兩相無槽圓筒型永磁同步直線電機(jī)電感計(jì)算與分析

張春雷 張 輝 葉佩青 張魯宏

兩相無槽圓筒型永磁同步直線電機(jī)電感計(jì)算與分析

張春雷1,2張 輝1,2葉佩青1,2張魯宏1,2

（1. 清華大學(xué)機(jī)械工程系 北京 100084 2. 清華大學(xué)精密超精密制造設(shè)備與控制北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 100084）

在電機(jī)行程范圍內(nèi)，兩相無槽圓筒型永磁同步直線電機(jī)的電感會(huì)受到電機(jī)繞組斷開與耦合長(zhǎng)度變化的影響，使其變化復(fù)雜，無傳感控制算法難以實(shí)現(xiàn)。因此，需要對(duì)該電機(jī)電感進(jìn)行精確的建模。該文基于軸向磁動(dòng)勢(shì)函數(shù)與軸向比磁導(dǎo)函數(shù)分別推導(dǎo)得到該電機(jī)在全耦合狀態(tài)下和全行程范圍內(nèi)電感解析模型。在此基礎(chǔ)上，利用有限元數(shù)值計(jì)算法對(duì)電感模型進(jìn)行參數(shù)計(jì)算與驗(yàn)證分析，并總結(jié)電機(jī)全耦合狀態(tài)下電感的特征，給出耦合長(zhǎng)度變化對(duì)于電感直流分量與2次諧波幅值的影響規(guī)律。最后，對(duì)比了樣機(jī)電感的實(shí)驗(yàn)測(cè)量值與模型計(jì)算值。結(jié)果表明，兩者之間誤差僅為0.04mH，證明了電感模型的正確性。

永磁同步直線電機(jī) 電感 磁動(dòng)勢(shì) 比磁導(dǎo) 有限元法

0 引言

直線電機(jī)由于省去了中間傳動(dòng)機(jī)構(gòu)直接提供直線運(yùn)動(dòng)，沒有回程間隙，響應(yīng)速度快，被大量應(yīng)用于數(shù)控機(jī)床等工業(yè)自動(dòng)化領(lǐng)域。圓筒型永磁同步直線電機(jī)（Tubular Permanent Magnet Synchronous Linear Motor, TPMSLM）因具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、推力密度高，且不存在橫向端部效應(yīng)的特點(diǎn)，具有廣泛的應(yīng)用前景[1-2]。

對(duì)于永磁同步電機(jī)的矢量控制，需要精確的位置反饋信號(hào)。直線電機(jī)常用的位置傳感器包括線性光柵尺、電位計(jì)、線性霍爾傳感器等[3]。但是安裝這些機(jī)械傳感器在提升電機(jī)制造成本的同時(shí)，也降低了電機(jī)控制系統(tǒng)的可靠性與魯棒性。為了解決這一問題，無傳感位置檢測(cè)算法被提出與應(yīng)用。常用的無傳感算法包括反電動(dòng)勢(shì)辨識(shí)法[4]和高頻信號(hào)注入法[5]。對(duì)于直線電機(jī)的高頻信號(hào)注入法，由于存在端部效應(yīng)，使電機(jī)三相自感和互感存在不對(duì)稱性，dq軸電感變化復(fù)雜[6-7]。這使得直線電機(jī)高頻注入方法實(shí)現(xiàn)困難，其無傳感算法仍然為一個(gè)開放性的待解決問題[8]。因此，為了實(shí)現(xiàn)TPMSLM的無傳感控制，需要對(duì)其運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)的電感變化規(guī)律進(jìn)行研究并得到精確的電感解析模型。

電感的解析計(jì)算方法主要包括直接法[9-10]和間接法[11-16]。直接法首先求解磁場(chǎng)的泊松方程得到矢量磁位，再通過磁場(chǎng)儲(chǔ)能計(jì)算得到電感的解析表達(dá)式。但對(duì)于軸向充磁的圓筒型直線電機(jī)，該方法存在邊界條件確定困難、方程求解復(fù)雜的問題[17]；間接法是通過對(duì)繞組函數(shù)（磁動(dòng)勢(shì)函數(shù)）與氣隙比磁導(dǎo)函數(shù)的乘積積分計(jì)算電感的方法。相較于直接法，間接法在計(jì)算電機(jī)電感時(shí)更為簡(jiǎn)單直觀，但其求解精度取決于氣隙比磁導(dǎo)函數(shù)的準(zhǔn)確性[18]。文獻(xiàn)[11]通過間接法推導(dǎo)得到了磁阻同步電機(jī)的電感表達(dá)式，并分析了磁場(chǎng)高次諧波對(duì)于電機(jī)自感和互感的影響。文獻(xiàn)[12]基于間接法計(jì)算了分?jǐn)?shù)槽集中繞組的內(nèi)埋式永磁同步電機(jī)的電感，并通過有限元與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了解析模型的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[13]針對(duì)間接法理論磁路與實(shí)際磁路存在偏差的問題，通過修正定子磁動(dòng)勢(shì)函數(shù)的解析表達(dá)式，提升了間接法電感計(jì)算的準(zhǔn)確性。以上的研究主要針對(duì)旋轉(zhuǎn)電機(jī)，對(duì)于兩相無槽TPMSLM，還存在繞組斷開與耦合長(zhǎng)度變化的影響。本文在考慮這些影響因素的情況下，采用間接法計(jì)算該電機(jī)的電感。

本文分析計(jì)算了兩相無槽TPMSLM的電感。首先，建立了完全耦合狀態(tài)下電機(jī)動(dòng)子軸向磁動(dòng)勢(shì)函數(shù)與軸向比磁導(dǎo)函數(shù)，在考慮直線電機(jī)繞組不連續(xù)的影響下，通過積分得到完全耦合狀態(tài)下電機(jī)的電感解析模型。在擴(kuò)展軸向比磁導(dǎo)函數(shù)的定義后，將電機(jī)耦合長(zhǎng)度變化的影響引入到解析模型中，使解析模型適用于全行程范圍內(nèi)的電感計(jì)算。然后，基于解析模型與有限元分析結(jié)果，對(duì)TPMSLM完全耦合狀態(tài)下與電機(jī)行程范圍內(nèi)的電感變化規(guī)律進(jìn)行了定量分析。最后，將模型計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)的測(cè)量結(jié)果相比較，進(jìn)一步驗(yàn)證了解析模型的準(zhǔn)確性。

1 電感解析模型

本文的研究對(duì)象為兩相無槽軸向充磁的TPMSLM。電機(jī)由定子和動(dòng)子兩部分構(gòu)成，其中，定子包括鐵心、線圈繞組、霍爾傳感器與定子骨架。A、B兩相線圈繞組以90°電角度等間隔纏繞在由聚酰亞胺材料制成的骨架上，因此該電機(jī)不存在齒槽效應(yīng)。兩線性霍爾傳感器安裝于定子繞組中部，相距90°電角度，用于測(cè)量電機(jī)動(dòng)子位置。電機(jī)動(dòng)子由永磁體和鐵心組成。動(dòng)子永磁體軸向充磁，其極性沿軸向交替變化并由動(dòng)子鐵心隔開。這種結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)使得在動(dòng)子移動(dòng)過程中，定子繞組磁路磁阻會(huì)隨著動(dòng)子位置移動(dòng)呈周期性變化，即電機(jī)呈現(xiàn)出凸極性。圖1為兩相無槽TPMSLM在圓柱坐標(biāo)系下的結(jié)構(gòu)示意圖，圖中，為圓柱坐標(biāo)系原點(diǎn)，為圓柱坐標(biāo)系半徑，1為定子線圈長(zhǎng)度，2為動(dòng)子長(zhǎng)度，s為電機(jī)半徑，o為線圈繞組外徑，i為線圈繞組內(nèi)徑，h為霍爾傳感器安裝位置，m為永磁體半徑，為電機(jī)極距，m為永磁體長(zhǎng)度。

表1 TPMLSM的結(jié)構(gòu)參數(shù)

Tab.1 The structural parameters of TPMLSM

1.1 完全耦合狀態(tài)下電感計(jì)算

圖2 TPMSLM坐標(biāo)系示意圖

繞組產(chǎn)生的軸向磁通密度可以表示為軸向磁動(dòng)勢(shì)函數(shù)與軸向比磁導(dǎo)函數(shù)的乘積形式。為簡(jiǎn)化分析，假設(shè)電機(jī)的軸向磁動(dòng)勢(shì)函數(shù)和軸向比磁導(dǎo)函數(shù)與無限長(zhǎng)直線電機(jī)一致。

式中，為A相繞組個(gè)數(shù)。

在計(jì)算B相繞組的磁鏈時(shí)，需要考慮直線電機(jī)繞組不連續(xù)產(chǎn)生的影響。如圖1所示，由于繞組不連續(xù)，在電機(jī)中部的B-線圈和在電機(jī)右側(cè)端部的B+線圈只與單個(gè)A相線圈相鄰。采用凍結(jié)磁鏈法得到TPMSLM在A相繞組通入單位電流時(shí)產(chǎn)生的磁感線如圖3所示。

1.2 電機(jī)行程內(nèi)電感計(jì)算

式中，下標(biāo)h為物理量定義域拓寬至電機(jī)動(dòng)子的行程范圍。

由此可以得到動(dòng)子行程范圍內(nèi)A相自感為

表2 A相繞組自感系數(shù)表達(dá)式

Tab.2 Self-inductance coefficient expression of winding A

忽略軸向磁動(dòng)勢(shì)函數(shù)和軸向比磁導(dǎo)函數(shù)高次諧波后，式（14）的計(jì)算結(jié)果可以整理為

2 有限元分析

本節(jié)采用有限元法分析兩相無槽TPMSLM的電感特性并驗(yàn)證解析模型準(zhǔn)確性。有限元分析所用的電機(jī)電磁參數(shù)與電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。

2.1 完全耦合狀態(tài)電感分析

通過有限元分析得到電機(jī)在完全耦合狀態(tài)下的自感和互感波形如圖4所示。從圖中可以看到，兩相TPMSLM的電感波形有以下三個(gè)特征。

（1）電機(jī)的電感波形包含2次諧波，這是由于比磁導(dǎo)函數(shù)中存在2次諧波分量導(dǎo)致的，即電機(jī)的凸極性的影響。

表3 互感系數(shù)表達(dá)式

Tab.3 Mutual-inductance coefficient expression

圖4 完全耦合下的TPMSLM的電感波形

（2）互感的直流分量不為0。由式（7）可知，這是電機(jī)繞組不連續(xù)、磁鏈斷開所產(chǎn)生的影響。

（3）自感的2次諧波幅值是互感2次諧波幅值的兩倍。即式（8）所推導(dǎo)得到的結(jié)果。這是由TPMSLM電機(jī)本身的結(jié)構(gòu)特性所導(dǎo)致的。

全耦合狀態(tài)下，dq軸坐標(biāo)系的電感系數(shù)矩陣可以由Park變換得到

由式（19）可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于兩相無槽TPMSLM，其dq軸自感和互感存在2次與4次諧波分量。其中，2次諧波分量是由于AB相繞組互感直流分量不為零產(chǎn)生的，4次諧波則是由于AB相繞組自感與互感的2次諧波幅值不同導(dǎo)致的。所得dq軸下的電感波形如圖5所示。

圖5 TPMSLM完全耦合狀態(tài)dq軸下電感波形

2.2 電機(jī)行程范圍內(nèi)電感分析

圖6 全行程范圍內(nèi)TPMSLM電感波形

圖6中解析法得到的結(jié)果與有限元法相比最大誤差為0.002mH，相對(duì)于自感與互感的直流分量和2次諧波的幅值，估計(jì)誤差可以忽略不計(jì)。因此，解析法可以很好地描述電機(jī)行程范圍內(nèi)電感變化規(guī)律。同時(shí)可以觀察到，在不完全耦合狀態(tài)下，隨著耦合長(zhǎng)度不斷減小，TPMSLM自感與互感的直流分量和2次諧波幅值也隨之減小。為了更加清楚地描述電感變化規(guī)律，繪制直流分量和2次諧波幅值如圖7所示。

從圖7a和圖7b中可以看到，自感直流分量和2次諧波幅值在電機(jī)耦合長(zhǎng)度減少時(shí)，存在著衰減段和恒定段。以A相繞組自感為例：當(dāng)電機(jī)動(dòng)子端部穿過A相線圈時(shí)，A相繞組自感處于衰減狀態(tài)。其直流分量在電機(jī)動(dòng)子端部穿過單個(gè)A相繞組過程中下降0.35mH，2次諧波幅值則會(huì)下降0.1mH，即1/的全耦合狀態(tài)下的2次諧波幅值。當(dāng)電機(jī)動(dòng)子端部穿過B相線圈時(shí)，A相線圈自感位于恒定段，其直流分量與2次諧波幅值均不發(fā)生變化。圖7c中，互感的直流分量只在電機(jī)動(dòng)子端部穿過電機(jī)繞組左端的A+線圈或者右端部的B+線圈時(shí)發(fā)生變化，下降曲線為線性，由0.171mH下降至0.158mH。由圖7d可知，互感2次諧波幅值隨著耦合長(zhǎng)度減少持續(xù)降低，每當(dāng)電機(jī)動(dòng)子端部穿過一個(gè)A相或B相線圈時(shí)，電機(jī)的2次諧波幅值下降全耦合狀態(tài)下2次諧波幅值的6.25%，即1/(2)全耦合狀態(tài)下的互感2次諧波幅值。

圖7 全行程范圍內(nèi)電感系數(shù)曲線

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)方法與設(shè)備

樣機(jī)電感系數(shù)采用文獻(xiàn)[19]所述方法進(jìn)行測(cè)量。其中，A、B相繞組的自感通過LCR數(shù)字電橋進(jìn)行直接測(cè)量。A、B相繞組的互感通過測(cè)量?jī)上嗬@組同向連接和反向連接后的等效電感，再經(jīng)過計(jì)算得到。測(cè)量互感時(shí)，A、B相繞組連接如圖8所示。

圖8 繞組連接

當(dāng)兩繞組同向連接時(shí)，等效電感表達(dá)式為

當(dāng)兩繞組反向連接時(shí)，等效電感表達(dá)式為

基于該方法，在80mm的電機(jī)運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)，每隔1mm測(cè)量一組TPMSLM的電感。實(shí)驗(yàn)所用設(shè)備如圖9所示。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4 結(jié)論

本文基于軸向磁動(dòng)勢(shì)函數(shù)與軸向比磁導(dǎo)函數(shù)推導(dǎo)得到了全行程范圍內(nèi)兩相無槽TPMSLM的電感解析模型。并與有限元計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)測(cè)量值進(jìn)行了對(duì)比分析，證明該解析方法對(duì)于電機(jī)不完全耦合狀態(tài)下電感計(jì)算的準(zhǔn)確性。通過分析，該電機(jī)電感有如下特點(diǎn)：全耦合狀態(tài)下，A、B相繞組互感直流分量不為零，自感2次諧波幅值為互感2次諧波幅值的兩倍，且dq軸下的自感與互感存在明顯的2次與4次諧波分量。在全行程范圍內(nèi)，A、B相繞組自感與互感的直流分量與2次諧波幅值會(huì)隨著電機(jī)耦合長(zhǎng)度減少而下降。本文所得到的兩相無槽TPMSLM的電感解析式，為該電機(jī)后續(xù)無傳感算法研究提供了一準(zhǔn)確的數(shù)值模型。

[1] Wang J B, Howe D. Tubular modular permanent- magnet machines equipped with quasi-halbach magnetized magnets-part I: magnetic field distri- bution, EMF, and thrust force[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2005, 41(9): 2470-2478.

[2] Abdalla I I, Ibrahim T, Nor N M. Analysis of tubular linear motors for different shapes of magnets[J]. IEEE Access, 2018, 6: 10297-10310.

[3] Paul S, Chang J, Rajan A, et al. Design of linear magnetic position sensor used in permanent magnet linear machine with consideration of manufacturing tolerances[J]. IEEE Sensors Journal, 2019, 19(13): 5239-5248.

[4] Morimoto S, Kawamoto K, Sanada M, et al. Sensorless control strategy for salient-pole PMSM based on extended EMF in rotating reference frame[J]. IEEE Transactions on Industry Applications, 2002, 38(4): 1054-1061.

[5] Yoon Y D, Sul S K, Morimoto S, et al. High- bandwidth sensorless algorithm for AC machines based on square-wave-type voltage injection[J]. IEEE Transactions on Industry Applications, 2011, 47(3): 1361-1370.

[6] Cupertino F, Pellegrino G, Giangrande P, et al. Sensorless position control of permanent-magnet motors with pulsating current injection and com- pensation of motor end effects[J]. IEEE Transactions on Industry Applications, 2011, 47(3): 1371-1379.

[7] 張春雷, 張輝, 葉佩青, 等. 兩相圓筒型永磁同步直線電機(jī)無傳感算法[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2019, 34(23): 4901-4908.

Zhang Chunlei, Zhang Hui, Ye Peiqing, et al. Research on sensorless algorithm of two-phase tubular permanent magnet synchronous linear motor[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2019, 34(23): 4901-4908.

[8] Sul S, Kwon Y, Lee Y. Sensorless control of IPMSM for last 10 years and next 5 years[J]. CES Transa- ctions on Electrical Machines and Systems, 2017, 1(2): 91-99.

[9] Zhu Z, Howe D, Mitchell J. Magnetic field analysis and inductances of brushless DC machines with surface-mounted magnets and non-overlapping stator windings[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 1995, 31(3): 2115-2118.

[10] Wang J B, Jewell G W, Howe D. A general framework for the analysis and design of tubular linear permanent magnet machines[J]. IEEE Transa- ctions on Magnetics, 1999, 35(3): 1986-2000.

[11] Chiba A, Nakamura F, Fukao T, et al. Inductances of cageless reluctance-synchronous machines having nonsinusoidal space distributions[J]. IEEE Transa- ctions on Industry Applications, 1991, 27(1): 44-51.

[12] Dutta R, Rahman M, Chong L. Winding inductances of an interior permanent magnet (IPM) machine with fractional slot concentrated winding[J]. IEEE Transa- ctions on Magnetics, 2012, 48(12): 4842-4849.

[13] Chen Hong, Li Dawei, Qu Rongjun, et al. An improved analytical model for inductance calculation of interior permanent magnet machines[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2014, 50(6): 1-8.

[14] Chong L, Rahman M. Saliency ratio derivation and optimisation for an interior permanent magnet machine with concentrated windings using finite- element analysis[J]. IET Electric Power Applications, 2010, 4(4): 249-258.

[15] El-Refaie A M, Zhu Z Q, Jahns T M, et al. Winding inductances of fractional slot surface-mounted per- manent magnet brushless machines[C]//IEEE Industry Applications Society Meeting, Alberta, Canada, 2008: 1-8.

[16] 劉治鑫, 王東, 余中軍, 等. 基于磁性槽楔修正模型的感應(yīng)電動(dòng)機(jī)氣隙磁場(chǎng)的分布磁路法[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2019, 34(15): 3112-3123.

Liu Zhixin, Wang Dong, Yu Zhongjun, et al. Distributed magnetic circuit method for calculating air-gap magnetic field of induction motor based on modified model considering the effect of magnetic slot wedges[J]. Transactions of China Electro- technical Society, 2019, 34(15): 3112-3123.

[17] 趙鏡紅, 張曉鋒, 張俊洪, 等. 圓筒永磁直線同步電機(jī)磁場(chǎng)和推力分析[J]. 電機(jī)與控制學(xué)報(bào), 2010, 14(1): 12-17.

Zhao Jinghong, Zhang Xiaofeng, Zhang Junhong, et al. Field and thrust analysis of tubular permanent magnet linear synchronous motor[J]. Electric Machines and Control, 2010, 14(1): 12-17.

[18] 于吉坤, 李立毅, 張江鵬, 等. 定子開槽永磁同步電機(jī)氣隙比磁導(dǎo)解析計(jì)算[J]. 電工技術(shù)學(xué)報(bào), 2016, 31(增刊1): 45-52.

Yu Jikun, Li Liyi, Zhang Jiangpeng, et al. Analytical calculation of air-gap relative permeance in slotted permanent magnet synchronous motor[J]. Transa- ctions of China Electrotechnical Society, 2016, 31(S1): 45-52.

[19] Zhang Hailin, Kou Baoquan, Wang Liqiang, et al. A new inductance measurement method for permanent magnet synchronous linear motor[C]//17th Inter- national Conference on Electrical Machines and Systems, Hangzhou, China, 2015: 1-5.

Inductance Analysis of Two-Phase Slotless Tubular Permanent Magnet Synchronous Linear Motor

1,21,21,21,2

（1. Department of Mechanical Engineering Tsinghua University Beijing 100084 China 2. Beijing Key Laboratory of Precision/Ultra-Precision Manufacturing Equipments and Control Tsinghua University Beijing 100084 China）

The inductances of two-phase slotless tubular permanent magnet synchronous linear motor (TPMSLM) are affected by the disconnection of windings and the change of coupling length. This makes the inductance change complicated and difficult to implement sensorless control. Therefore, the inductance of TPMSLM needs to be accurately modeled. Firstly, the axial magnetomotive force function and the axial specific permeance function were utilized to derive the analytical model in the fully coupled state. Then the domain of the axial specific permeance function was extended and the inductance expression in the whole moving range was calculated. The expression was verified by finite element method. And the characteristics of the inductance and the influence of the coupling length were analyzed. Finally, the inductance of a prototype was measured and compared with the analytical result. The maximum error between the two results is 0.04mH, which proves the correctness of the analytical model.

Permanent magnet synchronous linear motor, inductance, magnetomotive force, specific permeability, finite element method

TM359.4

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.200461

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51875312）。

2020-05-07

2020-11-23

張春雷 男，1994年生，博士研究生，研究方向?yàn)殡姍C(jī)設(shè)計(jì)及其控制。E-mail: clzhang13@163.com

張 輝 女，1969年生，博士，副教授，研究方向?yàn)橄冗M(jìn)制造裝備及其自動(dòng)化。E-mail: wwjj@mail.tsinghua.edu.cn（通信作者）

（編輯 陳 誠(chéng)）