劉有婷 范德強

鄧宇星在加州大學圣地亞哥分校圖書館前

2006年12月22日，美國《科學》雜志評出了2006年十大科學進展，龐加萊猜想證明被列為首位。龐加萊猜想進入大眾視野始于2000年的千禧年數學會議。在該會議上，數學家們選定了七個“千禧年大獎問題”。美國馬薩諸塞州的克雷研究所將懸賞七百萬美元獎金。每解決其中一個問題，就可以獲得一百萬美元的獎勵。這七個問題分別是NP完全問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、黎曼假設、楊·米爾斯理論、納衛(wèi)爾-斯托可方程、BSD猜想。

“龐加萊猜想是到目前為止唯一一個被解決的千禧年問題?！北本├砉ご髮W數學與統(tǒng)計學院教授鄧宇星介紹。那一年，鄧宇星剛剛參加完高考，這場數學界的狂歡也深深吸引了他的注意力。在龐加萊猜想的指引下，鄧宇星登上了數學之舟，同無數前輩數學家一樣，搖著科研的槳，駛向這片蘊藏無數未知奧秘的數學海洋。

從龐加萊猜想到里奇流研究

龐加萊猜想由法國著名數學家亨利·龐加萊于1904年提出，這個猜想是說：任何單連通的三維閉維流形一定同胚于三維球面。更通俗地說，在一個封閉的三維空間中，如果任何封閉的曲線都能連續(xù)地收縮成一點，那么這個三維空間一定是一個三維球面。作為拓撲學中一個具有本質意義的猜測，龐加萊猜想敘述簡單卻證明困難。無數數學家在證明龐加萊猜想的道路上折戟沉沙。直到2006年，這條路已走了一百余年。

“佩雷爾曼證明龐加萊猜想的關鍵工具就是里奇流?！编囉钚钦f道。盡管龐加萊猜想最終的證明者是佩雷爾曼，但創(chuàng)造里奇流的卻是另一位數學家理查德·漢密爾頓?！皾h密爾頓于1982年引入里奇流分類了具有正里奇曲率的三維閉流形?！编囉钚墙榻B，里奇流是關于度量的拋物方程，是研究微分幾何的重要工具。直觀來說，對于一個給定的幾何體，它在里奇流下會產生形變，在形變的過程中會產生奇點?！巴ㄟ^不斷對奇點做手術，我們讓它繼續(xù)形變，最終演化成一個形狀比較好的幾何體。這也是用里奇流證明龐加萊猜想的思路。”

“里奇流對黎曼幾何和復幾何的研究都有重要意義。里奇流現在仍然是一個活躍的方向?！编囉钚墙榻B，里奇流可以用來研究四維流形的幾何與拓撲（比如11/8猜想，四維光滑龐加萊猜想），研究丘成桐的一致化猜想和極小模型綱領等重要問題。

鄧宇星選擇做數學研究正是受到了龐加萊猜想的影響。“2006年高考完之后，剛好聽到新聞說千禧年七大難題之一的龐加萊猜想被解決了。我比較好奇龐加萊猜想到底是什么？上網查了一些資料，雖然當時也看不懂，但就覺得挺有意思的，感覺數學是一門很有趣的學科。”鄧宇星如是說道。

2006年，立志于考北京大學的鄧宇星在高考時將數學考砸了。那年江西省是先估分填志愿后出高考成績。對自己成績沒有信心的鄧宇星在提前批次報了北京師范大學。結果他的分數比那年的北大線高一分。最終，鄧宇星進入了北京師范大學數學科學學院。剛進大學時，鄧宇星曾考慮過是否要轉到物理系，因為在高考之前他還更偏愛物理?！霸趯W了一年之后，我就感覺自己的思維更適合學數學。數學只需要假設整數系和加減乘除，在此基礎上，每個概念都有嚴格的定義，每個定理都可以通過邏輯推導來證明。很多直觀而深刻的定理也都能給出嚴格的證明，整個體系讓我覺得很神奇、很有用?！编囉钚钦f。

2010年，鄧宇星以優(yōu)異的成績被保送北京大學直接攻讀博士學位，師從陳省身數學獎得主朱小華教授。入學后，朱小華教授建議鄧宇星研究丘成桐的一致化猜測，即具有正的雙全純截面曲率的完備非緊凱勒流形一定全純同胚于復歐式空間。

丘成桐的一致化猜測是復幾何領域非常重要的猜測。這個猜測有40多年的歷史。丘成桐、蕭蔭堂、莫毅明、施皖雄、譚聯(lián)輝、朱熹平、倪磊、陳兵龍、劉鋼等數學家都先后在該猜測中取得過重要進展。讀博前幾年，他對這一問題的研究一直沒有太大進展。但幸運的是，他發(fā)現這期間學到的技巧卻可以用來研究凱勒里奇孤立子。里奇孤立子分類是里奇流研究中的重要問題，利用這些技巧，鄧宇星部分解決了Bennett Chow、呂鵬、倪磊所著的Hamilton’s Ricci flow（《漢密爾頓的里奇流》）書中關于擴散型里奇孤立子的猜測，終于完成了第一篇論文。

和漢密爾頓討論數學問題

“2013年，Simon Brendle證明了三維佩雷爾曼關于穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子唯一性的猜測。這是在自然的條件下得到穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子完整分類的第一個結果。所以當時，穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子的分類也引起了很多人的關注，越來越多人開始研究這個方向。從2014年開始，我主要的精力開始轉到研究里奇孤立子的分類問題上，特別是穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子的分類。”就這樣，鄧宇星調整了科研方向，并迅速邁入了“高速”軌道。

向里奇孤立子發(fā)起挑戰(zhàn)

自佩雷爾曼利用里奇流解決龐加萊猜想以來，如何利用里奇流解決更高維數的幾何與拓撲問題成為里奇流領域的重要問題。而要理解里奇流的演化過程并對里奇流做手術，至關重要的一步是分析里奇流的奇性，也就是分類里奇流的奇點。

分類里奇流的奇點往往歸結為分類這些奇點的自相似解?！袄锲媪髦浮睗h密爾頓將里奇流的奇點分為三大類，而這三類奇點的自相似解分別為：收縮型孤立子、穩(wěn)態(tài)型孤立子和擴散型孤立子。如何分類這些里奇孤立子則成為里奇流研究中的關鍵問題。在佩雷爾曼解決三維龐加萊猜想的論文中，他提出了如下猜測：三維非平凡且體積非塌縮的穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子必然旋轉對稱，即必然是Bryant孤立子。2013年，Simon Brendle證明了這一猜測，他在截面曲率正和漸近柱狀條件下將該結果推廣到高維。他所引入的漸近柱條件包含曲率線性衰減和降維假設，但降維假設定義復雜。

“我們希望在更弱、更自然的條件下得到分類結果?！编囉钚侨缡钦f道。經過幾年的研究，他們終于取得了重要進展。通過引入水平集流，他們得到了水平集的直徑估計，從而能精確地描述穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子的漸近幾何，并最終證明了高維曲率線性衰減、曲率算子非負的非塌縮非平凡的穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子唯一。當維數為4時，曲率算子非負可以弱化為截面曲率非負。不僅如此，他們還完全分類了曲率線性衰減的三維穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子。三維時不需要假設體積非塌縮條件。值得注意的是，三維時，曲率線性衰減條件嚴格弱于體積非塌縮條件。相關結果已經被Journal of the European Mathematical Society、International Mathematics Reseach Notices等著名數學雜志錄用或發(fā)表。Journal of the European Mathematical Society雜志的兩位審稿人對鄧宇星等人的工作一致給予了高度評價，稱“該論文中的結果是目前大于等于四維的穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子最好的分類結果”。

此外，鄧宇星在穩(wěn)態(tài)型凱勒里奇孤立子的剛性研究中取得了重要進展。在用凱勒里奇流研究丘成桐一致化猜測的過程中，經常會出現的一類奇點是雙全純截面曲率非負且體積非塌縮的穩(wěn)態(tài)型凱勒里奇孤立子?！盀榱朔诸愡@類里奇孤立子，我們希望將三維佩雷爾曼猜測推廣到凱勒情形。”為此，鄧宇星考慮了下面的問題，也就是雙全純截面曲率正且體積非塌縮的穩(wěn)態(tài)型凱勒里奇孤立子是否存在？而這個問題也是曹懷東猜測的重要情形，曹懷東猜測雙全純截面曲率正的穩(wěn)態(tài)型凱勒里奇孤立子是唯一的。

和同學游中途島航母

“丘成桐先生的這個猜測是復幾何最重要的猜測之一。曹懷東的猜測是里奇孤立子分類的重要猜測，對丘先生的猜測也有重要作用。20多年來，曹懷東的猜測幾乎沒有任何進展。我們的假設比之多了體積非塌縮條件，體積非塌縮是奇性分析中的自然條件?！弊罱K，利用龐加萊整體坐標系，鄧宇星找到了穩(wěn)態(tài)型凱勒里奇孤立子上一列趨于無窮遠的閉曲線，這列閉曲線的長度在適當的變換后會趨于零，從而證明了這類孤立子是塌縮的。這是凱勒流形上的穩(wěn)態(tài)型里奇孤立子所具有的特殊性質。相關結果已經發(fā)表在Transactions of the American Mathematical Society、Mathematische Annalen等著名數學雜志上。Math Review上的評論表示：“鄧宇星等人的結果是重要的。結果中的截面曲率正條件可以被雙全純截面曲率正替換，該結果也被鄧宇星等人所證明。”

正里奇曲率拼擠的擴散型里奇孤立子的不存在性是鄧宇星團隊第三個重要成果。

2000年，朱熹平和陳兵龍證明了三維截面曲率有界、非負且里奇曲率一致拼擠的完備黎曼流形一定平坦。倪磊猜測高維也有類似的結果，同時倪磊還猜測只要求里奇曲率非負，比截面曲率非負要弱得多。為了用里奇流的辦法解決倪磊的猜測，Bennett Chow、倪磊、呂鵬提出“n維正里奇曲率且里奇曲率一致拼擠的擴散型里奇孤立子不存在”的猜測。

基于上述背景，鄧宇星證明了n維正里奇曲率且里奇曲率一致拼擠的擴散型凱勒里奇孤立子不存在。鄧宇星帶領團隊創(chuàng)新性地把用里奇流研究丘成桐一致化猜測的方法應用到里奇孤立子的研究中，并且觀察到相應技巧在更弱的曲率條件下仍然成立。這一結果證明了Bennett Chow、倪磊、呂鵬猜測在凱勒流形上成立，可用來進一步研究倪磊猜測。文章已于2015年發(fā)表在Mathematische Zeitschrift雜志上。

盡管博士畢業(yè)的時間并不長，但鄧宇星的一系列成果已被國內外同行廣泛關注，相關工作被菲爾茲獎得主Freedman、加州大學圣地亞哥分校Bennett Chow教授、明尼蘇達大學Jiaping Wang教授等引用。鄧宇星在加州大學圣地亞哥分校訪問期間，有了更多機會和國際相關領域的著名數學家交流，而且幸運地見到了“里奇流之父”漢密爾頓，當面討論了里奇流的一些問題。

敢于挑戰(zhàn)，無問西東

數學中有很多公開問題和猜想，這些問題被很多數學家研究過卻長年沒有進展。初學者面對這些問題容易心生畏懼而選擇簡單的問題?！白x博期間，我也經常這樣懷疑自己?！编囉钚腔貞?，讀博最后兩年，他的時間基本全部用來研讀Brendle解決三維佩雷爾曼猜測的工作和佩雷爾曼解決三維龐加萊猜想的工作。尤其是龐加萊猜想，這個難倒了數學領域無數巨匠長達百年的難題。在佩雷爾曼2002年公布其論文時，沒有一位數學家能完全看懂。后來世界各地幾組頂尖數學家們花了整整4年時間，才能理解佩雷爾曼的證明，他們分別撰寫了幾百頁的書或論文來解釋佩雷爾曼的工作。

“為了理解佩雷爾曼解決三維龐加萊猜想的工作并推廣他的技巧，我花了兩年多的時間去學習?！睅装夙摰恼撐挠珠L又難懂，這兩年多時間，鄧宇星完全沉浸在論文的理解與學習中，沒有任何產出，也沒有發(fā)表任何論文，對于當時面臨博士畢業(yè)的他而言，壓力可想而知。

有一段時間，他甚至想過放棄。最終，在導師朱小華教授的支持與鼓勵下，他選擇了堅持。當然，堅持的前提還是因為熱愛?！叭绻麤]有興趣，我肯定無法堅持下來?！编囉钚钦f道，“對于我感興趣的東西，我愿意花很多精力去把它弄明白。尤其當你意識到某個結果很重要而且你又感覺自己能證明它的時候，這時候就有無窮的動力在推動著自己繼續(xù)堅持?！?/p>

在近兩年沒有寫出論文后，臨近博士畢業(yè)的鄧宇星終于得到了一個有意思的結果。但朱老師認為這個結果中的一個條件可以去掉，遲遲不愿意拿去發(fā)表。又過了半年多，已經開始從事博士后研究的鄧宇星才終于去掉了這個條件?！凹词箟毫χ刂?，也不能降低對自己科研成果的要求。”鄧宇星還強調，“想要做出好的數學，有時候就得偏執(zhí)一些?！?/p>

山重水復疑無路，柳暗花明又一村——熬過了最艱難的階段，鄧宇星的研究終于邁入正軌。這幾年來，鄧宇星的科研成果便如雨后春筍般爭先涌出：他先后解決了凱勒流形上的Bennett Chow-倪磊-呂鵬猜測，在曹懷東猜測研究中取得重要進展，改進了Brendle解決三維Perelman猜測的工作，去掉了Brendle高維孤立子分類的降維假設……從博士畢業(yè)以來，短短5年間，他先后主持了兩項國家自然科學基金項目。2020年，他又獲得了國家優(yōu)秀青年科學基金。

穩(wěn)扎穩(wěn)打、踏實邁進，讓鄧宇星在科研道路上走得越發(fā)從容自信?；厥淄渡頂祵W研究的歲月，那些挑戰(zhàn)難題的日子依然歷歷在目。如今回味，他不覺艱苦，沉淀下來的除了挑戰(zhàn)難題的興奮與成就感，還有對數學與日俱增的好奇與興趣。

“數學里的猜想和公開問題都是很難的。把這些問題作為自己的研究方向會很有挑戰(zhàn)。但研究生應該有勇氣去挑戰(zhàn)這些困難，而不是為了畢業(yè)去做一些簡單的問題?！编囉钚潜硎?，即使最終沒有解決，但在挑戰(zhàn)這些高峰的過程中一定會有所收獲?！斑@樣的訓練多了，基礎知識與科研水平自然可以提升?！?/p>

喜歡數學的人也許都難以擺脫“挑戰(zhàn)難題”的通病，鄧宇星同樣如此。解決了一個問題之后又有下一個。11/8猜想、四維光滑龐加萊猜想、丘成桐一致化猜想……都是他未來的目標。對于鄧宇星而言，向著數學高峰前行，挑戰(zhàn)是一件永無止境的事。