徐培亮 歐陽群英 張潔

【摘要】歐拉圖解在邏輯學(xué)教學(xué)中運(yùn)用十分廣泛，其目的是使抽象晦澀的邏輯推理變得更具體、更清晰、更形象，以易于學(xué)生理解和掌握。歐拉圖解遵循一定的判定依據(jù)、步驟和注意事項，在三段推理教學(xué)中，它可以加深學(xué)生對三段論公理的全面理解和對三段論規(guī)則的靈活運(yùn)用。但該方法也存在著畫圖時間冗長、畫圖過程繁瑣、缺乏簡明性等缺點(diǎn)，需通過建立“案例主導(dǎo)”教學(xué)模式，精心設(shè)計課前預(yù)習(xí)，綜合運(yùn)用多媒體資源等方式手段彌補(bǔ)不足。

【關(guān)鍵詞】歐拉圖? 三段論? 邏輯學(xué)

【Abstract】Euler diagram is widely used in logic teaching. Its purpose is to make the abstract and obscure logical reasoning more specific， clearer and more vivid， so as to be easy for students to understand and master. Euler diagram follows certain judgment basis， steps and precautions. In the teaching of syllogism reasoning， it can deepen students comprehensive understanding of syllogism axioms and flexible application of syllogism rules. However， this method also has some disadvantages， such as long drawing time， cumbersome drawing process and lack of simplicity. It needs to make up for the deficiency by establishing a“case led” teaching mode， carefully designing preclass preview， and comprehen?sively using multimedia resources.

【Keywords】Euler diagram; Syllogism; Logic

【基金項目】陸軍工程大學(xué)基礎(chǔ)部教育教學(xué)課題“軍校學(xué)員邏輯思維訓(xùn)練體系研究”（JCBJYJX20YB002）。

【中圖分類號】G64 ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）19-0153-03

用圓圈表示概念外延的大小及相互關(guān)系的方法最早是由18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Leonhard Euler，1707-1783）提出的。這種方法借助圖形直觀地顯現(xiàn)了概念間的邏輯關(guān)系，被后人稱為“歐拉圖解”。

歐拉圖解在邏輯學(xué)的演繹推理教學(xué)中多次運(yùn)用，除概念間的關(guān)系外，還可判定性質(zhì)命題的推理和三段論的推理是否有效。本文的研究對象即歐拉圖解在三段論推理教學(xué)中的應(yīng)用。

一、歐拉圖解的判定依據(jù)、步驟和注意事項

歐拉圖解作為邏輯推理的一種方法，同樣遵循前提推出結(jié)論的過程需符合邏輯的規(guī)律和規(guī)則這一原則。

（一）歐拉圖解的判定依據(jù)

一個推理，如果其前提為真，用歐拉圖解判定其結(jié)論也必然為真，則這個推理的形式是有效的;一個推理，如果前提為真，用歐拉圖解判定其結(jié)論必然為假，則這個推理的形式是無效的;一個推理，如果前提為真，用歐拉圖解判定其結(jié)論并非必然為真，則這個推理的形式也是無效的。

（二）歐拉圖解的步驟

根據(jù)判定依據(jù)，用歐拉圖解判定一個推理形式是否有效，首先假定推理的前提為真，然后用歐拉圖畫出前提中涉及到的所有概念之間的關(guān)系;其次，用歐拉圖再畫出結(jié)論中涉及到的所有概念之間的關(guān)系;再次，用前提中概念之間的關(guān)系驗(yàn)證結(jié)論中概念之間的關(guān)系是否必然為真，如果必然為真，則可判定推理形式有效，如果必然為假或并非必然為真，則可判定推理形式無效;最后，作出判定的結(jié)論。

（三）歐拉圖解的注意事項

依據(jù)上述步驟，用歐拉圖解判定推理形式是否有效應(yīng)注意以下三點(diǎn)：

1.準(zhǔn)確畫圖

準(zhǔn)確畫圖包括“質(zhì)”和“量”兩方面的要求。一是能夠用圖形無誤地表示前提和結(jié)論所描述的命題邏輯，此為“質(zhì)”;二是能將前提和結(jié)論所描述的所有命題邏輯無遺漏地表示出來，此為“量”。

2.認(rèn)真識圖

在保質(zhì)保量準(zhǔn)確畫圖的基礎(chǔ)上，假定所有的表示前提命題邏輯的歐拉圖為真的情況下，認(rèn)真識別所有的表示結(jié)論命題邏輯的歐拉圖的真假，特別是反映同一關(guān)系、包含關(guān)系、交叉關(guān)系的歐拉圖，判定它們是否清晰、精準(zhǔn)、全面地囊括了前提推導(dǎo)出的種種。

3.謹(jǐn)慎判定

如果表示結(jié)論命題邏輯的歐拉圖在前提為真的所有歐拉圖下皆為真，那么就可以判定結(jié)論必然為真，此推理形式有效;如果表示結(jié)論命題邏輯的歐拉圖在前提為真的所有歐拉圖下皆為假，那么就可以判定結(jié)論必然為假，此推理形式無效;如果表示結(jié)論命題邏輯的歐拉圖在前提為真的所有歐拉圖下有的為真，有的為假，那么就可以判定結(jié)論并非必然為真，此推理形式無效。

二、歐拉圖解在三段論推理教學(xué)中的運(yùn)用

三段論是由兩個包含著一個共同項的性質(zhì)判斷出發(fā)，推出一個新性質(zhì)判斷的推理。因?yàn)樗齻€性質(zhì)判斷（直言判斷），又稱直言三段論。任何一個三段論都包含著三個項：大項（P）、小項（S）和中項（M）。其中，中項（M）即是在前提中都出現(xiàn)，而在結(jié)論中不出現(xiàn)的項。①

三段論推理的依據(jù)是三段論公理和三段論規(guī)則（包括一般規(guī)則和特殊規(guī)則），只有符合三段論公理和三段論規(guī)則的三段論推理才是有效的。

然而在具體教學(xué)中，教員費(fèi)了大力氣備課，但仍感到講得無趣，學(xué)員也努力集中精力聽講，可依舊覺得晦澀難以理解。而用歐拉圖解判定三段論推理則可讓沉悶的課堂“活”起來，加深學(xué)生對公理的全面理解和對規(guī)則的靈活運(yùn)用。

例如，現(xiàn)行的邏輯學(xué)教材在闡述三段論公理時都用到了三段論的結(jié)構(gòu)式來表達(dá)：

所有M是P，? ? ? ? ? ? ? ? 所有M不是P，

所有S是M，? ? ? ? ? ? ? ? 所有S是M，

所以，所有S是P。? ? ? ? 所以，所有S不是P。

（結(jié)構(gòu)式一）? ? ? ? ? ? ? ? ?（結(jié)構(gòu)式二）

雖然這兩個結(jié)構(gòu)式準(zhǔn)確反映了“對一類事物的全部有所斷定，那么對該類中任一事物也必定有所斷定”的公理內(nèi)容，但結(jié)構(gòu)式仍是以文字為基礎(chǔ)對公理內(nèi)容進(jìn)行翻譯的，其本質(zhì)上還需學(xué)習(xí)者在頭腦中自行聯(lián)想轉(zhuǎn)化，以便吸收接受。

而如果用歐拉圖解將公理內(nèi)容直接展現(xiàn)出來，則更易于讓學(xué)習(xí)者加深理解，如圖1、圖2。

圖1、圖2是大部分教材在闡釋三段論公理時所采用的歐拉圖，但筆者認(rèn)為，這兩幅圖并沒有全面地解釋公理內(nèi)容。因?yàn)楣碇猩婕暗娜椄拍钪g不僅存在著包含關(guān)系，還存在著同一關(guān)系。而圖1反映的P、M、S之間的關(guān)系和圖2中反映的M、S之間的關(guān)系皆為包含關(guān)系。

而如果M和S是同一關(guān)系的話，那歐拉圖解三段論公理內(nèi)容應(yīng)如圖3、圖4所示。

同樣，對于結(jié)構(gòu)式一而言，如果P和M是同一關(guān)系而M和S是包含關(guān)系的話，那歐拉圖應(yīng)如圖5所示;如果P、M、S之間互為同一關(guān)系的話，那歐拉圖應(yīng)如圖6所示。

圖1—圖6是三段論公理完整的歐拉圖解，這六張圖不僅全面地闡釋了公理內(nèi)容，也巧妙地將概念與推理間的知識點(diǎn)聯(lián)結(jié)起來，既加深了學(xué)生對公理的深入理解，也凸出了課程嚴(yán)密的邏輯特點(diǎn)。

再如，這樣一個三段論結(jié)構(gòu)式：

MIP

MIS

SAP

這是一個三段論第三格的結(jié)構(gòu)式，如果根據(jù)三段論的規(guī)則來判定，這個推理形式很明顯是無效的。但在沒有掌握三段論的規(guī)則前，學(xué)生很難通過三段論公理來判定這一推理是否有效。

而如果要講解三段論第三格的規(guī)則②，教師一般會采用反證法來證明，即假設(shè)小前提是否定的，根據(jù)“前提中有一否定，結(jié)論必否定”的一般規(guī)則可知結(jié)論是否定的，則P是周延的，再根據(jù)“在前提中不周延的項，在結(jié)論中不得周延”的一般規(guī)則可推P在前提中周延，則大前提為否定命題。這樣一來，大小前提都為否定命題，又違反了“兩否定前提不能得結(jié)論”的一般規(guī)則。所以，假設(shè)不成立，可證明小前提必須肯定。那么，S在前提中就不周延，同理，S在結(jié)論中也不得周延，所以，結(jié)論只能是特稱命題。至此，才算將第三格的規(guī)則講解完整。

但整個推導(dǎo)過程建立在三段論的一般規(guī)則基礎(chǔ)之上，用到了七個一般規(guī)則中的三個。學(xué)生只有扎實(shí)掌握三段論的一般規(guī)則才能夠使頭腦高速旋轉(zhuǎn)，調(diào)動全部思維在頭腦中建立抽象的推導(dǎo)流程框架，然后才能順利理解特殊規(guī)則的推導(dǎo)。整個學(xué)習(xí)雖“燒腦”，但也增加了理解的難度，不利于調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性。

而如果用歐拉圖解來驗(yàn)證這個三段論是否有效則會使學(xué)習(xí)變得更直觀、更清晰、更具體，使課堂氛圍會活躍起來，學(xué)習(xí)效果也會自然提高。

教師引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確畫出該三段論大小前提和結(jié)論所涉及的所有歐拉圖，然后由學(xué)生識別驗(yàn)證前提與結(jié)論的歐拉圖的真假關(guān)系，如圖7所示。

從圖7可以看出，大前提MIP為真的歐拉圖有A、B、C、D四個，小前提MIS為真的歐拉圖有a、b、c、d四個，結(jié)論SAP為真的歐拉圖有ⅰ、ⅱ兩個。把MIP和MIS的歐拉圖結(jié)合起來共有16個組合，而能得到結(jié)論ⅰ或ⅱ的組合只有2個（A和a、B和c），其他14個組合或者必然得不出結(jié)論，或者不必然得出結(jié)論。所以，根據(jù)歐拉圖解的判定依據(jù)，該三段論的推理是無效的。

三、歐拉圖解的優(yōu)劣及教學(xué)運(yùn)用策略

從前文所述可以看出，運(yùn)用歐拉圖解，可以從圖形中直觀清晰地判定出三段論推理是否有效，提升了教學(xué)的趣味性。同時，將歐拉圖解與探究式學(xué)習(xí)結(jié)合起來，增加了課堂互動，促進(jìn)學(xué)生深度參與課堂，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和創(chuàng)造性，提升了學(xué)習(xí)熱情和興趣。而學(xué)生運(yùn)用歐拉圖解必然要嚴(yán)格遵循其判定依據(jù)、步驟和注意事項，這期間逐步養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃急嫠季S和務(wù)實(shí)的求知精神，又實(shí)現(xiàn)了課程思政的目的。

然而，運(yùn)用歐拉圖解，我們也看到了它的劣勢：如畫圖過程耗時，遇到繁瑣情況，只能等到所有圖形全部畫完才能進(jìn)行識圖和判定，而使用圖形過多又使得該方法缺乏簡明性，造成課時冗長，影響授課進(jìn)度。

那么該如何揚(yáng)長避短，發(fā)揮歐拉圖解在教學(xué)中的最大效益呢？

首先，建立“案例主導(dǎo)”的教學(xué)模式。將歐拉圖解與案例主導(dǎo)相結(jié)合，選擇貼近學(xué)生生活和專業(yè)的鮮活案例作為教學(xué)資源，運(yùn)用客觀生動的案例使歐拉圖反映的概念變抽象為具體;同時通過案例創(chuàng)設(shè)情境，學(xué)生不再囿于純理論的分析，而是以特定的身份真實(shí)感受邏輯推理，促進(jìn)學(xué)生的獨(dú)立思考能力和批判性思維能力得到進(jìn)一步提升。例如，前文所列舉的三段論第三格結(jié)構(gòu)式，可以結(jié)合當(dāng)下疫情防控的熱點(diǎn)時事展開教學(xué)，將某地疫情后網(wǎng)絡(luò)上的傳言作為剖析的具體案例：

某機(jī)場部分工作人員是新冠病毒肺炎感染者，

某機(jī)場部分工作人員是Z城人，

所以，Z城人都是新冠病毒肺炎感染者。

將結(jié)構(gòu)式情境化，增強(qiáng)了課堂對學(xué)生的吸引力，以具體概念畫圖，學(xué)生的感官目標(biāo)更明確，參與熱情也自然會提高。

其次，充分優(yōu)化課前預(yù)習(xí)的教學(xué)設(shè)計。學(xué)員在課前完成兩項預(yù)習(xí)任務(wù)，一是仔細(xì)閱讀教材三段論相關(guān)知識點(diǎn)的內(nèi)容，對閱讀中產(chǎn)中的推理疑問嘗試運(yùn)用歐拉圖解判定，帶著未能解決的問題進(jìn)入課堂尋找答案;二是完成教師安排的線上知識點(diǎn)測試題，自測歐拉圖解預(yù)習(xí)情況。教師在課前通過線上測試結(jié)果研判學(xué)生對歐拉圖解的掌握情況，有針對性地調(diào)整授課內(nèi)容和計劃，提高課堂的有效利用率，以彌補(bǔ)畫圖耗時的不足。

最后，綜合運(yùn)用多媒體教學(xué)技術(shù)和軟件。筆者前期在本校，面向?qū)W習(xí)“邏輯學(xué)基礎(chǔ)”課程的部分學(xué)生開展了一項問卷調(diào)查。結(jié)果顯示，88.13%的受訪者認(rèn)為，采用音頻、視頻等多媒體教學(xué)資源可以提高知識習(xí)得的效果。而運(yùn)用PS、CAD、Premiere等制圖、音視頻軟件制作教學(xué)資源可以最大限度發(fā)揮歐拉圖解的優(yōu)勢，使圖形更鮮活更清晰，滿足學(xué)生學(xué)習(xí)需求，符合認(rèn)知規(guī)律，更利于準(zhǔn)確識圖和精準(zhǔn)判定。

注釋：

①南開大學(xué)哲學(xué)院邏輯學(xué)教研室.邏輯學(xué)基礎(chǔ)教程（第三版）[M].天津：南開大學(xué)出版社，2014：89.

②三段論第三格規(guī)則：小前提必肯定，結(jié)論必特稱。

參考文獻(xiàn)：

[1]汪柏樹.性質(zhì)命題推理有效性的歐拉圖解法判定[J].黃山學(xué)院學(xué)報，2010，12（1）：54-62.

[2]武慶榮.案例教學(xué)法在法律邏輯學(xué)課程教學(xué)中的有效應(yīng)用[J].貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2017，35（5）：54-57.

[3]文穎豐.多媒體技術(shù)在“法律邏輯學(xué)”中的應(yīng)用研究[J].新課程研究，2020（18）：19-20.

作者簡介：

徐培亮（1982年-），男，漢族，黑龍江哈爾濱人，陸軍工程大學(xué)基礎(chǔ)部人文教研室講師，文學(xué)碩士，研究方向：邏輯學(xué)教學(xué)、軍事寫作教學(xué)。