李瑩

[摘 ?要] 基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)可以在解題教學(xué)活動(dòng)中落實(shí). 文章以一道題目為案例進(jìn)行分析，如何讓基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在解題教學(xué)活動(dòng)中落地生根，讓學(xué)生經(jīng)歷從沒有思路、無從下手到抽絲剝繭、水到渠成的過程，感悟并提煉出解題活動(dòng)中的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而提升應(yīng)用數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，落實(shí)“四基”.

[關(guān)鍵詞] 活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);基本;解題教學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》在課程目標(biāo)中明確地將數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)納入：“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). ”（簡(jiǎn)稱“四基”）[1]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀》指出：“學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)對(duì)學(xué)生探究數(shù)學(xué)活動(dòng)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法、形成數(shù)學(xué)觀念等均有著十分重要的定向和方法性作用，充足的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要基礎(chǔ).”可見數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要性.

張奠宙教授指出：“所謂數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是指在數(shù)學(xué)目標(biāo)的指引下，通過對(duì)具體事物進(jìn)行實(shí)際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時(shí)所形成的認(rèn)識(shí).”數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過程所獲得的具有個(gè)性特征的經(jīng)驗(yàn). 這里有兩個(gè)關(guān)鍵詞體現(xiàn)了其核心要義：一是“活動(dòng)”，二是“親身經(jīng)歷”[2]. 通常意義下，所謂經(jīng)驗(yàn)就是按照事實(shí)原樣而感知到的內(nèi)容. 哲學(xué)中的“經(jīng)驗(yàn)”通常有兩種解釋，即來源于感官知覺的觀念和來源于反思的（即我們由內(nèi)省而知道的）那些觀念[3]. 簡(jiǎn)言之，就是學(xué)生經(jīng)歷了基本活動(dòng)過程后，所留下的直接感受、體驗(yàn)和感悟.

所謂活動(dòng)，可以區(qū)分為思維的操作活動(dòng)和行為的操作活動(dòng). 在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)活動(dòng)豐富多樣，有數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、操作驗(yàn)證、練習(xí)活動(dòng)、交流探討等活動(dòng). 張奠宙教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)活動(dòng)還應(yīng)該包括模式直觀、解題經(jīng)歷、數(shù)學(xué)想象力，等等. 而在目前的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，處處充滿著解題活動(dòng). 所謂數(shù)學(xué)解題活動(dòng)主要是利用認(rèn)知結(jié)構(gòu)、知識(shí)結(jié)構(gòu)和思維結(jié)構(gòu)對(duì)抽象的形式化思想進(jìn)行材料加工的過程，是數(shù)學(xué)符號(hào)及數(shù)學(xué)命題在人的大腦里內(nèi)部操作的過程，也就是一種思維的操作活動(dòng).

那么，在解題教學(xué)的過程中，如何讓學(xué)生經(jīng)歷直觀感知、體驗(yàn)，從而積累解題的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)？文章從一個(gè)案例來探討一下.

試題呈現(xiàn)

試題：在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊是a，b，c. 若CD是AB邊上的中線，且CD=CA，則+的最小值為_____.

命題意圖：本題主要考查余弦定理、基本不等式等知識(shí)，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力;體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). 以下（見表1、表2）是參加考試的722名學(xué)生的答題得分統(tǒng)計(jì)分析表和答題過程的調(diào)查表.

此題內(nèi)涵豐富. 從統(tǒng)計(jì)的結(jié)果來看，雖然“區(qū)分度”不錯(cuò)，但是沒有達(dá)到出題人的預(yù)期目標(biāo). 基于這個(gè)結(jié)果，筆者對(duì)學(xué)生答題的心理路程做了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示：有31%的學(xué)生“沒有看題”，因?yàn)槭翘羁疹}的壓軸題，內(nèi)心恐懼;有32%的學(xué)生“看題沒有思路”，不知道如何應(yīng)用CD=CA;有32.8%的學(xué)生“看題有思路”，但只有17.2%的學(xué)生“答題正確”. 由此可見出現(xiàn)低分的原因：學(xué)生的內(nèi)心恐懼是其中之一，另外一個(gè)原因是學(xué)生缺乏解題的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 這就要求我們教師在解題教學(xué)活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生對(duì)題目條件的直觀感知，形成積累解題基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的好習(xí)慣. 那么本題該如何讓學(xué)生親歷解題的過程，獲得解題的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀?/p>

過程再現(xiàn)

1. 問題引領(lǐng)，翻譯條件，啟動(dòng)思維

對(duì)看題但沒有思路的學(xué)生來說，之所以沒有思路，是因?yàn)閷?duì)條件與所求問題之間的關(guān)系不明確，如何引導(dǎo)學(xué)生把條件與問題有機(jī)地銜接是重點(diǎn). 師生由此來一次共同探究之旅，不妨先提出如下自然樸素且實(shí)用、具有普遍性意義的問題：“未知量是什么？”“已知數(shù)據(jù)是什么？”“條件是什么？”“對(duì)于題目條件，你有何想法？”“你畫圖了嗎？你標(biāo)注了嗎？”“條件‘在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊是a，b，c’，你用到了嗎？”此時(shí)學(xué)生不免一笑：“這是有用的條件嗎？這是盡人皆知的，不說也知道，沒有什么用. ”“那你標(biāo)在圖上了嗎？”“心里知道，不用標(biāo). ”“那讓我們看看標(biāo)和不標(biāo)的區(qū)別，條件標(biāo)完了嗎？”“沒有，還有AC=CD需要標(biāo)上. ”“再看一下，你有什么想法了嗎？”學(xué)生的眼睛放光了，爭(zhēng)相舉手：“我知道了，可以建立一個(gè)方程. ”學(xué)生的思維由此開始啟動(dòng)，著眼點(diǎn)是等腰三角形的腰相等（b=b），于是解法1產(chǎn)生了：如圖3所示，在△ABC和△ADC中，由余弦定理可得cosA==，化簡(jiǎn)得c2=2a2-2b2，所以+=+·=+·. 將c2=2a2-2b2代入上式，可得+=+≥，當(dāng)且僅當(dāng)=，即a=b時(shí)取“=”.

點(diǎn)評(píng)：本解法在兩個(gè)三角形中應(yīng)用了兩次余弦定理找到a，b，c三邊的約束關(guān)系，然后代入目標(biāo). 本解法呈現(xiàn)的解題活動(dòng)過程中，學(xué)生學(xué)著問自己?jiǎn)栴}，這些問題是思維的引領(lǐng)，有了問題，思維就能慢慢啟動(dòng)，從而進(jìn)入解題的正確軌道，發(fā)展了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng). 學(xué)生由“不會(huì)”到“會(huì)”，體驗(yàn)到了“問題”的神奇，長(zhǎng)此以往的練習(xí)體驗(yàn)，能幫助學(xué)生獲得基本的解題經(jīng)驗(yàn). 同時(shí)，在計(jì)算的過程中，學(xué)生還能獲得運(yùn)算技巧和方法. “消掉誰，留誰？怎么算？”這些問題的解決都需要學(xué)生親身經(jīng)歷計(jì)算過程，獲得計(jì)算經(jīng)驗(yàn). 明確計(jì)算過程中的取舍，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算核心素養(yǎng).

著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞說過：“教師最重要的任務(wù)之一是幫助他的學(xué)生，最好是順乎自然的幫助，不露痕跡的幫助.”[4]在教師的幫助下學(xué)生能啟動(dòng)思維，從而盡可能多地獲得獨(dú)立解題的經(jīng)驗(yàn).

2. 挖掘條件，積極聯(lián)想，成功解答

“解法1使同學(xué)們看到了三角形的三條邊，在三角形中可以用到余弦定理. 那么同學(xué)們?cè)倏匆豢?、再思考一下，兩條邊相等你能得到什么？遇到等腰三角形，你會(huì)怎么處理？等腰三角形有什么性質(zhì)？”有一位學(xué)生說到了“三線合一”并行動(dòng)了起來……“知道三角形的兩個(gè)腰了，且出現(xiàn)了角的正弦值、余弦值，那么就需要直角三角形，要直角三角形就需要高線. 那么高線是怎么做出來的？你還能發(fā)現(xiàn)其他什么秘密嗎？”當(dāng)這些秘密都表達(dá)出來之后，學(xué)生都高興地叫了起來：“哇，真簡(jiǎn)單！”于是有了解法2：如圖4所示，在Rt△ACE中，AE=，AC=b，cosA=;在Rt△EBC中，BE=，BC=a，cosB=. 所以+=+·=+≥，當(dāng)且僅當(dāng)=，即a=b時(shí)取“=”.

點(diǎn)評(píng)：本解法的著眼點(diǎn)是等腰三角形的性質(zhì)——“三線合一”. 作輔助線，構(gòu)造直角三角形，簡(jiǎn)潔明了，省時(shí)高效. 在初中學(xué)習(xí)三角形時(shí)，學(xué)生擅長(zhǎng)作輔助線，而在高中學(xué)習(xí)三角形時(shí)，更多學(xué)生側(cè)重于用正弦定理和余弦定理進(jìn)行計(jì)算，因而忽略了作輔助線構(gòu)造直角三角形的經(jīng)驗(yàn)，導(dǎo)致無從下手.

“看到中點(diǎn)，同學(xué)們還能想到什么嗎？”“剛才的解法1和解法2的著眼點(diǎn)分別是等腰三角形的腰相等和等腰三角形的‘三線合一’，那么如果我們把著眼點(diǎn)放在底邊的中點(diǎn)，同學(xué)們可以聯(lián)想到什么？”有的學(xué)生說到了“向量”……于是動(dòng)起來就有了解法3：=（+），兩邊平方，得2=（2+2·+2），由極化恒等式·=2-2，得b2=b2+a2+2b2-，化簡(jiǎn)得c2=2a2-2b2. 后同解法1.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)遇到中點(diǎn)或等分點(diǎn)時(shí)聯(lián)想到向量，利用向量的數(shù)量積實(shí)現(xiàn)由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，對(duì)學(xué)生的要求有點(diǎn)高. 在親歷向量這個(gè)解法解決問題后，學(xué)生感受到了向量讓“形”與“數(shù)”產(chǎn)生聯(lián)系的強(qiáng)大魅力. 學(xué)生在解題活動(dòng)過程中，不僅獲得了方法和經(jīng)驗(yàn)，還落實(shí)了基本知識(shí)、基本技能、基本思想.

“向量有平行四邊形法則，如果把中線延長(zhǎng)，補(bǔ)出一個(gè)平行四邊形，那么同學(xué)們又有何想法？”有的學(xué)生脫口而出：“平行四邊形四邊的長(zhǎng)與對(duì)角線的長(zhǎng)的關(guān)系. ”于是有了解法4：如圖5所示，AB2+4CD2=2（CA2+CB2）（補(bǔ)成平行四邊形，利用平行四邊形四邊的性質(zhì)），化簡(jiǎn)得c2=2a2-2b2. 后同解法1.

又有一位學(xué)生說道：“老師，我們可以直接用中線長(zhǎng)公式.”于是有了解法5：CD=（課本例題的結(jié)論），代入數(shù)據(jù)，化簡(jiǎn)得c2=2a2-2b2. 后同解法1.

點(diǎn)評(píng)：解法4、解法5的本質(zhì)是一樣的，即利用平行四邊形四邊的關(guān)系解題. 說明記住一些結(jié)論或公式能事半功倍.

在解題活動(dòng)過程中，學(xué)生不光要學(xué)會(huì)提問題，還要會(huì)挖掘條件，積極聯(lián)想，從不同的角度看待問題，就能抽絲剝繭獲得思路，成功解答.

3. 感悟過程，反思經(jīng)歷，獲得經(jīng)驗(yàn)

“由于經(jīng)驗(yàn)的層次、水平（特別是由于經(jīng)驗(yàn)獲得者的抽象、概括和反思水平）所限，個(gè)體之間的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)有較大的差異，即使在同一個(gè)活動(dòng)中，不同的個(gè)體所獲得的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)也會(huì)有所不同，往往取決于個(gè)體活動(dòng)的感知水平與反思能力.”[3]史寧中教授指出，“我們大體上可以把經(jīng)驗(yàn)分為感性經(jīng)驗(yàn)和邏輯經(jīng)驗(yàn). 感性經(jīng)驗(yàn)也依賴思考，但更多的是依賴觀察;邏輯經(jīng)驗(yàn)也依賴觀察，但更多的是依賴思考.”[5]如何學(xué)會(huì)思考，獲取思考經(jīng)驗(yàn)？“思考的經(jīng)驗(yàn)——就人的理性而言，是思維過程（特別是基于邏輯的思維過程）積淀出的一種經(jīng)驗(yàn).”[3]我們可以從上述案例進(jìn)行反思，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)獲取的途徑及反思的角度如下：其一，數(shù)學(xué)的三種語言（文字、符號(hào)、圖形）在表達(dá)時(shí)的相互轉(zhuǎn)化;其二，思維的角度和習(xí)慣的積累;其三，計(jì)算技巧與方法的歸納. 在解題活動(dòng)過程中，教師要帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行感知、反思. 如何從“不會(huì)”到“會(huì)”？關(guān)鍵在于落實(shí)直觀觀察的經(jīng)驗(yàn). 如何由無從下手到水到渠成？關(guān)鍵是要?jiǎng)邮謽?biāo)示條件，引領(lǐng)并激發(fā)思維，屬于行為操作的經(jīng)驗(yàn). 所以教師應(yīng)該讓學(xué)生積極行動(dòng)起來，拿到問題后分析條件和目標(biāo)，并標(biāo)示條件. 通過親身體驗(yàn)解題過程中的具體操作方法，達(dá)到訓(xùn)練思維的目的. 學(xué)生在掌握知識(shí)的基礎(chǔ)上，再經(jīng)歷應(yīng)用知識(shí)和方法來解決問題的過程，通過行為操作方面的具體體驗(yàn)，慢慢地就能獲得思維操作的經(jīng)驗(yàn)，即思考的經(jīng)驗(yàn).

4. 積累經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成品質(zhì)，提升素養(yǎng)

“由思考的經(jīng)驗(yàn)、親身探究的經(jīng)驗(yàn)，又可能派生出一種思維模式、思維方法.”[3]學(xué)生經(jīng)歷反思與積淀后獲得了思考的經(jīng)驗(yàn). 就解法1的產(chǎn)生而言，學(xué)生由“不會(huì)”到“會(huì)”依賴的是“標(biāo)示條件、直觀觀察”. 學(xué)生在后續(xù)的解決問題的過程中，就能運(yùn)用“標(biāo)示條件、直觀觀察”這種經(jīng)驗(yàn)獲得解題思路. “在許多學(xué)科中，對(duì)于結(jié)果的預(yù)測(cè)和對(duì)于原因的探究，起步階段依賴的都是直觀，而直觀能力的培養(yǎng)依賴于活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累.”[3]就解法2的產(chǎn)生而言，是深刻挖掘條件的內(nèi)涵，只有學(xué)生親身經(jīng)歷每個(gè)活動(dòng)的過程，在過程中積累經(jīng)驗(yàn)，長(zhǎng)此以往才能提升思維品質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不僅能在實(shí)驗(yàn)課、活動(dòng)課、操作課等獲得，也可以在習(xí)題課中獲得. 關(guān)鍵是要讓學(xué)生親身經(jīng)歷每個(gè)活動(dòng)的過程，在過程中進(jìn)行反思、感悟，獲得活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，不僅如此，在過程中還能更好地落實(shí)基本知識(shí)、技能、方法.

參考文獻(xiàn)：

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[2] ?史寧中，王尚志. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀[M]. 北京：高等教育出版社，2017.

[3] ?孔凡哲. 基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的含義、成分與課程教學(xué)價(jià)值[J]，課程·教材·教法，2009（03）.

[4] ?波利亞. 怎樣解題[M]. 涂泓，馮承天，譯. 上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?007.

[5] ?史寧中. 數(shù)學(xué)思想概論：圖形與圖形關(guān)系的抽象[M]. 長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2009.