知識剖析思路構(gòu)建，問題解析定理梳理

林金杯

[摘? 要] 二次函數(shù)與平行四邊形存在性問題在中考數(shù)學(xué)中極為常見，問題解析需要基于判定定理探索成立條件，并進(jìn)行幾何與函數(shù)條件的互化. 其中平行四邊形的判定定理是重點，開展知識剖析、思路構(gòu)建，有助于學(xué)生掌握該類問題的解法. 文章將以一道二次函數(shù)與平行四邊形存在性問題為例進(jìn)行解法探究、定理總結(jié)與解讀.

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù);平行四邊形;判定定理;斜率;構(gòu)圖

在初中幾何中，由幾何三元素到幾何圖形，知識難度逐步加深，其中“點、線、角”是基礎(chǔ)，“三角形”是正餐，“圓”是插曲，而“特殊的四邊形”才是壓軸. 顯然，特殊的四邊形在幾何中占據(jù)著極為重要的位置，尤其在考題中，二次函數(shù)與特殊四邊形的結(jié)合十分緊密. 下面筆者將深入探究二次函數(shù)與平行四邊形存在性問題.

知識剖析，思路構(gòu)建

1. 知識剖析

二次函數(shù)與平行四邊形存在性問題屬于函數(shù)與幾何綜合問題. 從幾何視角來看，問題涉及平行四邊形的性質(zhì)、判定，因此常圍繞以下四大性質(zhì)來展開. 問題解析時也應(yīng)靈活運用對應(yīng)的定理.

①平行與角的關(guān)系，需靈活應(yīng)用平行的性質(zhì)和判定定理;

②平行與對邊的關(guān)系，主要體現(xiàn)在對邊相等上，可利用該關(guān)系進(jìn)行互推;

③對角線相互平分的關(guān)系，為平行四邊形的主要性質(zhì)之一，可從三角形全等視角進(jìn)行探索;

④平行四邊形的面積公式，該公式主要用于計算平行四邊形的面積，但基于公式可進(jìn)行等線段轉(zhuǎn)化.

2. 思路構(gòu)建

從函數(shù)視角來看，需要掌握以下兩種切入思路：

①基于“平行線的斜率k相等”來推導(dǎo)直線表達(dá)式，求解關(guān)鍵點的坐標(biāo);

②利用中點坐標(biāo)公式求解點的位置，主要用于平行四邊形對角線的交點確認(rèn).

問題實例，過程解析

問題：如圖1所示，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸相交于點A和B，且點A的坐標(biāo)為（-3，0），經(jīng)過點B的直線與拋物線相交于點D（-2，-3），試回答下列問題.

（1）求拋物線的解析式以及直線BD的解析式;

（2）過x軸上的點E（a，0）（點E在點B的右側(cè)）作直線EF∥BD，與拋物線交于點F，試分析是否存在實數(shù)a，使得四邊形BDFE為平行四邊形？若存在，請求出滿足條件的a;若不存在，請說明理由.

解析：（1）求直線與拋物線的解析式可采用待定系數(shù)法，求出對應(yīng)點的坐標(biāo)，代入解析式求參數(shù)即可.

點A和D在拋物線上，分別代入拋物線的解析式，可得9-3b+c=0

4-2b+c=-3 ，解得b=2，

c=-3，則拋物線的解析式為y=x2+2x-3. 點B是直線BD與拋物線的交點，且點B位于x軸上，結(jié)合拋物線的解析式可得點B（1，0）. 設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，結(jié)合點B和D的坐標(biāo)可求得k=1，b= -1，所以直線BD的解析式為y=x-1.

（2）該問探究四邊形BDFE為平行四邊形時點E的橫坐標(biāo)值. 如圖2，已知EF∥BD，由平行四邊形的判定定理“兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形”可知，只需確保DF∥BE，由于點B和E均位于x軸上，則只需滿足DF∥x軸即可.

已知直線BD的解析式為y=x-1，則直線EF的解析式為y=x-a. 由于DF∥x軸，則點D和F的縱坐標(biāo)值相等，即點F的縱坐標(biāo)值為-3. 點F為直線EF與拋物線的交點，聯(lián)立兩個解析式，整理可得y2+（2a+1）y+a2+2a-3=0，解得y=. 令=-3，可解得a1=1，a2=3.

當(dāng)a=1時，點E（1，0）與點B重合，不符合題意，舍去;

當(dāng)a=3時，點E（3，0），符合題意;

所以存在實數(shù)a=3，使得四邊形BDFE為平行四邊形.

評析：上述第（2）問為平行四邊形存在性問題，其特點是設(shè)定了一組對邊平行，只要證明另一組對邊也平行即可. 解析時充分把握邊與x軸相重合的特點，直接將平行條件轉(zhuǎn)化為頂點縱坐標(biāo)相等，極大地減少了運算量. 對于上述問題情形，若出現(xiàn)邊與坐標(biāo)軸相重合或平行的情形，則可以借助“兩直線平行與直線斜率的關(guān)系”推導(dǎo)邊所在直線的解析式，聯(lián)立解析式求出頂點坐標(biāo).

定理梳理，拓展探究

1. 定理梳理

上述探究了一道二次函數(shù)與平行四邊形存在性問題的解析過程. 實際上，該題是基于平行四邊形的判定定理來構(gòu)建思路的. 教材中有多個關(guān)于平行四邊形的判定定理，理解定理十分容易，難點在于如何在函數(shù)背景問題中靈活運用定理. 下面具體闡述常用判定定理的應(yīng)用思路.

定理1：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

該定理的核心是“對邊平行”. 實際上平行線的斜率是相等的，故可從斜率視角切入，并分兩種情形進(jìn)行解析：①當(dāng)邊與坐標(biāo)軸平行時，可直接將平行條件轉(zhuǎn)化為頂點坐標(biāo)值相等，如上述問題;②當(dāng)邊與坐標(biāo)軸不平行時，邊所在直線具有一般性，可將平行條件轉(zhuǎn)化為斜率相等.

定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

該定理的核心是“對邊相等”. 在函數(shù)背景下進(jìn)行解析需要充分利用點坐標(biāo)及幾何性質(zhì)，利用點坐標(biāo)推導(dǎo)幾何性質(zhì)，利用幾何性質(zhì)證明邊長相等，逆推點位置，聯(lián)立方程求出交點坐標(biāo).

定理3：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

該定理時常被用于解決函數(shù)與四邊形問題，解析時只需把握其中一組對邊關(guān)系即可，建議從點坐標(biāo)入手，利用點坐標(biāo)證明線段等長，構(gòu)建斜率相等與點坐標(biāo)關(guān)聯(lián). 其中，兩點間距離公式和斜率公式是解析的關(guān)鍵.

定理4：兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

該定理的核心是“對角線互相平分”. 在函數(shù)背景下需要關(guān)注四邊形對角線的交點，顯然平行四邊形對角線的交點也是對角線的中點，故實際解析時可充分利用中點坐標(biāo)公式. 在已知對角線的兩個端點及交點中的任意兩點坐標(biāo)時，可直接利用該公式來推導(dǎo)另一個點的坐標(biāo).

2. 拓展探究

菱形是一種特殊的四邊形，相較于普通四邊形，菱形的四邊均相等，對角線互相垂直且平分. 二次函數(shù)中的菱形存在性問題十分常見，具體解析時可把握菱形與平行四邊形的特殊點，采用“先論證平行四邊形，再論證菱形”的策略. 把握上述特性，構(gòu)建如下思路.

①“論證平行四邊形→一組鄰邊相等→菱形”，證明四邊形為平行四邊形后，再證明一組鄰邊相等，最后結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可證四邊相等.

②“論證平行四邊形→對角線互相垂直→菱形”，對于其中的垂直關(guān)系可充分利用“兩直線互相垂直，則其斜率乘積為-1”來構(gòu)建，注意討論斜率不存在的情形.

例題：（2020年重慶市中考題）如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=x2+bx+c與直線AB相交于A，B兩點，其中A（-3，-4），B（0，-1）.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

（2）點P為直線AB下方拋物線上的任意一點，連接PA，PB，求△PAB面積的最大值;

（3）將該拋物線向右平移2個單位長度得到拋物線y=a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的拋物線與原拋物線相交于點C，點D為原拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點E，使以點B，C，D，E為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點E的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

解析：（1）拋物線的表達(dá)式為y=x2+4x-1;

（2）△PAB面積的最大值為;

（3）下面主要針對第（3）問進(jìn)行解法探究. 由題意可知，平移后的拋物線的解析式為y=x2-5，可求得點C（-1，-4）. 可設(shè)點D（-2，m），E（s，t）. 分如下兩種情形.

①當(dāng)BC為菱形的邊時，則菱形的邊長確定，只需確保邊長相等即可. 根據(jù)點坐標(biāo)可知，點C先向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到點B，結(jié)合該平移情形，點D和點E可得如下關(guān)系.

點D先向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到點E，此時點D在點E的下方，可推知-2+1=s且m+3=t①，并且BE=BC，即s2+（t+1）2=12+32②，聯(lián)立①②可得點E（-1，2）;

點E先向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到點D，此時點D在點E的上方，可推知-2-1=s且m-3=t③，并且BD=BC，即22+（m+1）2=12+32④，聯(lián)立③④可得點E（-3，-4+）或（-3，-4-）;

②當(dāng)BC為菱形的對角線時，對角線BC和DE的中點為同一個點，由中點坐標(biāo)公式可得：-1=s-2且-4-1=m+t⑥. 并且BD=BE，即22+（m+1）2=s2+（t+1）2⑦，聯(lián)立⑥⑦可得點E（1，-3）;

綜上可知，滿足條件的點E的坐標(biāo)有四個，分別為（-1，2），（-3，-4+），（-3，-4-），（1，-3）.

總之，平行四邊形的性質(zhì)雖較為簡單，但與二次函數(shù)相結(jié)合仍會給學(xué)生造成一定的困擾. 無論是構(gòu)圖過程還是條件轉(zhuǎn)化，均需要立足函數(shù)與幾何的性質(zhì)定理. 解題時學(xué)生應(yīng)基于平行四邊形的判定定理來探索成立條件，利用函數(shù)與幾何的知識關(guān)聯(lián)進(jìn)行條件轉(zhuǎn)化. 教學(xué)中教師應(yīng)注意定理歸納和策略總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生梳理解題步驟，拓展學(xué)生的解題思維.

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