李伯忍
摘 要:矩陣的等價(jià)、相似與合同在線性代數(shù)課程教學(xué)中占據(jù)非常關(guān)鍵的地位,但是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)這一部分的內(nèi)容往往很難準(zhǔn)確把握。為此,本文針對(duì)它們之間的區(qū)別和聯(lián)系進(jìn)行探討,為學(xué)生對(duì)這些概念的理解提供一定的幫助。
關(guān)鍵詞:等價(jià);相似;合同
中圖分類(lèi)號(hào):G4 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A ? ? ?doi:10.19311/j.cnki.1672-3198.2021.04.065
《線性代數(shù)》是大學(xué)數(shù)學(xué)中的一門(mén)非常重要的必修基礎(chǔ)課程。學(xué)好這一門(mén)課程,不僅有利于對(duì)學(xué)生的理解和邏輯推理能力的培養(yǎng)與訓(xùn)練,而且對(duì)其后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)也發(fā)揮著極其重要的支撐作用。
本文將就線性代數(shù)課程矩陣之間的非常重要的關(guān)系:矩陣的等價(jià)、相似與合同進(jìn)行討論,著重探討三者之間的區(qū)別與聯(lián)系,為學(xué)生對(duì)這些概念的理解提供一定的支持。
1 基本概念
矩陣等價(jià)定義:假定矩陣A和B為同型矩陣,若存在可逆的矩陣P,Q,滿足PAQ=B,那么稱(chēng)A和B是等價(jià)的。
矩陣相似定義:假定矩陣A和B均為n階方陣,若存在可逆的矩陣P,滿足P-1AP=B,那么稱(chēng)A和B是相似的。
矩陣合同定義:假定矩陣A和B均為n階方陣,若存在可逆的矩陣P,滿足PTAP=B,那么稱(chēng)A和B是合同的。
2 區(qū)別和聯(lián)系
(1)矩陣的等價(jià)只是要求矩陣A和B是具有相同的行和列的矩陣,不要求必須是方形矩陣,但是相似和合同則要求矩陣A和B必定是同階的方形矩陣。
(2)等價(jià)的矩陣、相似的矩陣以及合同的矩陣均是同可逆或者同為不可逆。
(3)等價(jià)的矩陣、相似的矩陣以及合同的矩陣均滿足反身性、對(duì)稱(chēng)性和傳遞性。
(4)矩陣的等價(jià)、相似以及矩陣合同實(shí)際上均是矩陣和矩陣之間進(jìn)行初等變換,只是初等變換的要求有些區(qū)別。
詳細(xì)的說(shuō)明展示如下:
依據(jù)可逆矩陣的充要條件,n階方形矩陣陣A是可逆的矩陣A等于一系列初等矩陣的乘積。
故矩陣A和B等價(jià)的條件PAQ=B可轉(zhuǎn)化成:存在m階初等矩陣P1,P2,…Ps和n階初等矩陣Q1,Q2,…Qt,使得Ps…P2P1AQ1Q2…Qt=B。
相似的條件P-1AP=B可轉(zhuǎn)化成:存在n階初等矩陣P1,P2,…Ps使得Ps-1…P2-1P1-1AP1P2…Ps=B。
合同的條件PTAP=B可轉(zhuǎn)化成:存在n階初等矩陣P1,P2,…Ps使得PsT…P2TP1TAP1P2…Ps=B。
可見(jiàn)等價(jià)變換是對(duì)矩陣作一系列的有限次初等行或列變換;相似變換和合同變換也是作一系列的有限次初等行或列變換,但行變換的次數(shù)與列變換的次數(shù)是相同的,而且矩陣行變換與矩陣列變換的變換方式是相對(duì)應(yīng)的;相似變換要求作一次矩陣列變換,相應(yīng)的也要求作一次矩陣逆行變換;合同變換要求作一次矩陣列變換,也相應(yīng)的作一次相同的矩陣行變換。
3 文氏關(guān)系圖
4 如何判定矩陣與矩陣之間的相互關(guān)系
在判定矩陣的等價(jià)關(guān)系、相似以及合同關(guān)系時(shí),滿足矩陣等價(jià)、矩陣相似或者矩陣合同的兩個(gè)矩陣的秩都必定相等,再適當(dāng)?shù)睦锰卣髦蹬c正負(fù)慣性指數(shù)來(lái)判定矩陣相似或者矩陣合同。
(1)矩陣A與B等價(jià)R(A)=R(B)。
(2)判定矩陣相似的四個(gè)必要條件:①A與B的秩相等;②A與B的特征值相同;③A與B的特征多項(xiàng)式相等;④A與B的行列式相等。
假定滿足上述的必要性,我們還不可以判定矩陣是相似的,如何判別兩個(gè)一般矩陣的相似,一般考試大綱不做要求,但如果矩陣A和B均與一個(gè)對(duì)角陣相似,那么可由相似矩陣滿足傳遞性,可以知道A和B是相似的。
(3)對(duì)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣,有一些非常重要的結(jié)論,可用于判斷矩陣是相似的或者是合同的:①A與B均是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣并且是相似的矩陣A和B的特征值相同;②A與B均是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣并且是合同的二次型xTAx和xTBx的正負(fù)慣性指數(shù)是相同的;③A與B均是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣并且是相似的A與B必定是合同的。
矩陣的合同主要應(yīng)用于二次型,故判定矩陣是否合同的前提主要是在實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的前提下進(jìn)行,所以實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A和B是否合同,只需要判定矩陣A與B的特征值符號(hào)是否一樣;矩陣相似是指兩個(gè)矩陣的特征值相同;矩陣等價(jià)是指兩個(gè)矩陣的秩相等。
5 矩陣的等價(jià)、相似以及合同關(guān)系,有下面的幾個(gè)結(jié)論
(1)矩陣A和B是相似的,則矩陣A和B一定是等價(jià)的,反之不一定成立。
(2)矩陣A和B是合同的,則矩陣A和B一定是等價(jià)的,反之不一定成立。
(3)若矩陣A和B均是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣且相似,則矩陣A和B一定是合同的,反之則不一定成立。
參考文獻(xiàn)
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