繆敏珠 黃興豐
摘要:已有的很多研究表明,學(xué)生學(xué)習(xí)分數(shù)時,從關(guān)系到對象的認識,要經(jīng)歷一段曲折而艱辛的歷程。為了促進學(xué)生從關(guān)系到對象的發(fā)展,可以利用長度模型(如紙帶、刻度尺)過渡,最終讓學(xué)生在數(shù)射線(數(shù)軸的非負半軸)上找到表示分數(shù)的點。對此,從滬教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的分數(shù)內(nèi)容出發(fā),研究學(xué)生理解數(shù)射線上的分數(shù)有何基礎(chǔ)和困難,教師如何設(shè)計這一內(nèi)容的教學(xué)等。
關(guān)鍵詞:數(shù)射線;分數(shù);滬教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材;學(xué)情分析;教學(xué)設(shè)計
分數(shù)既可以表示部分與整體的關(guān)系,也可以作為一個對象表示現(xiàn)實世界中的量。已有的很多研究表明,學(xué)生學(xué)習(xí)分數(shù)時,從關(guān)系到對象的認識,要經(jīng)歷一段曲折而艱辛的歷程。為了促進學(xué)生理解分數(shù)從關(guān)系到對象的發(fā)展,可以利用長度模型(如紙帶、刻度尺)過渡,最終讓學(xué)生在數(shù)射線(數(shù)軸的非負半軸)上找到表示分數(shù)的點。而且,線上的點與數(shù)的關(guān)系,正是學(xué)生發(fā)展有理數(shù)概念和進一步領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想的重要載體。對此,我們從滬教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材出發(fā)展開了教學(xué)研究。
一、滬教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的分數(shù)內(nèi)容:沒有把“數(shù)射線上的分數(shù)”作為重要的概念來設(shè)計
盡管《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)》和《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標準(試行稿)》對“數(shù)射線上的分數(shù)”均無明確的要求,但是滬教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有相關(guān)的內(nèi)容——這大概是教材編者對課程標準的拓展延伸。
滬教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材把分數(shù)的學(xué)習(xí)大致劃分為兩個階段。
在三年級第二學(xué)期,教材設(shè)計“分蛋糕”“分紙帶”“分糖果”等平均分活動,借助實物和圖形,幫助學(xué)生具體而直觀地認識幾分之一(分數(shù)單位)和幾分之幾(一般分數(shù))。由此可以推測,學(xué)生在平均分的基礎(chǔ)上建立起對分數(shù)概念的初步認識,通過具體、直觀的模型理解分數(shù)的含義。教材中常用的分數(shù)模型有兩類:一類是連續(xù)量模型,包括圓形(面積)模型(如蛋糕、比薩)和線形(長度)模型(如紙帶、刻度尺);另一類是離散量模型,如一些糖果、一群鴨子。之后,教材還基于自然數(shù)與分數(shù)的比較,通過分數(shù)單位的疊加,引導(dǎo)學(xué)生認識“幾個幾分之一就是幾分之幾”;并借助分數(shù)單位的概念,幫助學(xué)生建立真分數(shù)大小序列的概念,逐漸開始用分數(shù)表示現(xiàn)實世界中的量。
在四年級第一學(xué)期,教材借助具體實物,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會比較同分母或同分子分數(shù)的大小,并且認識相等分數(shù);在涂一涂、畫一畫或利用分數(shù)單位推算的過程中,引導(dǎo)學(xué)生初步學(xué)會計算分母在20以內(nèi)的同分母分數(shù)的加減。在這個階段,教材在線形(長度)模型的基礎(chǔ)上引入“分數(shù)墻”(不同分數(shù)單位線形模型的疊加),由此對分數(shù)大小比較和加減計算進行整理,直觀建立起分數(shù)大小比較和加減計算的統(tǒng)一模型。不僅如此,教材還在最后的“整理和提高”單元中,把數(shù)射線作為工具,用來比較同分母或同分子分數(shù)的大小、計算同分母分數(shù)的加減。
從上述梳理中我們發(fā)現(xiàn),教材利用具體、直觀的面積模型、長度模型和離散數(shù)量模型,幫助學(xué)生理解分數(shù)概念的兩個側(cè)面:從部分與整體的關(guān)系定義分數(shù),由分數(shù)單位的計數(shù)表示作為對象的分數(shù)。但是,教材僅把由長度模型進一步抽象得到的數(shù)射線作為工具,用來比較同分母或同分子分數(shù)的大小、計算同分母分數(shù)的加減,并沒有把數(shù)射線上的分數(shù)作為重要的概念來設(shè)計。
二、學(xué)生理解“數(shù)射線上分數(shù)”的基礎(chǔ)
在文獻研究中我們發(fā)現(xiàn),關(guān)于“數(shù)射線上的分數(shù)”,美國的州際核心數(shù)學(xué)課程標準(Common Core State Standards for Mathematics)有相關(guān)表述:(1)把數(shù)射線上從0到1的線段等分成若干份,取其中一份,將該線段的一個端點和原點對齊,另一個端點在數(shù)射線上對應(yīng)的點就表示幾分之一;(2)把數(shù)射線上從0到1的線段等分成若干份,取其中幾份,將該線段的一個端點和原點對齊,另一個端點在數(shù)射線上對應(yīng)的點就表示幾分之幾。而且,編寫組解讀在數(shù)射線上表示分數(shù)的學(xué)習(xí)進階時,強調(diào)了如下兩點:第一,長度模型可以看作數(shù)射線的直觀模型;第二,學(xué)生測量長度的經(jīng)驗是理解數(shù)射線上分數(shù)的基礎(chǔ)。
對此,滬教版教材事實上也已經(jīng)做好了準備:
第一,關(guān)于數(shù)射線。在一年級第一冊“10以內(nèi)的數(shù)”單元中,就已經(jīng)引入數(shù)射線,使用數(shù)射線表示整數(shù)的次序及大小的比較;在后面整數(shù)的加、減法以及乘法計算中,不斷使用數(shù)射線幫助學(xué)生直觀地理解計算過程。從這個視角來看,數(shù)射線作為一種工具或模型,四年級學(xué)生是比較熟悉的。
第二,關(guān)于長度測量。在一年級第二冊“幾何小實踐”單元中,就已經(jīng)引入長度測量:從學(xué)生在日常生活中積累的大量關(guān)于比較物體長短的感性經(jīng)驗出發(fā),讓學(xué)生對熟悉的事物做長度的比較和測量,通過操作活動,發(fā)現(xiàn)對于同一物體,所用的測量工具(標準)不同,測出的結(jié)果也不一致,由此引起認知沖突,從而體會到統(tǒng)一度量單位的重要意義,知道長度單位的重要作用,認識長度單位米和厘米,認識米尺和厘米尺,學(xué)會用它們來測量……從這個視角來看,四年級學(xué)生已經(jīng)能夠運用正確的方法測量物體的長度,了解測量長度時需要注意的0、長度、刻度三要素:測量對象一端與0刻度對齊,另一端對應(yīng)的刻度就是其長度。
三、學(xué)生理解“數(shù)射線上分數(shù)”的困難
滬教版教材一年級就引入了數(shù)射線,用于認識整數(shù)及其次序,進行加減運算;而且介紹了長度測量的方法,為學(xué)生在數(shù)射線上找分數(shù)提供了可類比遷移的固著點。那么,學(xué)生在四年級學(xué)習(xí)了分數(shù)之后,在數(shù)射線上表示分數(shù)還會存在困難嗎?對此,我們設(shè)計了三個部分的教學(xué)前測試題:(1)用直觀模型(面積、長度、數(shù)量)表示分數(shù);(2)在數(shù)射線上表示整數(shù);(3)在數(shù)射線上表示分數(shù)。由此,我們對上海市靜安區(qū)一所小學(xué)四年級一個班的38名學(xué)生進行了測試。
結(jié)果表明,第一部分試題,學(xué)生的正確率幾乎是100%。特別是在標有17米長度的紙帶圖形上找37米的長度時,學(xué)生表現(xiàn)出對分數(shù)概念的兩種理解。第一,部分與整體的關(guān)系。恰好有一半學(xué)生先將紙帶7等分,再取其中的3份。第二,分數(shù)單位的計數(shù)。另一半學(xué)生直接利用17米重復(fù)測量三次,得到37米,即通過分數(shù)單位構(gòu)造同分母的其他分數(shù)。
第二部分試題,只有4位學(xué)生發(fā)生錯誤。
上述測試結(jié)果說明,學(xué)生已經(jīng)初步建立了良好的分數(shù)概念,同時比較熟悉數(shù)射線上的整數(shù)。
然而,第三部分試題出現(xiàn)了截然不同的測試結(jié)果:
首先,給定數(shù)射線的原點和1的位置,在數(shù)射線上找13的位置。13位學(xué)生找到了表示13的點,他們能夠在單位“1”的基礎(chǔ)上找到表示幾分之一的點;7位學(xué)生標出了從原點開始表示13的線段,他們能夠找到表示幾分之一的線段,但是沒有把它對應(yīng)到數(shù)射線上的一個點;3位學(xué)生標出了表示13的中間的那條線段,他們能夠找到表示幾分之一的線段,但是沒有讓它的一端從原點開始,另一端點落到對應(yīng)的點上;另外的15位學(xué)生發(fā)生了各種錯誤,其中有少數(shù)直接放棄??梢?,盡管用直觀模型表示分數(shù)時,所有的學(xué)生都能找到對應(yīng)的量,在數(shù)射線上表示整數(shù)時,幾乎所有的學(xué)生都很自然地把數(shù)和點對應(yīng)了起來,但是在數(shù)射線上表示分數(shù)時,學(xué)生出現(xiàn)了困難。究其原因,可能是把長度模型中用分數(shù)表示長度(線段)關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)射線上用分數(shù)表示位置(點)對象,以及增加了平均分單位“1”這一步驟,給學(xué)生遷移測量長度時需要注意的關(guān)鍵要素0、長度、刻度之間的關(guān)系得到數(shù)射線上原點、線段與對應(yīng)點之間的關(guān)系帶來了干擾。
其次,給定數(shù)射線的原點和1、4的位置,在數(shù)射線上找34的位置。只有2位學(xué)生找到了表示34的點。24位學(xué)生把在這個點放在3和4之間。他們的誤解可能在于兩個方面。第一,表示單位“1”的量。在之前接觸的所有模型中,無論是面積、長度還是數(shù)量,總是把所有的作為一個整體,看作單位“1”。于是,學(xué)生很自然地把從原點到4這個點的長度看成單位“1”。事實上,哪個量作為單位“1”是分數(shù)表示的關(guān)鍵:即使是相同的量,在不同的單位“1”下,分數(shù)表示也是不相同的。然而,在這些模型中,并不一定要把整體作為單位“1”,我們可以任意規(guī)定單位“1”。比如,一個正方形等分成4個小正方形,如果整個大正方形作為單位“1”,則每個小正方形可以表示14;如果整個正方形的一半作為單位“1”,則每個小正方形可以表示12。這個和整數(shù)的表示在本質(zhì)上是完全一致的。一開始表示整數(shù)時,我們極其自然地把一當(dāng)作計數(shù)單位,甚至毫無察覺。后來,在十進制下,我們把10個一作為一個復(fù)合的單位十。以后還有更大的單位百、千、萬等。第二,分數(shù)的大小。估計很多人會十分驚訝:四年級學(xué)生學(xué)完了這么多分數(shù)的知識,怎么可能還不知道34比1小呢?然而,在新的情境中,學(xué)生對分數(shù)大小的認識和表示分子和分母的整數(shù)“無縫對接”了起來(也可以說是混用了“分數(shù)視角”和“整數(shù)視角”),得到了“34就在3和4之間”的結(jié)果。
再次,給定數(shù)射線的原點和13的位置,在數(shù)射線上找34的位置。沒有學(xué)生能找到表示34的點。這是我們預(yù)料之中的。解決這個問題,一種方法是,首先由13找到單位“1”,然后在單位“1”的基礎(chǔ)上構(gòu)造新的分數(shù)單位14;另外一種方法是,在相等分數(shù)的概念下,先找到這兩個分數(shù)13=412,34=912的共同單位112可以通過四等分13實現(xiàn),再構(gòu)造新的分數(shù)單位14也可以不構(gòu)造14,直接利用112。無論采用哪種方法,學(xué)生都會遭遇極大的挑戰(zhàn)。
四、“數(shù)射線上的分數(shù)”教學(xué)設(shè)計
我們針對美國州際核心數(shù)學(xué)課程標準的內(nèi)容要求,基于滬教版教材的編排以及上海學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和困難,設(shè)計了“數(shù)射線上的分數(shù)”的教學(xué)。
(一)復(fù)習(xí)引入
在引入環(huán)節(jié),首先出示四道辨析題(如圖1所示),幫助學(xué)生回憶數(shù)射線的三要素,即原點、方向和單位長度。這里,相對而言,第4條數(shù)射線是最合適的:第1條數(shù)射線可以用原點這個要素排除,第2條數(shù)射線可以用方向這個要素排除,第3條數(shù)射線可以用單位長度這個要素排除。
教學(xué)中最重要的一點,是讓學(xué)生意識到,在數(shù)射線上找自然數(shù)是從“0”出發(fā)向右、以“1”為基本單位的——1個“1”是1,2個“1”是2,3個“1”是3,以此類推。這時,需要注意的是,學(xué)生在數(shù)射線上找自然數(shù)時,常常關(guān)注對應(yīng)的線段(長度),比如說“從0開始向右數(shù)1段”“從0開始向右數(shù)3段”等,甚至有時手上指著的其實是對應(yīng)的點。對此,教師需要強調(diào)數(shù)射線上的點(位置)與數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系(可以聯(lián)系長度測量的方法):每個數(shù)都有其特定的位置,一個點對應(yīng)一個數(shù)。教師可以用手指一指點的位置,并說一說這個點表示的數(shù),如“這個點表示的是1”“這個點表示的是3”。這樣,才能為學(xué)生后續(xù)在數(shù)射線上找分數(shù),理解分數(shù)是自然數(shù)的擴充做好準備。
(二)在數(shù)射線上找分數(shù)
探究1在數(shù)射線上可以用點表示1、2、3、4這些自然數(shù),那么最近學(xué)習(xí)的分數(shù)能不能也在數(shù)射線上找到相對應(yīng)的點呢?比如12、14這兩個點在哪里?
基于上述第三部分試題第1題和第2題的測試結(jié)果(數(shù)射線上的分數(shù)表示的是一段長度還是一個點?從哪一個點開始向右數(shù)?究竟把哪一部分看作整體?分數(shù)與整數(shù)的大小關(guān)系如何?),我們設(shè)計了“探究1”,引導(dǎo)學(xué)生在知道數(shù)射線上包括單位“1”在內(nèi)的多個自然數(shù)的情況下,遷移找自然數(shù)的方法,找比較簡單的分數(shù)單位。教學(xué)中,教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)射線上的點(位置)與分數(shù)單位之間的對應(yīng)關(guān)系,而且要幫助學(xué)生理解在數(shù)射線上找分數(shù)與在長度模型中表示分數(shù)的另一個不同:數(shù)射線上表示單位“1”的量只能是從點0到點1的長度,即單位長度,否則表示某個分數(shù)的點(位置)就不是確定的,而且分數(shù)作為對象與整數(shù)的大小關(guān)系也是不確定的。以及在數(shù)射線上找分數(shù)與找整數(shù)的主要不同:平均分單位“1”,得到分數(shù)單位。這時,教師特別需要注意用多媒體技術(shù)動態(tài)演示找分數(shù)單位的過程,從而促進學(xué)生掌握在數(shù)射線上找分數(shù)單位的方法。
探究234這個點在哪里?
基于上述第三部分試題第2題的測試結(jié)果,我們設(shè)計了“探究2”,引導(dǎo)學(xué)生在知道數(shù)射線上包括單位“1”在內(nèi)的多個自然數(shù)的情況下,基于找分數(shù)單位的方法,找稍微復(fù)雜的一般分數(shù)。由于學(xué)生在“探究1”中,經(jīng)歷了找分數(shù)單位的過程,這里能夠比較容易地找到一般分數(shù)。這時,教師特別需要注意引導(dǎo)學(xué)生用比較規(guī)范的語言說清楚找一般分數(shù)的過程,進而充分理解分數(shù)序列的概念。
探究3有一條不完整的數(shù)射線,上面除了原點,只標出了12的位置,你能不能在這條數(shù)射線上找到23的位置?
基于上述第三部分試題第3題的測試結(jié)果,我們設(shè)計了“探究3”,引導(dǎo)學(xué)生在知道數(shù)射線上的一個分數(shù)的情況下,逆向思考,先找到單位“1”,再找另一個異分母的分數(shù),從而幫助學(xué)生進一步認識單位“1”的重要性,并鞏固找分數(shù)的方法。這時,教師特別需要引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)倍數(shù)與平均分的過程中,注意測量得到的具體長度與抽象表示的數(shù)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。
探究4你能不能在這條數(shù)射線上找到54的位置?
“探究4”是拓展性的探究活動,意在引導(dǎo)學(xué)生基于找真分數(shù)的方法,找更復(fù)雜的假分數(shù)。教學(xué)中,教師要特別強調(diào)對“分數(shù)是分數(shù)單位的計數(shù)”的理解,從而幫助學(xué)生順利遷移找一般的真分數(shù)的方法。當(dāng)然,這里還可以增加一個變式——在數(shù)射線上除了原點,只標出2(或其他非單位“1”的整數(shù))的位置,從而強化學(xué)生找單位“1”的意識。
(三)追問升華
在課尾,追問學(xué)生:“你能說一說自然數(shù)與分數(shù)之間的聯(lián)系嗎?”引導(dǎo)學(xué)生理解:1個1個地數(shù)就有了自然數(shù),“1”是自然數(shù)的單位;不滿“1”時,就要把“1”平均分,得到分數(shù)單位,1個1個地數(shù)分數(shù)單位就有了分數(shù)。在此基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生有效溝通自然數(shù)與分數(shù)之間的聯(lián)系,進一步認識數(shù)系的擴充。
五、“數(shù)射線上的分數(shù)”教學(xué)反饋
教學(xué)“數(shù)射線上的分數(shù)”兩周后,我們再次對學(xué)生進行了測試,結(jié)果發(fā)現(xiàn):(1)給定數(shù)射線的原點和1的位置,有92%的學(xué)生能找到14的位置;(2)給定數(shù)射線的原點和1、2、3、4的位置,有71%的學(xué)生能找到23的位置;(3)給定數(shù)射線的原點和13的位置,有92%的學(xué)生能找到23的位置;(4)給定數(shù)射線的原點和14的位置,只有16%的學(xué)生能找到45的位置。
這說明,經(jīng)過教學(xué),學(xué)生對數(shù)射線上分數(shù)的理解已經(jīng)有了很大程度的提高,但是在知道數(shù)射線上一個分數(shù)的情況下找另一個異分母的分數(shù),還是感到困難——即使他們已參與過類似的探究。這進一步啟發(fā)我們,只安排一課時,學(xué)生并不能充分掌握“數(shù)射線上的分數(shù)”這一內(nèi)容,還需要增加一課時,重點幫助學(xué)生鞏固在數(shù)射線上找分數(shù)的方法,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)射線比較分數(shù)的大小,計算同分母分數(shù)的加減。
參考文獻:
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