上海市格致中學(xué)(201401) 林佳樂(lè)

上海市黃浦區(qū)教育學(xué)院(200023) 徐慶惠

1 教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.1 教學(xué)目標(biāo)

(1)會(huì)運(yùn)用祖暅原理推導(dǎo)球的體積公式; 會(huì)解決與球的體積有關(guān)的問(wèn)題.

(2)經(jīng)歷運(yùn)用祖暅原理構(gòu)造輔助體的過(guò)程,體會(huì)化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想;對(duì)球體積公式的應(yīng)用,加強(qiáng)空間想象能力及運(yùn)算能力.

(3)感受數(shù)學(xué)的文化價(jià)值,發(fā)展探索精神.

1.2 教學(xué)重點(diǎn)

利用祖暅原理推導(dǎo)球的體積公式;球與正方體、正四面體的幾個(gè)特殊的位置關(guān)系的問(wèn)題.

1.3 教學(xué)難點(diǎn)

構(gòu)造符合祖暅原理?xiàng)l件的幾何體的過(guò)程.

2 教學(xué)過(guò)程(片段)

2.1 探究新知

已知球的半徑為R,求球的體積V.

師: 我們需要利用祖暅原理,祖暅原理中關(guān)鍵是兩個(gè)幾何體底面積相等,高相等,而球沒(méi)有底面,所以我們先來(lái)求半球的體積.

問(wèn)題1: 我們根據(jù)祖暅原理,來(lái)推導(dǎo)半球的體積公式,那么我們需要構(gòu)造一個(gè)怎樣的幾何體呢? 這個(gè)幾何體需要滿足什么條件呢?

生1: 在任意等高處用一組平行平面去截兩個(gè)幾何體時(shí),截面面積相等.

師: 那么也就是說(shuō)這兩個(gè)幾何體符合祖暅原理的條件對(duì)不對(duì)?

生2: 對(duì)的.

師: 好,另外該幾何體體積應(yīng)該可求的,所以我們需要借助熟悉的幾何體.該幾何體與半球夾在兩個(gè)平行平面之間,即要求該幾何體與半球等高.

(ppt 展示)我們知道該幾何體高應(yīng)該是R,當(dāng)用平行于底面的任意一個(gè)平面去截半球,我們思考下所得的截面面積如何求? 設(shè)截面與底面之間的距離為h(0＜h ＜R),我們用已知R和h表示面積S1,

師: 首先想想看截面是什么圖形?

生2: 是圓.

師: 那么這個(gè)圓的面積S1如何表示?

生2:S1=πr2=π(R2?h2).

師: 我們看這是兩項(xiàng)的差πR2?πh2, 可以表示什么圖形的面積差呢?

生2: 表示圓環(huán)的面積.

師: 非常好,具體來(lái)說(shuō)這是兩個(gè)半徑分別為R和h的圓的面積之差,即圓環(huán)的面積.(ppt)

師: 而截面為圓的幾何體我們會(huì)想到什么幾何體?

生: (部分同學(xué))圓柱和圓錐.

師: 好的,那么我們來(lái)看同底等高的圓錐和圓柱,觀察同底等高的圓錐、半球、圓柱,這三個(gè)截面,(h變化時(shí)截面變化幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示)

我們發(fā)現(xiàn)圓柱截面面積是不變的,而圓錐的截面面積隨著的增大而減小,接下來(lái)同學(xué)小組討論一下,構(gòu)造怎樣的截面使得截面面積是πR2?πh2呢? 請(qǐng)同學(xué)們構(gòu)造一下這個(gè)幾何體.

問(wèn)題2:πR2表示圓柱的截面,那么πh2這個(gè)圓在哪里?

學(xué)生小組討論

師: 你們找到πh2了嗎?

生3: 這個(gè)幾何體應(yīng)該是圓柱里面挖去圓錐.

師: 能不能說(shuō)明為什么?πh2在哪里?

生3: 圓錐的截面面積.

師: 圓錐的頂點(diǎn)和截面上的點(diǎn)分別為P和O,那么圓錐的半徑是多少?

生3: 是h.

師: 我們知道這個(gè)圓錐比較特殊,底和高均為R,所以母線和高所成的角為45°,PO等于多少?

生3:R ?h,哦,半徑是R ?h.

師: 對(duì)的,所以面積并不是πh2對(duì)吧.

生3: 嗯…是的(思考中)

師: 我們來(lái)看,如果圓錐的截面半徑剛好是h就是我們需要的,那就是說(shuō)圓錐的頂點(diǎn)到截面的距離應(yīng)該是h,而我們知道截面距底面的距離為h,即圓錐頂點(diǎn)應(yīng)該在底面所在平面上,這說(shuō)明什么呢?

生3: 哦…需要圓錐倒過(guò)來(lái)放.

師: 非常好,我們把圓錐倒過(guò)來(lái)放,這是截面半徑為h,那么截面面積為πh2對(duì)吧.(結(jié)合ppt)

師: 因此隨著截面高度h變化時(shí),截得圓錐的截面圓的半徑始終是h, 圓柱的截面面積與圓錐的截面面積之差為S1=πR2?πh2和半球截面面積始終相等.

我們構(gòu)造的幾何體是與半球同底等高的圓柱挖去一個(gè)同底等高的倒置圓錐而組成的幾何體.(圓錐移到圓柱中幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示).

由祖暅原理,我們知道半球的體積與構(gòu)造出的幾何體體積相等,而這個(gè)由圓柱挖去圓錐構(gòu)造出的幾何體體積我們?nèi)绾吻?

生4: 半球的體積等于圓柱的體積減去圓錐的體積(教師板書(shū))V半球=V柱?V錐=πR3?

師: 很好,我們利用祖暅原理得出了球的體積公式,那么運(yùn)用公式時(shí)只需知道球的半徑.接下來(lái)我們一起來(lái)研究和球體積有關(guān)的問(wèn)題.

2.2 應(yīng)用提升

例設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,求

(1)正方體內(nèi)切球的體積;

(2)正方體外接球的體積;

(3)與正方體的棱都相切的球的體積.

師: 大家思考下內(nèi)切球滿足什么條件?

生5: 內(nèi)切球球心到各個(gè)面的距離相等.

師: 球心在哪里?

生5: 在正方體的中心.

師: 很好,所以半徑為…

生5: 半徑等于正方體棱長(zhǎng)的一半,

師: 很好, 所以代入體積公式可得內(nèi)切球體積V1=我們也可以畫(huà)出截面圖形是這樣的(ppt).

師: 接下來(lái)請(qǐng)你再思考下,正方體外接球呢?

生5: 我認(rèn)為正方體外接球球心還是正方體的中心,半徑是球心到各個(gè)頂點(diǎn)距離,R=也可以求出體積.

師: 非常好,截面圖形是這樣吧(ppt).

師: 接下來(lái)我們思考,如果球與正方體各棱相切,想象一下,這個(gè)球怎樣能做到和正方體各條棱都相切?

思考30s

師: 能不能請(qǐng)一位同學(xué)給大家描述一下.

生6: 我覺(jué)得球心仍然是正方體的中心…(思考片刻)

師: 既然相切,切點(diǎn)位置在哪里?

生6: 切點(diǎn)在正方體棱的中點(diǎn).

師: 對(duì)不對(duì)? 也就是說(shuō)球心到各棱中點(diǎn)距離是相等的對(duì)吧,所以切點(diǎn)是各條棱的中點(diǎn)!

(教師拿出空的正方體教具演示)我們可以想象這個(gè)正方體中我們有一個(gè)氣球, 在吹這個(gè)氣球過(guò)程中, 我們要把氣球理想化想象成球體, 則氣球逐漸變大過(guò)程中, 到某一時(shí)刻氣球與各條棱均相切了, 所以我們求半徑即求球心到各棱中點(diǎn)的距離,容易求得的.(ppt)如圖所示,連接AB,因此該球的直徑大小為面對(duì)角線長(zhǎng)度則

小結(jié): 正方體與球的幾種位置關(guān)系,需要確定球心位置,切點(diǎn)位置,轉(zhuǎn)化到平面圖形中,求出半徑.內(nèi)切球半徑為球心到正方體各個(gè)面的距離,大小等于棱長(zhǎng)的外接球半徑為球心到正方體各個(gè)頂點(diǎn)的距離,大小為正方體體對(duì)角線的與各棱相切的球的半徑為球心到各棱的距離,大小為正方體面對(duì)角線的(如圖)

變式: 如果把正方體改為正四面體,設(shè)各棱長(zhǎng)為a,三種情況下球的體積又為多少?

【設(shè)計(jì)意圖】本例題是關(guān)于球與正方體、正四面體的幾個(gè)特殊的位置關(guān)系的問(wèn)題,是對(duì)球的體積公式的應(yīng)用,也是對(duì)正方體、正四面體中尋找基本量所在的平面圖形的鞏固.從中體現(xiàn)類(lèi)比、轉(zhuǎn)化的思想方法.

(學(xué)生畫(huà)圖求解,教師板書(shū)畫(huà)圖)

師: 我們需要如何找到這三種情況下的半徑呢?

生7: 先確定內(nèi)切球球心位置.

師: 非常好,球心在哪里?

生7: 球心在正四面體的高AN上.

師: 對(duì)的! 大家觀察老師用3D 打印這個(gè)正四面體和內(nèi)切球,當(dāng)然其中一面是沒(méi)有開(kāi)放不封閉的,我們從這個(gè)角度觀察,球心應(yīng)該在正四面體的高上對(duì)吧?

師: 那么在各個(gè)面的切點(diǎn)在哪里?

生7: 在底面的切點(diǎn)為三角形的中心.

師: 在圖中用字母表示(如圖所示)M,N分別為切點(diǎn),所以內(nèi)切球半徑為?

生7: 半徑為ON或OM.

師: 我們?cè)倏赐饨忧虻陌霃绞鞘裁?

(思考片刻…)

生7: 線段OA.

師: 能不能解釋下? 我們知道O是內(nèi)切球球心,你的意思是O也是外接球球心? 能不能說(shuō)說(shuō)原因.

生7: 是的, 因?yàn)锳M=DN,OM=ON, 所以RtΔAOM和RtΔDON全等,所以O(shè)A=OD.

師: 很好, 那么與OB,OC相等為什么呢? (教師連接OB,OC)

生7: 因?yàn)锽N=CN=DN,所以三個(gè)直角三角形全等,所以O(shè)B=OC=OD.

師: 具體是哪三個(gè)直角三角形全等?

生7:三角形ONB,ONC,OND全等.

師: 非常好, 請(qǐng)坐! 我們知道ON是公共的直角邊,BN=CN=DN,所以O(shè)B=OC=OD.

那么也就是說(shuō)內(nèi)切球球心也是外接球球心,那么大家思考下是不是與棱相切的球的球心呢?

(部分同學(xué)回答: 是的)

師: 沒(méi)錯(cuò),此時(shí)球心也是O,我們可以證明的.那么與棱相切的切點(diǎn)在哪里?

(部分學(xué)生回答: 棱的中點(diǎn))

所以我們所求半徑是哪條線段?

生8: 可以取AD的中點(diǎn)Q,OQ是半徑.

師: 很好,還可以是哪條線段?

生8:OP.

師: 對(duì)的! 請(qǐng)坐! 那么我們看,這三個(gè)半徑我們都可以轉(zhuǎn)化到哪個(gè)平面圖形中求解呢?

(學(xué)生齊聲回答: 平面APD中)

師: 對(duì)的! 那么ΔAPD又是一個(gè)什么三角形呢?

(部分學(xué)生答道: 等腰三角形! )

師: 沒(méi)錯(cuò)! 由于AP=PD,這個(gè)等腰三角形三邊已知,那么我們要求的三個(gè)半徑如果能求出其中一個(gè),另外兩個(gè)是否可求呢?

(學(xué)生點(diǎn)頭)

師: 好,那么我們?cè)偎伎?例題中是正方體與球的幾種特殊的位置關(guān)系,那么正四面體與正方體之間有沒(méi)有什么關(guān)系呢?

(部分學(xué)生回答: 正四面體可以放入正方體中)

師: 有同學(xué)說(shuō)可以放入正方體中,也就是說(shuō),正方體中有沒(méi)有正四面體?

(學(xué)生齊聲回答: 有的)

(教師ppt 展示正方體中的正四面體)

師: 那么我們看,正四面體的外接球和正方體有什么關(guān)系?

生9: (思考片刻)也是正方體的外接球.

師: 能解釋下為什么嗎?

生9: 因?yàn)楦鱾€(gè)頂點(diǎn)都在球上, 球心到各個(gè)頂點(diǎn)距離相等.

師: 很好! 所以半徑應(yīng)該可以求出來(lái)嘍,正四面體的棱長(zhǎng)為a,那么正方體的棱長(zhǎng)為…

生9: 正方體棱長(zhǎng)為然后體對(duì)角線為所以球半徑為

師: 嗯! 所以代入體積公式可求體積對(duì)吧! 那么我們?cè)偎伎枷? 正四面體與棱相切的球和正方體有什么位置關(guān)系嗎?

生10: 正四面體與棱相切的球是正方體的內(nèi)切球!

師: 很好! 他認(rèn)為這個(gè)球是正方體的內(nèi)切球,(ppt 展示),切點(diǎn)在棱的中點(diǎn)也就是正方體的各個(gè)面的中心對(duì)吧,所以這個(gè)球與正方體的各面相切,是內(nèi)切球! 從而我們也可以求出半徑和體積對(duì)不對(duì)? (學(xué)生點(diǎn)頭)

師: 那么相應(yīng)的正四面體的內(nèi)切球半徑通過(guò)外接球或者與棱相切的球的半徑可求,大家課后思考下,正四面體的內(nèi)切球半徑還可以通過(guò)什么方法求解嗎?

小結(jié): 通過(guò)對(duì)正四面體內(nèi)切球,外接球,與棱相切的球的研究,我們發(fā)現(xiàn),內(nèi)切球半經(jīng)為球心O到等腰三角形APD腰的距離, 外接球半徑為球心O到等腰三角形APD底邊頂點(diǎn)的距離,與棱相切的球的半徑為球心O到等腰三角形APD頂點(diǎn)的距離或底邊的距離,這三種情況均可以轉(zhuǎn)化到平面圖形中去解決.而內(nèi)切球半徑與外接球半徑之和為正四面體的高.另外,可以將正四面體放入正方體中,轉(zhuǎn)化到正方體和球的位置關(guān)系進(jìn)行相應(yīng)計(jì)算.

2.3 課堂小結(jié)

我們來(lái)總結(jié)一下今天所學(xué)的內(nèi)容:

我們利用祖暅原理推導(dǎo)出了球的體積公式,在構(gòu)造幾何體時(shí)要符合祖暅原理的條件,通過(guò)圓柱挖去倒置的圓錐來(lái)求出半球的體積,從而得出了球的體積公式.另外應(yīng)用球的體積公式解決相關(guān)問(wèn)題,球與正方體、正四面體的三種位置關(guān)系下的體積計(jì)算,關(guān)鍵是確定球心,找到切點(diǎn),轉(zhuǎn)化到平面圖形中求出不同情況下球的半徑.

3 教學(xué)反思

3.1 關(guān)于課堂的環(huán)節(jié)

(1)“球的體積公式”是教材中“由祖暅原理和圓柱、圓錐的體積公式可得球的體積公式”這樣一句話帶過(guò),而筆者認(rèn)為,祖暅原理的應(yīng)用的重要性可以從課本中基本的公式的推導(dǎo)體現(xiàn),因此將根據(jù)祖暅原理推導(dǎo)半球的體積公式的整個(gè)過(guò)程呈現(xiàn)在課堂中,希望學(xué)生在經(jīng)歷公式推導(dǎo)的過(guò)程中,加深了對(duì)祖暅原理的理解,體會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.另外,對(duì)于構(gòu)造符合祖暅原理?xiàng)l件幾何體也是一個(gè)開(kāi)始,后面可以根據(jù)學(xué)生的能力對(duì)高考題目中出現(xiàn)的祖暅原理的應(yīng)用進(jìn)行拓展訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生自主探究解決問(wèn)題,對(duì)任何事物要養(yǎng)成知其然而更知其所以然的習(xí)慣.

(2)公式推導(dǎo)過(guò)程中,學(xué)生在教師的引導(dǎo)下,一步步完成構(gòu)造與半球體積相等的幾何體,這也是本節(jié)課的難點(diǎn),實(shí)際上在構(gòu)造幾何體時(shí),符合祖暅原理?xiàng)l件的可能不是圓柱中挖去圓錐,可以構(gòu)造四棱錐等方法求解,所以如果這一環(huán)節(jié)能夠大膽放手讓學(xué)生自主構(gòu)造,培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索的精神,同時(shí)也可以課后讓學(xué)生自己再構(gòu)造一個(gè)幾何體,注重知識(shí)的發(fā)生.

(3)求正四面體的內(nèi)切、外接、與棱相切的球的半徑時(shí),球心相同,這個(gè)地方也是需要嚴(yán)格證明的,由于課堂時(shí)間以及重點(diǎn)內(nèi)容的關(guān)系, 這個(gè)說(shuō)理過(guò)程可以課前或者課后說(shuō)明.而通過(guò)教具模型的展示,學(xué)生應(yīng)該可以從直觀上觀察得到這個(gè)結(jié)論.

(4)正四面體中的三個(gè)半徑均轉(zhuǎn)化到等腰三角形中求解,而這三個(gè)半徑已知任意一個(gè)半徑,可求出其他兩個(gè)半徑,因此將三種情況一起考慮,可以先將正四面體的情況轉(zhuǎn)化為正方體的情況來(lái)求解.而在求內(nèi)切球半徑時(shí)可以利用等體積方法求解,可以作為課后思考讓學(xué)生自主探索研究完成.

3.2 立體幾何教學(xué)中提升核心素養(yǎng)的思考

(1) 立體幾何不光是空間想象能力, 空間邏輯推理、分析、說(shuō)理的能力同樣重要

立體幾何的教學(xué),往往很多人認(rèn)為只要學(xué)生能想出來(lái)即可,然而立體幾何中不光要有空間想象能力,對(duì)于空間中的邏輯推理,說(shuō)理能力要求才是真正體現(xiàn)核心素養(yǎng)的地方.核心素養(yǎng)中的“直觀想象”中也要蘊(yùn)含邏輯推理、分析說(shuō)理等素養(yǎng).

(2)在日常教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng),滲透數(shù)學(xué)思想方法

核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與三維目標(biāo)的建立、數(shù)學(xué)思想方法的滲透、數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)等是息息相關(guān),應(yīng)該體現(xiàn)在日常的教學(xué)中,需要我們教師不斷思考,從日常教學(xué)中能夠體現(xiàn)核心素養(yǎng)的內(nèi)容,掌握好方式方法,尤其對(duì)于立體幾何是提升直觀想象素養(yǎng)的重要載體,而本節(jié)課中數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算(轉(zhuǎn)化為平面圖形中計(jì)算相關(guān)問(wèn)題)、邏輯推理(構(gòu)造幾何體的截面面積與半球的截面面積相等)等核心素養(yǎng)也相應(yīng)得到體現(xiàn),這些需要在日常教學(xué)中不斷滲透和培養(yǎng).