一類具有隔離和治療措施的新型冠狀病毒肺炎(COVID-19)傳染病模型研究

閆慧林, 王曉靜, 白玉珍

(北京建筑大學(xué) 理學(xué)院, 北京 100044)

在過(guò)去的二十多年里, 出現(xiàn)了一系列由冠狀病毒引起的傳染病, 如2003年的傳染性非典型肺炎(SARS)、2012年的中東呼吸綜合征(MERS)等。2019年底至今, 新型冠狀病毒肺炎(COVID-19)在中國(guó)乃至全世界大流行。截至2021年1月10日, 我國(guó)累計(jì)確診病例97 658例,累計(jì)死亡病例4 799例; 全球新冠肺炎累計(jì)確診90 714 813例, 累計(jì)死亡1 943 597例, 給人們的身體健康和生命安全帶來(lái)了很大困擾和威脅, 嚴(yán)重影響了全球經(jīng)濟(jì)、政治和金融行業(yè)的發(fā)展[1]。目前尚不確定人們?cè)诟腥竟跔畈《竞笏@得的免疫能夠保持多長(zhǎng)時(shí)間[2]。

新型冠狀病毒肺炎(COVID-19)的癥狀, 一般包括發(fā)熱、鼻塞、流涕、咽痛以及最常見(jiàn)的干咳。輕型和普通型患者一般兩周左右可以痊愈, 重型的患者可能會(huì)出現(xiàn)氣促、胸悶、低氧血癥, 甚至進(jìn)展為呼吸衰竭、急性呼吸窘迫綜合征、膿毒癥休克以及多器官功能衰竭等嚴(yán)重情況, 需要入住ICU進(jìn)行呼吸支持。一般老年人, 或者有嚴(yán)重基礎(chǔ)疾病的患者, 進(jìn)展到危重型的風(fēng)險(xiǎn)較大, 應(yīng)該進(jìn)行早期預(yù)警。

為研究COVID-19在人群中的傳播情況, 分析影響疾病流行的原因和關(guān)鍵因素, 尋求預(yù)防和控制的最優(yōu)策略, 構(gòu)建合理的能夠刻畫COVID-19傳播的傳染病模型, 并對(duì)模型動(dòng)力學(xué)性態(tài)進(jìn)行定性分析和數(shù)值模擬, 進(jìn)而分析疾病的發(fā)展過(guò)程, 揭示流行規(guī)律, 可以為新型冠狀病毒肺炎的預(yù)防和控制起到指導(dǎo)作用, 具有一定的實(shí)際意義和應(yīng)用價(jià)值。

1 模型建立

將我國(guó)在COVID-19疫情期間的總?cè)丝贜分為9個(gè)不同的倉(cāng)室: 易感者(S)、潛伏期感染者(E)、顯性感染者(I)、隱性感染者(A)、隔離的易感者(Sq)、隔離的潛伏期感染者(Eq)、入院治療者(H)、康復(fù)者(R)和死亡者(M)。基于目前已有的研究基礎(chǔ)[3-8], 為綜合考慮隔離和治療措施對(duì)COVID-19傳播的影響，做如下假設(shè):

1)人口總數(shù)在研究區(qū)域內(nèi)呈均勻分布, 且在傳染期內(nèi)人群總數(shù)保持不變。

2)康復(fù)者(R)內(nèi)的治愈者獲得免疫不會(huì)二次感染。

3)模擬2020年2—5月的疫情情況, 故不考慮人口的出生率和自然死亡率, 并且忽略遷入率和遷出率。

4)潛伏期感染者(E)、顯性感染者(I)、隱性感染者(A)的傳染力分別為εβ、β、θβ。

由上述假設(shè),建立的倉(cāng)室模型的流程如圖1所示，參數(shù)意義見(jiàn)表1。

表1 SEIAHRMSqEq模型的參數(shù)意義

其中λ(t)=βc(εE+I+θA)/N，依此構(gòu)建的模型(1)為：

(1)

2 控制再生數(shù)

控制再生數(shù)Rc代表1個(gè)閾值, 即當(dāng)環(huán)境中都是易感者并且存在治療措施, 在平均染病周期內(nèi)具有傳染性的1個(gè)感染者有效接觸易感者后, 導(dǎo)致新增的平均感染人數(shù)。當(dāng)Rc>1時(shí), 疫情一般會(huì)繼續(xù)擴(kuò)散; 當(dāng)Rc<1時(shí), 可以認(rèn)為疫情得到了有效的控制[9-11]?？紤]到我國(guó)現(xiàn)在嚴(yán)控嚴(yán)防的隔離措施, 因此隔離的易感者Sq、隔離的潛伏期感染者Eq、入院治療者H在嚴(yán)格的隔離措施下, 不具備繼續(xù)擴(kuò)散傳染的能力,康復(fù)者R獲得免疫, 因此在短期內(nèi)不能再次被感染, 不參與疾病傳播, 故只需研究模型(2)：

(2)

模型(2)具有感染力的倉(cāng)室為E、I、A,模型(2)的無(wú)病平衡點(diǎn)P0=(S0,0,0,0)。

由

(3)

(4)

可以算出:

(5)

(6)

(7)

可求出控制再生數(shù)為:

Rc=ρ(FV-1)=

(8)

3 穩(wěn)定性及敏感度分析

定理:如果Rc<1,模型(2)的無(wú)病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的;Rc>1時(shí)不穩(wěn)定。

證明:模型(2)在無(wú)病平衡點(diǎn)P0的雅可比矩陣[12-13]為:

J|P0=

(9)

由特征多項(xiàng)式(10)：

|λE-J|P0|=

(10)

可得：

λ3+[γI+α+η+γA+k-(1-ρ)φβcε]λ2+

{(γI+α+η)γA+(γI+α+η+γA)[k-

(1-ρ)φβcε]-(1-ρ)φβcpk-

(1-ρ)φβcθk(1-p)}λ+

(γI+α+η)γA[k-(1-ρ)φβcε]-(1-ρ)φβcpkγA-

(1-ρ)φβcθk(1-p)(γI+α+η)=0

(11)

為方便計(jì)算,將上面的式子記為：

λ3+p1λ2+p2λ+p3=0

(12)

其中p1、p2、p3分別為：

p1=k(1-R0)+μpk+μθk(1-p)+γI+α+η

(13)

p2=k(1-R0)(γI+α+η+γA)+

(14)

p3=(1-R0)kγA(γI+α+η)

(15)

其中μ=(1-ρ)φβc。

顯然當(dāng)Rc<1時(shí),有p1>0、p2>0并且：

p1p2-p3=k2(1-R0)2(γI+α+η+γA)+

(1-R0)(γI+α+η)γAk+

(1-R0)(γI+α+η+γA)μpk2(1-p)+

(γI+α+η)μθkγA(1-p)+k(1-R0)(γI+α+η)2+

(16)

故由Hurwitz定理可知模型(2)的雅可比矩陣的特征多項(xiàng)式的特征根具有負(fù)實(shí)部,因此無(wú)病平衡點(diǎn)P0是局部漸近穩(wěn)定的。

當(dāng)Rc>1時(shí),有p1>0、p2>0和p3=(1-Rc)kγA(γI+α+η)<0,因此可知特征多項(xiàng)式至少有一個(gè)特征值是正的,所以無(wú)病平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。

敏感度分析是了解參數(shù)對(duì)疾病的影響以及如何控制疾病發(fā)展的一種重要方法[14-15]。變量m關(guān)于n的敏感度指數(shù)定義為:

(17)

將計(jì)算Rc對(duì)每個(gè)參數(shù)的敏感度。依次求Rc關(guān)于φ、β、θ、ε、c的偏導(dǎo)數(shù),可得：

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

由計(jì)算可知,Rc隨著φ、β、θ、β、c的增加而增加。由Rc關(guān)于ρ、η、k、γA、γI的偏導(dǎo)數(shù)：

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

可發(fā)現(xiàn)Rc隨著ρ、η、k、γA、γI的增加而減小。

綜上所述,Rc隨著ρ的增加而減少,當(dāng)ρ>0.5時(shí)Rc對(duì)ρ的變化最為敏感,ρ的增加會(huì)導(dǎo)致Rc相同甚至更多比例地減少;當(dāng)ρ<0.5時(shí)Rc隨著ρ的增加而減少;φ、β、c的增加會(huì)導(dǎo)致Rc相同比例地增加。從敏感度分析可知,在傳染病傳播過(guò)程中減少接觸率對(duì)控制疾病傳播有更好的效果。

4 數(shù)值模擬

查詢2020年2—5月國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)關(guān)于COVID-19的數(shù)據(jù)[1],可知當(dāng)下新型冠狀肺炎疫情在我國(guó)已經(jīng)得到了較好的控制。

由圖2可知，2020年2—5月, 我國(guó)新增確診人數(shù)正在逐漸減少，累計(jì)死亡人數(shù)在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)保持不變。

圖2 新增確診人數(shù)和累計(jì)死亡人數(shù)隨時(shí)間序列

由圖3可知，2020年2—5月, 我國(guó)累計(jì)確診人數(shù)逐漸增加但增幅越來(lái)越小，累計(jì)治愈人數(shù)也在同步增加, 兩者間的差距日益縮小, 我國(guó)現(xiàn)存確診人數(shù)在逐漸減少, 截至2020年5月31日, 我國(guó)現(xiàn)存確診人數(shù)不足100人。

圖3 累計(jì)確診人數(shù)、累計(jì)治愈人數(shù)和現(xiàn)存確診人數(shù)隨時(shí)間序列

由圖4可知,Rc隨著φ、β、θ、ε的增加而增加,且Rc對(duì)β的變化最敏感。

圖4 Rc隨φ、β、θ、ε的變化趨勢(shì)

由圖5可知,Rc隨著η、k、γI、γA的增加而減少, 且Rc對(duì)k、γA的變化更敏感。

圖5 Rc隨η、k、γI、γA的變化趨勢(shì)

5 結(jié)論

本文構(gòu)建了一類具有隔離和治療措施的新型冠狀病毒肺炎傳染病模型,預(yù)測(cè)了COVID-19的發(fā)展趨勢(shì),對(duì)模型的局部穩(wěn)定性進(jìn)行了系統(tǒng)的分析,確定了傳染病是否流行的閾值Rc。研究結(jié)果表明當(dāng)Rc<1時(shí),系統(tǒng)的無(wú)病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的,即當(dāng)Rc<1時(shí),疾病會(huì)逐漸消失;當(dāng)Rc>1時(shí),疾病會(huì)持續(xù)傳播。

基于對(duì)模型(2)的控制再生數(shù)Rc和無(wú)病平衡點(diǎn)P0的靈敏度分析和數(shù)值模擬結(jié)果, 可知傳染率系數(shù)β和接觸率c對(duì)疫情的傳播起到了至關(guān)重要的影響。通過(guò)媒體宣傳教育等各種手段提醒民眾注意個(gè)人衛(wèi)生清潔, 加強(qiáng)自我防范意識(shí), 減少非必要外出活動(dòng), 切斷傳播途徑，能夠有效地降低疫情傳播能力進(jìn)而達(dá)到防控的目的。