動支鏈呈三角對稱分布，因此，通過建立任意一條運動支鏈的分析模型即可獲得其他運動支鏈的動力學特性，其分析模型如圖2所示。

根據(jù)圖2可得，全局坐標系OXYZ和局部坐標系Pxyz分別設(shè)在靜平臺和剛性末端執(zhí)行器的幾何中心，各構(gòu)件坐標系分別設(shè)在上關(guān)節(jié)處，并且在柔性空間變形的影響下，剛性末端執(zhí)行器將產(chǎn)生微小位移，其變化后的坐標系為P′x′y′z′。為了簡化空間柔性連桿在全局坐標系下的絕對運動描述，將浮動坐標系原點設(shè)在構(gòu)件端點Ci(i=1、2、3)處，則空間柔性構(gòu)件相當于一個懸臂梁，從而消除了相對運動中剛體的運動模式。端點Ai、Bi、Ci為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)(R副)連接處，Pi為虎克鉸(U副)連接處，li和mi分別為構(gòu)件長度和質(zhì)量，θi1、θi2、θi3為構(gòu)件與轉(zhuǎn)軸之間的剛性轉(zhuǎn)角，其中i=1，2，3。剛性末端執(zhí)行器端點Pi在微小位移作用下將變到P′i的位置，其將坐標系P′x′y′z′變換到Pxyz的變換關(guān)系可表示為

(1)

式中ε——末端執(zhí)行器微小轉(zhuǎn)角

ΔxP、ΔyP、ΔzP——末端執(zhí)行器微小位移

而由局部坐標系Pxyz變換到全局坐標系OXYZ的變換矩陣為

(2)

式中φi——驅(qū)動構(gòu)件坐標系與全局坐標系之間的夾角

1.2 運動學方程

空間柔性構(gòu)件上任意點w在全局坐標系下的位移場矢量可通過浮動坐標系表示為

(3)

其中

式中r0——浮動坐標系原點在全局坐標系下的位移矢量

rw——空間柔性構(gòu)件上任意點w在全局坐標系下的位移場矢量

T——浮動坐標系到全局坐標系的變換矩陣

u0、uf——空間柔性構(gòu)件在浮動坐標系下的未變形矢量和變形矢量

qf——單元節(jié)點位移矢量

N——單元形函數(shù)

NA、NB、NC——插值向量

同時，空間柔性連桿在全局坐標系下的絕對角速度為

(4)

剛?cè)狁詈峡臻g閉鏈機器人的運動支鏈幾何約束關(guān)系為

lAiBi+lBiCi+lCiPi=lAiO+lOPi

(5)

其中

式中P——剛性末端執(zhí)行器在全局坐標系下的理想軌跡

r、R——末端執(zhí)行器和靜平臺半徑

l1、l2——驅(qū)動桿和中間連桿長度

對式(6)用高斯消元法進行求解即可得系統(tǒng)理想軌跡與驅(qū)動構(gòu)件之間的函數(shù)關(guān)系。

1.3 動力學方程

由動能公式可得系統(tǒng)各構(gòu)件動能為

(6)

式中vi1、vi2——驅(qū)動桿和中間連桿的速度矢量

ωi2——中間連桿角速度矢量

J2——中間連桿轉(zhuǎn)動慣量

ρ——空間柔性構(gòu)件密度

l3——空間柔性構(gòu)件桿長

V——空間柔性構(gòu)件體積

Jc——空間柔性構(gòu)件轉(zhuǎn)動慣量

同理，系統(tǒng)中各構(gòu)件勢能為

(7)

式中A——柔性構(gòu)件橫截面面積

E——柔性單元彈性模量

G——剪切模量

Iyy、Izz——空間柔性構(gòu)件橫截面對y軸和z軸的慣性矩

Ip——柔性構(gòu)件橫截面對x軸的極慣性矩

ψx——繞x軸的彈性轉(zhuǎn)角函數(shù)

考慮剛性末端執(zhí)行器在空間柔性連桿彈性變形下引起的微小位移，則其動能和勢能表達式為

(8)

其中

P′=P+JPΔP

式中mP——末端執(zhí)行器質(zhì)量

J——轉(zhuǎn)動慣量

ωP——絕對角速度

zP′——全局坐標系Z軸方向位移

JP——系統(tǒng)的協(xié)調(diào)矩陣[25]

ΔP——微小位移

將式(8)中的動能和勢能進行裝配即可得系統(tǒng)總動能T和總勢能V，再將其代入Lagrange方程可得

(9)

其中

式中qj——系統(tǒng)廣義坐標

τj——系統(tǒng)廣義力

j——廣義坐標數(shù)

將式(9)簡化可得系統(tǒng)動力學方程為

(10)

式中M——系統(tǒng)慣性質(zhì)量矩陣，M∈R45×45

K——剛度矩陣，K∈R45×45

C——包含科氏力、離心力的矩陣，C∈R45×45

τ——控制系統(tǒng)及驅(qū)動力矩組成的列向量，τ∈R45×1

2 基于前饋補償?shù)闹鲃诱駝涌刂品椒?/h2>

剛?cè)狁詈峡臻g閉鏈機器人是一個多變量、強耦合、時變的高維度非線性系統(tǒng)，為了避免通過系統(tǒng)分解進行模型降階導(dǎo)致的控制器疊加、控制參數(shù)復(fù)雜等不足，直接基于考慮空間柔性構(gòu)件變形及剛性末端執(zhí)行器產(chǎn)生微小位移的精確動力學模型，將預(yù)先求出的控制力矩對系統(tǒng)進行前饋補償，提高系統(tǒng)響應(yīng)速度和跟蹤性能。再與反饋PD控制器相結(jié)合，消除關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角偏差、抑制空間柔性構(gòu)件振動，從而改善系統(tǒng)性能，其軌跡跟蹤控制框圖如圖3所示。

2.1 控制律設(shè)計

剛?cè)狁詈峡臻g閉鏈機器人的軌跡誤差為

(11)

通過建立的約束關(guān)系式(5)即可獲得系統(tǒng)驅(qū)動關(guān)節(jié)角位移、角速度及角加速度。

反饋PD控制器為

(12)

式中，kp∈R3×1、kd∈R3×1。

2.2 前饋控制

(13)

將式(12)和式(13)進行組合即可得到系統(tǒng)基于前饋補償?shù)目刂扑惴?/p>

τ=τf+τd

(14)

3 數(shù)值分析

基于圖1的剛?cè)狁詈峡臻g閉鏈機器人進行數(shù)值分析，其結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 System parameters

由于控制模型是基于動力學模型建立的，為了驗證控制模型的有效性，需先保證推導(dǎo)動力學模型的正確性。首先，采用Matlab對上述推導(dǎo)的動力學方程進行編程求解，再與ADAMS和Simulink聯(lián)合仿真的動力學模型的解進行對比，聯(lián)合仿真框圖如圖4所示。

設(shè)末端執(zhí)行器理想軌跡為

(15)

式中，末端執(zhí)行器角速度ω=2 rad/s，t=5 s，時間間隔為0.005 s，則理論模型和仿真模型對比結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知，仿真模型驅(qū)動力矩大于理論模型，是由于仿真模型存在建模誤差、曲線擬合誤差及關(guān)節(jié)間隙等，但理論模型和仿真模型各支鏈驅(qū)動力矩運動趨勢一致，驗證了推導(dǎo)的動力學模型的正確性。由于理論模型在求解過程中沒有對多解進行篩選，導(dǎo)致力矩圖中存在突變現(xiàn)象，也將為控制算法的修改提供指導(dǎo)。因此，基于推導(dǎo)的動力學模型進行控制器設(shè)計將簡化設(shè)計過程，且結(jié)果更精確。

為了驗證控制器的有效性，通過對比末端在不同載荷作用下的軌跡跟蹤精度、空間柔性構(gòu)件的振動抑制情況及相對位置PID控制算法的控制效果來進行說明。

通過參數(shù)整定得到系統(tǒng)控制參數(shù)為

(16)

將式(16)、(14)代入式(10)，即可得到控制算法作用下的剛?cè)狁詈峡臻g閉鏈機器人剛性末端執(zhí)行器的實際軌跡。圖6分別為末端載荷為自由狀態(tài)、1倍臂桿質(zhì)量及5倍臂桿質(zhì)量的剛?cè)狁詈峡臻g閉鏈機器人末端執(zhí)行器在X方向、Y方向及Z方向的軌跡跟蹤曲線。

由圖6可知，系統(tǒng)先到達無控實際軌跡，即系統(tǒng)基于建立的剛?cè)狁詈蟿恿W方程(11)直接計算出含柔性變形的實際振動軌跡，然后在控制算法作用下振動逐漸減小，最后趨于一個穩(wěn)定值。對于不同末端載荷作用下的跟蹤軌跡，只要對控制參數(shù)進行合理調(diào)整即可讓末端軌跡在短時間達到平衡，保證了大范圍剛性運動精確性。

由于柔性構(gòu)件產(chǎn)生的彈性振動對系統(tǒng)末端軌跡精度具有重要影響，因此，所提控制器是否有效還需對柔性臂桿在控制器作用下的彈性振動進行分析。圖7為有無控制器作用下柔性構(gòu)件軌跡對比曲線。

圖7a、7b為空間柔性連桿在X和Y方向的軌跡跟蹤曲線。其中，系統(tǒng)無控制器作用的軌跡振動均大于有控制器作用的軌跡曲線，驗證了控制器能有效抑制系統(tǒng)柔性變形產(chǎn)生的振動。由于系統(tǒng)剛性末端執(zhí)行器的理想軌跡為Z平面的圓形軌跡，其無控作用下的軌跡也趨于一條直線，但當空間柔性構(gòu)件質(zhì)心與靜平臺質(zhì)心之間的相對距離最大時，構(gòu)件將產(chǎn)生較大波動，而在控制器作用下其能快速到達平衡位置，消弱了柔性振動。

為更加直觀地分析所提控制器的有效性，將本文控制方法與位置PID 控制方法進行對比，其結(jié)果如圖8所示。

由圖8可知，本文控制方法作用下的軌跡精度高于位置PID控制方法，是因為本文控制方法是基于精確動力學模型而進行設(shè)計，并且考慮了系統(tǒng)在運動過程中的動態(tài)特性，所以既保證了軌跡精度，又抑制了彈性振動。

為了更直觀觀察不同控制器的控制效果，對比了不同控制方法下的跟蹤軌跡最大誤差，其結(jié)果如表2所示。

表2 誤差分析Tab.2 Analysis of errors mm

由表2可知，末端執(zhí)行器跟蹤軌跡在本文控制器作用下X方向上位置誤差相對位置PID方法降低了89.7%，在Y方向位置誤差降低了4.3%，而在Z方向位置誤差降低了12.9%，保證了末端執(zhí)行器軌跡跟蹤精度。

因此，基于前饋補償?shù)姆答丳D控制算法既能更好地跟蹤軌跡又能抑制柔性變形產(chǎn)生的振動。

4 結(jié)論

(1)基于浮動坐標系對經(jīng)有限元法離散后的空間柔性構(gòu)件位移場矢量進行描述，再通過矢量閉環(huán)法建立運動支鏈約束關(guān)系，由此得到剛?cè)狁詈峡臻g閉鏈機器人各關(guān)節(jié)與末端執(zhí)行器的函數(shù)關(guān)系，為前饋補償提供含有耦合項的理想關(guān)節(jié)角位移、角速度及角加速度曲線。

(2)根據(jù)末端執(zhí)行器在空間柔性構(gòu)件變形下引起的微小位移，建立了考慮剛性末端執(zhí)行器微小位移的動力學模型，提高建模精確性，減少控制器干擾因素。

(3)通過前饋補償對軌跡進行跟蹤與反饋PD控制律改善模型跟蹤性能的復(fù)合控制方式對剛?cè)狁詈峡臻g閉鏈機器人進行控制，并通過仿真驗證了控制算法的有效性。

(4)由數(shù)值分析可知，選擇合適的控制參數(shù)即可對系統(tǒng)進行軌跡跟蹤?？臻g柔性構(gòu)件的彈性變形對系統(tǒng)的動態(tài)特性及軌跡精度具有重要影響，可通過主動抑制振動來保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和準確性。