深入教材，挖掘教材，讓問題解決“有法可依”

岑鳳鸞

【中圖分類號(hào)】G633.6 ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2021）42-0125-03

閱讀文章[1]《“函數(shù)與方程”教學(xué)設(shè)計(jì)的研究》后，深有感觸。作者對(duì)這節(jié)課的教材分析和課堂實(shí)施做了深入細(xì)致的研究，使得閱讀者學(xué)有所得，讀有所獲，收獲頗豐。作為新課標(biāo)在函數(shù)中增設(shè)的內(nèi)容，必有很多為師者進(jìn)行了精心研讀、研討，作為一線教師，筆者也在此對(duì)課題的引入、下零點(diǎn)定義時(shí)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)思想方法、零點(diǎn)存在性定理作一點(diǎn)思考（附：筆者所在學(xué)校用的教材是人教A版），不當(dāng)之處，敬請(qǐng)同仁們批評(píng)指正。

1.課標(biāo)要求

1.1 模塊要求

函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。函數(shù)的思想方法將貫穿于高中數(shù)學(xué)課程的始終。學(xué)生將學(xué)習(xí)利用函數(shù)的性質(zhì)求方程的近似解，體會(huì)函數(shù)與方程的有機(jī)聯(lián)系。因此，我們的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生能利用函數(shù)的思想來解決方程的解的問題，即將方程納入函數(shù)系統(tǒng)。

1.2 教學(xué)要求

（1）結(jié)合二次函數(shù)的圖像，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系。（2）根據(jù)具體函數(shù)的圖像，能夠借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法。（第二課時(shí)）

2.課題的引入

2.1 教材對(duì)比

人教A版：通過學(xué)生熟悉的二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖像與一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）引出函數(shù)的零點(diǎn)和連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理。

人教B版：通過學(xué)生熟悉的二次函數(shù)y=x2-x-6的圖像，分析y=0，y>0，y<0時(shí)，自變量x的取值，經(jīng)對(duì)比給出了零點(diǎn)的概念，強(qiáng)調(diào)了零點(diǎn)兩端的函數(shù)值，零點(diǎn)存在性定理不突出。

蘇教版：

問題：（1）利用函數(shù)圖像能求出方程0.84x=0.5的近似解嗎？（2）利用什么方法可求出方程lgx=3-x的近似解？

說明一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的值為0時(shí)自變量x的值，直接引出了零點(diǎn)的定義。零點(diǎn)存在性定理不明顯。

北師大版：

實(shí)例分析方程x2-x-6=0的解的存在，利用圖像說明二次函數(shù)與相應(yīng)的一元二次方程的根的關(guān)系，抽象概括出了零點(diǎn)的定義，北師大版利用較大的篇幅強(qiáng)調(diào)了數(shù)形結(jié)合，突出了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，指明了確定方程的解可以通過函數(shù)的零點(diǎn)來解決，與課標(biāo)要求相呼應(yīng)。零點(diǎn)存在性定理不明顯。

2.2 課題引入的思考

我們可以看到，不管是哪種教材版本，都是以二次函數(shù)的圖像和相應(yīng)的一元二次方程的根之間的關(guān)系來抽象概括出零點(diǎn)的定義以及零點(diǎn)存在性定理，可見“三個(gè)二次”在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位非同一般。

引入設(shè)想：

請(qǐng)同學(xué)們以最快的速度解下列方程：

（1）x2-2x-3=0 （2）x2-2x+1=0

（3）x2-2x+3=0 （4）lnx+2x-6=0

在學(xué)生整齊的回答中突然一下寂靜了下來，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)第（4）題根本無法用公式或自己熟悉的方法來求解。這達(dá)到了我們預(yù)期的目標(biāo)，可以切入主題！我們得回到自己熟悉的題目去尋找解答方法。

通過設(shè)置題組，從學(xué)生熟悉的問題到陌生的問題，從熟悉的環(huán)境到陌生的環(huán)境，據(jù)皮亞杰理論，已有的圖式不能應(yīng)對(duì)眼前的問題，這就產(chǎn)生了一種不平衡狀態(tài)，即已有的經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)在遇到的問題之間產(chǎn)生了不平衡，學(xué)生自然地試圖通過某些方式來減少這種不平衡，比如關(guān)注引起不平衡的刺激、建立新的圖式，或者調(diào)整舊的圖式等，直至達(dá)到一種新的平衡。按照皮亞杰的觀點(diǎn)為，學(xué)習(xí)要依賴于這個(gè)過程。只有出現(xiàn)不平衡時(shí)，孩子才有機(jī)會(huì)成長和發(fā)展。同伴間的相互作用，尤其是爭(zhēng)論和討論，有助于理清思維，使其更加合乎邏輯。讓學(xué)生置身于一種與他們已有的世界觀相矛盾的活動(dòng)事件或資料中，這是提升其認(rèn)知發(fā)展的有效方式。

3.求函數(shù)零點(diǎn)的方法歸納

在人教A版中，以黑體字強(qiáng)調(diào)了

方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根

？圳函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸有交點(diǎn)

？圳函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)。

實(shí)際上我們還可以優(yōu)化為：

方程f（x）=0的實(shí)數(shù)解就是函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)，也就是函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

教材給了我們求函數(shù)零點(diǎn)的方法有兩種：

（1）解其相應(yīng)的方程f（x）=0;（2）圖像法：作出函數(shù)y=f（x）的圖像，尋找圖像與x軸的交點(diǎn)。[這個(gè)方法在學(xué)生學(xué)完導(dǎo)函數(shù)后判斷比較復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)會(huì)用得上，如（2017年2月廣東省江門一模）設(shè)函數(shù)f（x）=ex-ax，a是常數(shù)。（Ⅱ）討論f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。]

拓展：只是討論零點(diǎn)（方程的解）個(gè)數(shù)時(shí)，圖像法的地位顯得更加突出：函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸交點(diǎn)即為函數(shù)y=f（x）的圖像與直線y=0的交點(diǎn)。

如：判斷方程lnx+2x-6=0的解的個(gè)數(shù)。

分析：緊扣兩種方法，方程移項(xiàng)得lnx=-2x+6，所以方程的解的個(gè)數(shù)即為兩個(gè)函數(shù)y=lnx與y=-2x+6的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

波利亞指出：教師不僅要教給學(xué)生知識(shí)，并且要教給他們“技能”、思維方法和有條不紊的工作習(xí)慣。對(duì)教材的思想方法，我們作為老師應(yīng)該能夠挖掘到，而不是空降給學(xué)生，要讓他們感覺得到數(shù)學(xué)也是“有法可依，有法必依，執(zhí)法必嚴(yán)，違法必究”的。

4.零點(diǎn)存在性定理

零點(diǎn)存在性定理既是本節(jié)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。重在于判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間要用它，尋找方程的近似解要用它;難在于如何從圖像特征、性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子來量化。

4.1 定理的獲得

教材通過二次函數(shù)的圖像分析零點(diǎn)的兩端點(diǎn)值，由特殊歸納出一般的結(jié)論，集體備課時(shí)很多老師都認(rèn)為這個(gè)過渡比較平淡，學(xué)生沒覺得有什么新的東西，因?yàn)槎魏瘮?shù)的零點(diǎn)通過解方程就可以解決，得出的定理也沒有給學(xué)生的心里激起什么大的波瀾，還感覺太草率了。其實(shí)教材里面還有一句話：同學(xué)們可以任意畫幾個(gè)函數(shù)圖像，觀察圖像，看看是否能得出同樣的結(jié)果。課標(biāo)沒有要求嚴(yán)格證明定理，那我們應(yīng)該多些圖形來讓學(xué)生直觀感知?？捎脦缀萎嫲寤蚱渌畔⒓夹g(shù)將我們課題引入時(shí)用的函數(shù)y=x2-2x-3，y=x2-2x+1，y=x2-2x+3，y=lnx+2x-6再加上同學(xué)們學(xué)過的函數(shù)如一次函數(shù)y=-2x+6，反比例函數(shù)y=，對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2x，指數(shù)函數(shù)y=2x一字排開作出其圖像，對(duì)比分析，可以很清楚地得到定理：

一般地，我們有：

如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個(gè)c也不是方程f（x）=0的根。

4.2 定理的辨析

定理認(rèn)知：

條件：（1）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線;（2）f（a）·f（b）<0。

結(jié)論：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)。

很明顯，在“函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線”大前提下，“f（a）·f（b）<0”是“函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)”的充分不必要條件。

筆者課堂上在這一環(huán)節(jié)學(xué)生討論得非常熱烈，因?yàn)樵谏鲜霭藗€(gè)函數(shù)的圖像中，我要求他們除了函數(shù)y=lnx+2x-6的圖像外，其他全部親手在草稿紙上作圖，再把老師用幾何畫板作的函數(shù)y=lnx+2x-6圖像“依葫蘆畫瓢”畫了上去（圖略）。

現(xiàn)歸納學(xué)生提出的問題：

問題1.連續(xù)問題：

對(duì)比以上圖像，教材第92頁習(xí)題3.1A組有個(gè)函數(shù)圖像（如右圖）也不連續(xù)，易知f（3）·f（4）<0，但它有零點(diǎn)x0∈（3，4）。

解析：注意定理?xiàng)l件，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，此圖像中，函數(shù)f（x）圖像在[3，4]，甚至[1，6]內(nèi)連續(xù)。

問題2.定理中的條件是f（a）·f（b）<0時(shí)函數(shù)有零點(diǎn)，但在函數(shù)y=x2-2x+1圖像中，f（0）·f（2）>0，函數(shù)也有零點(diǎn)1∈（0，2）。

解析：函數(shù)y=x2-2x+3圖像中有f（a）·f（b）>0，但函數(shù)沒有零點(diǎn)，只能說f（a）·f（b）<0條件下保證函數(shù)有零點(diǎn)，而f（a）·f（b）>0不能保證，我們要摒棄它。

問題3.有討論了f（a）·f（b）的值為正、負(fù)的情況，那 f（a）·f（b）=0呢？

解析：f（a）·f（b）=0時(shí)，x=a或x=b是函數(shù)的零點(diǎn)。

問題4.由圖可知逆定理不成立（學(xué)生未學(xué)到充分必要條件）

問題5.結(jié)論中：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)。究竟有幾個(gè)零點(diǎn)？

解析：觀察圖像可知，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間[a，b]是單調(diào)函數(shù)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)唯一，否則不唯一。

問題6.條件中給的是閉區(qū)間[a，b]，而結(jié)論中出現(xiàn)的是開區(qū)間（a，b），為什么？

解析：由于條件f（a）·f（b）<0，零點(diǎn)不可能在端點(diǎn)處產(chǎn)生，所以零點(diǎn)c∈（a，b）。

定理是經(jīng)過數(shù)學(xué)證明確認(rèn)其真實(shí)性的數(shù)學(xué)命題，是解決數(shù)學(xué)問題的基本依據(jù)。對(duì)教材中的每一個(gè)定理，我們都應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真剖析其結(jié)構(gòu)（條件、結(jié)論）、弄清楚條件與結(jié)論及其內(nèi)在聯(lián)系。經(jīng)過課堂上的一輪激烈的討論、切磋，使得學(xué)生對(duì)這個(gè)定理把握到位，理解得足夠透徹，打磨清晰，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想，經(jīng)歷了觀察、分析、歸納、概括、特殊到一般的過程，學(xué)習(xí)能力得到一定的提高。

4.3定理的應(yīng)用

數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)是為了應(yīng)用，零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用主要是第二課時(shí)，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值。本次內(nèi)容可設(shè)置如下問題：

例題：（教材第88頁例1改編）求函數(shù)f（x）=lnx+2x-6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并指出零點(diǎn)所在的大致區(qū)間。

練習(xí)：教材第88頁練習(xí)題。

5.最后寄語

緊扣教材，緊扣課標(biāo)，我們的教與學(xué)、高考備考就有了準(zhǔn)確的方向！

參考文獻(xiàn)：

[1]林偉民.“函數(shù)與方程”教學(xué)設(shè)計(jì)的研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2016（4）：26-28.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：人民教育出版社，2003：15