構(gòu)造相關(guān)函數(shù) 破解一類抽象函數(shù)不等式問(wèn)題

肖志軍

(北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué) 100022)

在近幾年高考和模擬考試中，常有一類抽象可導(dǎo)函數(shù)成為考試的熱點(diǎn)，此類試題難度較大，學(xué)生往往感到無(wú)從下手.若能根據(jù)題目條件構(gòu)造恰當(dāng)?shù)南嚓P(guān)函數(shù)，根據(jù)條件得出所構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、增減性、周期性等基本性質(zhì)，即可巧妙地破解此類抽象函數(shù)不等式問(wèn)題，本文結(jié)合實(shí)例，談?wù)剺?gòu)造哪些相關(guān)函數(shù)，如何構(gòu)造相關(guān)函數(shù).

一、構(gòu)造和差函數(shù)

例2 設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)數(shù)f′(x)，對(duì)任意的x∈R，有f(-x)+f(x)=x2，且x∈(0,+∞)時(shí)，f′(x)>x．若f(2-a)-f(a)≥2-2a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( ).

A．[1,+∞) B．(-∞,1]

C．(-∞,2] D．[2,+∞)

因?yàn)閒(e)=-1，所以g(e)=f(e)+lne=0；所以當(dāng)x∈(0,e)，g(x)<0，當(dāng)x∈(e,+∞)，g(x)>0.

所以當(dāng)x∈(e,+∞)，則不等式f(x)+lnx>0成立.

思路點(diǎn)撥構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-ex，f(2)-f(1)>e2-e.

二、構(gòu)造積函數(shù)

例7 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，且滿足f(x)+xf′(x)>0(f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù))，則不等式(x-1)f(x2-1)

解析構(gòu)造函數(shù)g(x)=xf(x)，其中x>0，則g′(x)=f(x)+xf′(x)>0，所以函數(shù)y=g(x)在定義域(0,+∞)上為增函數(shù).在不等式(x-1)f(x2-1)

故不等式(x-1)f(x2-1)

例8 設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(-∞,0)上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且有2f(x)+xf′(x)>x2，則不等式(x+2020)2f(x+2020)-9f(-3)>0的解集是____.

解析將不等式(x+2020)2f(x+2020)-9f(-3)>0化為(x+2020)2f(x+2020)>(-3)2f(-3)，構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2f(x)，則上式化為g(x+2020)>g(-3).因?yàn)間′(x)=2xf(x)+x2f′(x)，由已知2f(x)+xf′(x)>x2，又x∈(-∞,0)，所以g′(x)<0，g(x)在(-∞,0)上是減函數(shù)，故x+2020<-3，x<-2023.

所以不等式的解集是(-∞,-2023)．

具有特征xf′(x)+f(x)時(shí)，可構(gòu)造g(x)=xf(x)；具有特征xf′(x)+2f(x)時(shí)，可構(gòu)造g(x)=x2f(x)；一般情況，具有特征xf′(x)+kf(x)時(shí)，可構(gòu)造g(x)=xkf(x).

例9 已知奇函數(shù)f(x)和其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域均為R，當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，3f(x)+xf′(x)<0，則不等式(x-1)3f(x-1)-8x3f(2x)<0的解集為( ).

例10 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，其圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)中心對(duì)稱，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，當(dāng)x<-1時(shí)，(x+1)[f(x)+(x+1)f′(x)]<0，則不等式xf(x-1)>f(0)的解集為( ).

A．(1,+∞) B．(-∞,-1)

C．(-1,1) D．(-∞,-1)∪(1,+∞)

解析構(gòu)造函數(shù)g(x)=(x+1)f(x)，則g′(x)=f(x)+(x+1)f′(x).

因?yàn)楫?dāng)x<-1時(shí)，(x+1)[f(x)+(x+1)f′(x)]<0，所以當(dāng)x<-1時(shí)，f(x)+(x+1)f′(x)>0，則g(x)在(-∞,-1)上遞增.因?yàn)楹瘮?shù)f(x) 的定義域?yàn)镽，其圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)中心對(duì)稱，所以函數(shù)f(x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)中心對(duì)稱，則函數(shù)f(x-1)是奇函數(shù)，令h(x)=g(x-1)=xf(x-1),所以h(x)是R上的偶函數(shù)，且在(-∞,0)遞增，由偶函數(shù)的性質(zhì)得：函數(shù)h(x)在(0,+∞)上遞減.因?yàn)閔(1)=f(0),所以不等式xf(x-1)>f(0)化為h(x)>h(1)，即|x|<1，解得-1

具有特征(x+1)f′(x)+f(x)時(shí)，可構(gòu)造g(x)=(x+1)f(x).一般情況，具有特征(x+k)f′(x)+f(x)時(shí)，可構(gòu)造g(x)=(x+k)f(x).

A．(-1,0)∪(1,2019) B．(-2019,-1)∪(1,2019)

C．(0,2019) D．(-1,1)

可知不等式的解集為(0,2019)，故選C．

例12已知定義在R上的連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(4-x)，且f(-2)=0，f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x<2時(shí)，有f(x)+f′(x)>0，則不等式x·f(x)>0的解集為( ).

A．(0,6) B．(-2,0)

C．(-∞,-2) D．(-∞,-2)∪(0,6)

解析構(gòu)造函數(shù)g(x)=exf(x)(x<2)，則g′(x)=exf(x)+exf′(x)=ex[f(x)+f′(x)]>0，g(x)在(-∞,2)單調(diào)遞增，且g(-2)=e-2f(-2)=0，當(dāng)x∈(-∞,-2)時(shí)，g(x)<0;當(dāng)x∈(-2,2)時(shí)，g(x)>0.又ex>0，當(dāng)x∈(-∞,-2)時(shí)，f(x)<0;當(dāng)x∈(-2,2)時(shí)，f(x)>0，又f(x)滿足f(x)=f(4-x)，所以f(x)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，所以當(dāng)x∈(-2,6)時(shí)，f(x)>0;當(dāng)x∈(-∞,-2)∪(6,+∞)時(shí)，f(x)<0.

解得x∈(-∞,-2)∪(0,6)，故選D.

具有特征f′(x)+f(x)時(shí)，可構(gòu)造g(x)=exf(x)；具有特征f′(x)+2f(x)時(shí)，可構(gòu)造g(x)=e2xf(x).一般情況，具有特征f′(x)+kf(x)時(shí)，可構(gòu)造g(x)=ekxf(x).

例13 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足e4(x+1)f(x+2)=f(-x)，且對(duì)任意的x≥1都有f′(x)+2f(x)>0(其中f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù))，則下列一定判斷正確的是( ).

A．e2f(2)f(2)

C．e4f(4)f(-2)

思路點(diǎn)撥構(gòu)造函數(shù)g(x)=e2xf(x)，選B．

三、構(gòu)造商函數(shù)

所求不等式的解集為(1,+∞).

例15設(shè)f′(x)是偶函數(shù)f(x)(x≠0)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，xf′(x)-2f(x)>0，則不等式4f(x+2019)-(x+2019)2f(-2)<0的解集為( ).

A．(-∞,-2021)

B．(-2021，-2019)∪(-2019，-2017)

C．(-2021,-2017)

D．(-∞，-2019)∪(-2019，-2017)

例16 設(shè)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x≠0)的導(dǎo)函數(shù),f(-1)=0,當(dāng)x<0時(shí),xf′(x)-3f(x)>0，則使得f(x)<0成立的x的取值范圍是( ).

A．(-1,0)∪(0,1) B．(-∞,-1)∪(1,+∞)

C．(-1,0)∪(1,+∞) D．(-∞,-1)∪(0,1)

例17已知f(x)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)任意的x∈R，均有f(x)>f′(x)，則有( ).

A．e2020f(-2020)e2020f(0)

B．e2020f(-2020)

C．e2020f(-2020)>f(0)，f(2020)>e2020f(0)

D．e2020f(-2020)>f(0)，f(2020)

A．(-∞,1) B．(-∞,e) C．(1,+∞) D．(e,+∞)

四、構(gòu)造混合型函數(shù)

例19 設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若f(x)+f′(x)>1，f(0)=2018，則不等式exf(x)>ex+2017(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集為_(kāi)___.

解析構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex[f(x)-1]，則g′(x)=exf(x)+exf′(x)-ex=ex[f(x)+f′(x)-1].

因?yàn)閒(x)+f′(x)>1，所以f(x)+f′(x)-1>0，即g′(x)>0，g(x)在R上單調(diào)遞增.因?yàn)間(0)=f(0)-1=2018-1=2017，所以原不等式可化為g(x)>g(0).

由g(x)的單調(diào)性得x>0，所求解集為(0,+∞).

具有特征f(x)-1+f′(x)時(shí)，可構(gòu)造g(x)=ex[f(x)-1]；具有特征2[f(x)-1]+f′(x)時(shí)，可構(gòu)造g(x)=e2x[f(x)-1].一般情況，具有特征k[f(x)-1]+f′(x)時(shí)，可構(gòu)造g(x)=ekx[f(x)-1]；具有特征k[f(x)-m]+f′(x)時(shí)，可構(gòu)造g(x)=ekx[f(x)-m].

例20 已知函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若2f(x)+f′(x)≥2，且f(0)=8，則不等式f(x)-7e-2x>1的解集為( ).

A．(-∞,0) B．(0,+∞)

C．(-∞,-1)∪(0,+∞) D．(1,+∞)

解析構(gòu)造函數(shù)g(x)=e2x[f(x)-1]，選B.

例21已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f′(x)-f(x)<2ex，其中f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若f(2)=4e2，則f(x)>2xex的解集為( ).

A．(-∞,1) B．(-∞,2)

C．(1,+∞) D．(2,+∞)

所以f(x)>2xex的解集為(-∞,2).故選B.

例22已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有(1-x)f(x)+xf′(x)>0成立，且y=f(x+1)-e是奇函數(shù)，不等式xf(x)-ex>0的解集是____.

例23 設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若f(x)-f′(x)<1，f(0)=2016，則不等式f(x)>2015·ex+1(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集為( ).

A．(-∞,0)∪(0,+∞) B．(0,+∞)

C．(2015,+∞) D．(-∞,0)∪(2015,+∞)

構(gòu)造函數(shù)是一種創(chuàng)造性的方法，它較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，滲透著猜想、實(shí)驗(yàn)、特殊化、探索等數(shù)學(xué)研究手段．同時(shí)，構(gòu)造函數(shù)又是一種行之有效的方法，具有較大的靈活性和技巧性，根據(jù)要解決的問(wèn)題，充分利用已知條件，靈活轉(zhuǎn)化、恰當(dāng)構(gòu)造，有的放矢，從而使問(wèn)題得以突破．