分?jǐn)?shù)階Boost變換器的兩種預(yù)測電流控制

王允建， 霍星星， 張 偉

(河南理工大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院, 焦作 454000)

1 引 言

現(xiàn)有變換器的建模，多采用整數(shù)階模型描述[1-5]，實際上，電感電容等器件因損耗、飽和等原因表現(xiàn)為分?jǐn)?shù)階特性.Westerlund等[6]通過實驗手段測定一些不同電解質(zhì)的電容器，結(jié)果表明,這些電容器的電壓電流關(guān)系都具有分?jǐn)?shù)階微分特性；Sch?fer等[7]以RLC振蕩電路為例說明了分?jǐn)?shù)階線圈模型的工作模式，指出繼電器線圈的階次是0.62.基于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，王發(fā)強(qiáng)等[8-13]使用分?jǐn)?shù)階電容，研究了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的電路實現(xiàn)，并進(jìn)一步證實了物理系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階特性.文獻(xiàn)[14]研究了Boost變換器的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)模型，給出采用分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)模型比整數(shù)階模型描述更準(zhǔn)確的結(jié)論.這表明Boost變換器在本質(zhì)上是分?jǐn)?shù)階的，但基于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)研究Boost變換器的控制、系統(tǒng)設(shè)計等的報道較少，因此有必要對分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)及控制進(jìn)行深入的研究.

文獻(xiàn)[15]依據(jù)分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理設(shè)計了控制器，并通過仿真驗證所設(shè)計的控制器具有良好魯棒性，但是只進(jìn)行了數(shù)值仿真，沒有進(jìn)行具體的電路仿真驗證.文獻(xiàn)[16]針對分?jǐn)?shù)階動態(tài)系統(tǒng)設(shè)計了分?jǐn)?shù)階滑模控制器，提高了系統(tǒng)輸出響應(yīng)的快速性和魯棒性.文獻(xiàn)[17]基于分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理和分?jǐn)?shù)階滑模面，設(shè)計了分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)滑?？刂破?文獻(xiàn)[18]在建立了Boost變換器的分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，仿真驗證分?jǐn)?shù)階PID控制器具有良好的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能.但是這些控制算法對參數(shù)調(diào)節(jié)困難，且輸出電壓波動較大.近年來，預(yù)測控制作為一種先進(jìn)的控制理論，相比傳統(tǒng)控制算法具有動態(tài)性能好和無需調(diào)節(jié)參數(shù)的特點，吸引了學(xué)者的研究.

本文在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，建立Boost變換器分?jǐn)?shù)階模型，對分?jǐn)?shù)階PI控制、整數(shù)階預(yù)測控制器和分?jǐn)?shù)階預(yù)測控制作性能對比分析.最后通過Matlab對比仿真，驗證了分?jǐn)?shù)階模型的正確性以及分?jǐn)?shù)階預(yù)測控制的優(yōu)越性能.

2 分?jǐn)?shù)階Boost變換器

分?jǐn)?shù)階Boost變換器是指Boost變換器主電路中含有分?jǐn)?shù)階元件的電路，如圖1所示，含有分?jǐn)?shù)階電感Lα和分?jǐn)?shù)階電容Cβ，α和β分別是分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù)和分?jǐn)?shù)階電容的階數(shù)且0<α<1,0<β<1，電感阻抗表達(dá)式為ZLα=Lαsα，電容阻抗表達(dá)式為ZCβ=1/(Cβsβ).圖1中,vin是輸入電壓;vo是輸出電壓;S是控制開關(guān);Di是二極管;R為負(fù)載電阻.

根據(jù)周期均值的含義，建立分?jǐn)?shù)階Boost變換器的周期均值狀態(tài)方程為

(1)

式中,〈iL〉、〈vo〉、〈vin〉分別為一個開關(guān)周期內(nèi)的電感電流平均值、輸出電壓平均值和輸入電壓平均值;d是開關(guān)S的占空比.

圖1 分?jǐn)?shù)階Boost變換器電路原理圖

當(dāng)系統(tǒng)(1)處于輸出穩(wěn)態(tài)時，可求得Vo=Vin/(1-D)，Io=IL(1-D)，式中Vo、Io、IL、D分別是系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時的輸出電壓、輸出電流、電感電流均值、占空比.在控制過程中假設(shè)輸入電壓Vin不變，則分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(1)的小信號模型為

(2)

對式(2)進(jìn)行基于Caputo定義的拉氏變換，可得輸出電壓對占空比傳函為

(3)

從式(3)可以看出，分?jǐn)?shù)階傳遞不僅與分?jǐn)?shù)階電感和電容的階數(shù)有關(guān)，還與器件參數(shù)值有關(guān).因此,分?jǐn)?shù)階電感和電容的階數(shù)無論是在頻域還是時域都會影響到系統(tǒng)的性能.當(dāng)α=β=1時，式(3)傳函就是整數(shù)階Boost變換器的傳函，從而說明，整數(shù)階系統(tǒng)是分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的特例.根據(jù)式(3)的傳遞函數(shù)，仿真對比相同參數(shù)下整數(shù)階與分?jǐn)?shù)階Boost變換器的頻譜特性，如圖2所示.仿真時參數(shù)設(shè)置為Vo=120 V，L0.8=1.38 ΩS0.8，R=30 Ω，D=0.5，Cβ=4.7 mF，β=1.

由圖2可知,當(dāng)α≤1、β≤1時，在相同器件參數(shù)下，電感或電容的階數(shù)越小，頻帶越寬，通頻帶內(nèi)增益越平滑，相移逐漸平坦，越容易保證系統(tǒng)穩(wěn)定.

(a) β=1時不同α值Bode圖

(b) α=1時不同β值Bode圖

3 預(yù)測控制器設(shè)計

3.1 分?jǐn)?shù)階預(yù)測電流控制

預(yù)測控制作為一種先進(jìn)的控制理論，相比傳統(tǒng)的控制方法具有動態(tài)性能好和無需參數(shù)調(diào)整的優(yōu)點.

令T為采樣周期，其大小等于開關(guān)周期.保持采樣與調(diào)制過程同步，可使得每次采樣都能獲得電感電流的均值.

對(1)式進(jìn)行離散化(PSE法)可得離散模型為

(4)

考慮控制器的一拍延遲，分?jǐn)?shù)階Boost變換器的離散模型修改為

(5)

(6)

同理可得，第k+2周期時的預(yù)測方程為

(7)

(8)

根據(jù)文獻(xiàn)[1]，電感電流指令值iLref可由負(fù)載電流給定

(9)

式中,Vr為輸出電壓給定值.

采用該電流給定值，在負(fù)載和額定輸出電壓不變時，其值是一常數(shù)，電流指令簡單.當(dāng)負(fù)載或電壓給定值突變時，指令電流將階躍性突變，容易引起系統(tǒng)響應(yīng)的較大超調(diào).為了克服指令電流的突變，采用如下思想給定電流指令.

當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時，在一個控制周期上，系統(tǒng)的動態(tài)儲能為零.當(dāng)系統(tǒng)處于過渡過程時，動態(tài)儲能為

(10)

在控制作用下，系統(tǒng)逐漸趨于穩(wěn)定，則動態(tài)儲能逐漸趨于零.所以系統(tǒng)的動態(tài)儲能可以視為一壓縮響應(yīng)PLC(k+1)=γPLC(k)，0<γ<1.

根據(jù)一個控制周期上功率平衡可得，

(11)

則

(12)

綜上可得參考電流指令為

(13)

當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時，vo(k)=Vr，則iLref=γiL(k)+(1-γ)Vr2/Rvin(k)=Vr/(1-D)R.即當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定后，上述兩種給定指令電流是相同的.

上述預(yù)測電流控制本質(zhì)上是分?jǐn)?shù)階的，需要記錄的電壓、電流項較多.對分?jǐn)?shù)階Boost變換器使用分?jǐn)?shù)階預(yù)測電流控制，能夠或得很好的動態(tài)特性，但因需要較多的存儲單元和較大的計算量使得控制器結(jié)構(gòu)復(fù)雜，對硬件要求較高.在對動態(tài)響應(yīng)性能要求不太高時可以考慮整數(shù)階預(yù)測電流控制.

3.2 整數(shù)階預(yù)測電流控制

仿真對比分?jǐn)?shù)階預(yù)測電流控制分?jǐn)?shù)階Boost變換器和整數(shù)階Boost變換器的電感電流工作波形，如圖3所示.由圖3可知，無論是整數(shù)階還是分?jǐn)?shù)階Boost變換器，其電感電流波形都是三角波，當(dāng)開關(guān)頻率和負(fù)載相同時，兩個三角波的相位和直流分量相同，僅幅值不同.在預(yù)測電流控制中，電感電流的幅值信息并不重要，重要的是其直流分量的變化.鑒于此，可將整數(shù)階電流預(yù)測控制器應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階Boost變換器.

圖3 整數(shù)階與分?jǐn)?shù)階電感電流對比圖Fig.3 Comparison of integer and fractional inductor currents

借鑒文獻(xiàn)[1]，整數(shù)階預(yù)測電流控制的第k個控制周期的開關(guān)占空比為

(14)

式中電感電流的預(yù)測值由下式給定

(15)

其中，電感電流指令iLref由(13)式給定.

該整數(shù)階預(yù)測電流控制，僅需記錄三個量，經(jīng)簡單計算得到控制占空比，在控制器結(jié)構(gòu)上比分?jǐn)?shù)階預(yù)測電流控制器簡單很多.

4 仿真分析

4.1 分?jǐn)?shù)階電感的實現(xiàn)

現(xiàn)有的分?jǐn)?shù)階微分方程求解方法主要有解析解[19]和數(shù)值逼近求解兩類.其中電路模擬仿真求解法相比傳統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階微分方程求解方法，具有求解結(jié)果穩(wěn)定準(zhǔn)確，運算速度快等優(yōu)點[20].因此采用電路模擬仿真求解法.

分抗元件的實現(xiàn)方法是利用擬合算法和現(xiàn)有的元器件，在一定頻帶內(nèi)擬合出具有分?jǐn)?shù)階特性的鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，本文的分?jǐn)?shù)階電感采用Oustaloup濾波器[21]逼近其特性.

分?jǐn)?shù)階電感阻抗表達(dá)式如式(16)所示.

ZLα=Lαsα

(16)

當(dāng)s=jω時,

ZLα=Lα(jω)α=

RL+jLL, (0<α<1)

(17)

根據(jù)分?jǐn)?shù)階電感阻抗表達(dá)式(17)，可得幅頻特性和相頻特性表達(dá)式如式(18)和式(19)所示.

ALα(ω)=Lαωα

(18)

(19)

因sα不是有理分式，無法直接實現(xiàn).在此采用Oustaloup算法在一定的頻帶內(nèi)逼近實現(xiàn).當(dāng)分?jǐn)?shù)階電感的電感值Lα=1.38 Ω S0.8，階數(shù)α=0.8時，用Oustaloup算法實現(xiàn)逼近電路的分?jǐn)?shù)階電感傳遞函數(shù)為

1.38×10-3s0.8≈P(s)/Q(s)

(20)

P(s)=13.8s11+2.392×105s10+4.552×

108s9+1.054×1011s8+3.001×1012s7+

1.054×1013s6+4.562×1012s5+2.434×

1011s4+1.601×109s3+1.296×106s2+

127.7s+0.00138

Q(s)=s11+9.252×104s10+9.395×108s9+

1.16×1012s8+1.764×1014s7+3.306×

1015s6+7.637×1015s5+2.175×1015s4+

7.635×1013s3+3.299×1011s2+1.734×

108s+104

將Oustaloup算法實現(xiàn)的此分?jǐn)?shù)階電感傳函轉(zhuǎn)化為電路實現(xiàn)，結(jié)構(gòu)見圖4.圖4中元件參數(shù)為RL1=369.019 Ω，RL2=26.498 Ω，RL3=4.035 Ω，RL4=0.5206 Ω，RL5=67.3 m Ω，RL6=8.7 mΩ，RL7=1.1 mΩ，RL8=144.78 μΩ，RL9=18.585 μΩ，RL10=3.0689 μΩ；電感值為L1=66.42 μH，L2=34.226 μH，L3=67.315 μH，L4=112.14 μH，L5=187.18 μH，L6=311.99 μH，L7=521.2 μH，L8=867.7 μH，L9=1.4 mH，L10=6 mH.

圖4 分?jǐn)?shù)階電感的逼近電路

由式(17)、Oustaloup算法分別繪制ZLα(s)的bode圖，如圖5和圖6所示.由圖5和圖6可以看出，Oustaloup算法在一定的逼近頻帶內(nèi)可以很好地實現(xiàn)對分?jǐn)?shù)階電感的逼近.

圖5 理想的ZLα(s)bode圖： α=0.8Fig.5 Bode diagram of ZLα(s) of ideal: α=0.8

圖6 Oustaloup算法ZLα(s)bode圖Fig.6 Bode diagram of ZLα(s) of Oustaloup arithmetic

4.2 仿真結(jié)果

將圖4所示的分?jǐn)?shù)階電感應(yīng)用于圖1的Boost電路，其他參數(shù)設(shè)置為：輸入電壓vin=60 V，輸出電壓Vr=120 V，負(fù)載R=30 Ω，開關(guān)管工作頻率f=20 kHz，輸出端電容C=4.7 mF，階數(shù)β=1.在Matlab/Simulink環(huán)境下搭建仿真系統(tǒng)，仿真時系統(tǒng)的初始輸出電壓為0，并考察負(fù)載電阻突變情況下的系統(tǒng)性能.

圖7給出了分?jǐn)?shù)階預(yù)測電流控制和分?jǐn)?shù)階PI控制作用下的輸出電壓波形.圖中虛線代表分?jǐn)?shù)階PI控制，實線代表分?jǐn)?shù)階預(yù)測控制.負(fù)載電阻在1 s時刻從30 Ω變化到50 Ω，分?jǐn)?shù)階PI控制下電壓波動為1.7 V，分?jǐn)?shù)階預(yù)測控制下電壓波動為0.15 V.負(fù)載電阻在2 s時刻從50 Ω變化到20 Ω，分?jǐn)?shù)階PI控制下電壓波動為3.65 V，分?jǐn)?shù)階預(yù)測控制下電壓波動為0.5 V.在啟動階段，分?jǐn)?shù)階預(yù)測控制的超調(diào)明顯小于分?jǐn)?shù)階PI控制，且過渡時間短.所以對于分?jǐn)?shù)階Boost變換器，分?jǐn)?shù)階預(yù)測電流控制的效果優(yōu)于分?jǐn)?shù)階PI控制.

圖7 負(fù)載突變仿真波形Fig.7 Load mutation simulation waveform

圖8給出了分?jǐn)?shù)階預(yù)測電流控制和整數(shù)階預(yù)測電流控制作用下的輸出電壓波形.圖8中，虛線代表整數(shù)階預(yù)測控制器，實線代表分?jǐn)?shù)階預(yù)測控制.負(fù)載電阻在1 s時刻從30 Ω變化到50 Ω，分?jǐn)?shù)階預(yù)測控制為0.2 V，整數(shù)階預(yù)測控制下電壓波動為2.5 V.負(fù)載電阻在2 s時刻從50 Ω變化到20 Ω，分?jǐn)?shù)階預(yù)測控制電壓波動為0.32 V，整數(shù)階預(yù)測控制下電壓波動為2.9 V.分?jǐn)?shù)階預(yù)測控制與整數(shù)階預(yù)測控制相比，輸出電壓波動幅度的比較小.

圖8 負(fù)載突變仿真波形Fig.8 Load mutation simulation waveform

通過上述3種控制方法的對比仿真表明，在系統(tǒng)參數(shù)相同時，分?jǐn)?shù)階預(yù)測電流控制抵抗負(fù)載突變能力和調(diào)節(jié)性能方面優(yōu)于其它兩種控制方法.

5 結(jié) 論

本文討論了分?jǐn)?shù)階Boost變換器的兩種預(yù)測電流控制——分?jǐn)?shù)階預(yù)測電流控制和整數(shù)階預(yù)測電流控制.在分?jǐn)?shù)階預(yù)測控制中對電感電流和輸出電壓在一個控制周期上的均值均做一步預(yù)測，充分利用了當(dāng)前一段時間內(nèi)的多個歷史值；而在整數(shù)階預(yù)測控制中僅對電感電流在一個控制周期上的均值做一步預(yù)測，僅利用了當(dāng)前時刻的2個數(shù)據(jù).因此，分?jǐn)?shù)階預(yù)測控制的性能更優(yōu)，但控制器結(jié)構(gòu)復(fù)雜，對硬件設(shè)備的要求高，適用于高性能控制場合.整數(shù)階控制性能雖然不如分?jǐn)?shù)階預(yù)測控制，但控制器結(jié)構(gòu)簡單，計算量小，對硬件設(shè)備的要求相對較低，適用于一般性能的控制場合.對比仿真結(jié)果說明了分?jǐn)?shù)階預(yù)測電流控制能獲得更佳的控制性能.