李宏貞

數(shù)學(xué)教學(xué)中存在這樣的情況，學(xué)生沒有理解某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，并不是態(tài)度問題，也不是教師講解不深刻的問題，而是學(xué)生在理解這個(gè)知識(shí)的過程中在某個(gè)點(diǎn)上“卡”住了。這個(gè)點(diǎn)是學(xué)生在某個(gè)具體知識(shí)上理解的障礙點(diǎn)，解決了這個(gè)“攔路虎”，問題就迎刃而解。不少教師忽視了學(xué)生的卡點(diǎn)問題，往往把學(xué)生對(duì)知識(shí)的不理解歸結(jié)于學(xué)習(xí)態(tài)度問題，忽視了學(xué)生真正需要幫助的卡點(diǎn)問題，沒有真正去了解學(xué)生“卡”住的原因，沒有因人施策，導(dǎo)致學(xué)生掌握不了這個(gè)知識(shí)。筆者對(duì)某小學(xué)四年級(jí)全體學(xué)生進(jìn)行了一個(gè)學(xué)期的研究，通過輔導(dǎo)學(xué)生解決錯(cuò)題的方式進(jìn)行觀察和反思，將學(xué)習(xí)中的卡點(diǎn)歸納為三類并提出解決策略。

一、陳述性卡點(diǎn)

陳述性卡點(diǎn)就是由于學(xué)生陳述性知識(shí)缺乏所造成的對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解障礙。所謂陳述性知識(shí)就是“是什么”的知識(shí)，指的是一般的事實(shí)、原理等知識(shí)，陳述性知識(shí)大致上與傳統(tǒng)的知識(shí)概念相當(dāng)。陳述性卡點(diǎn)是最普遍的卡點(diǎn)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)因?yàn)殛愂鲂灾R(shí)的缺乏，往往導(dǎo)致錯(cuò)題的發(fā)生。

題目：一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是84°和48°，它的第三個(gè)角是（??），這是一個(gè)（??）三角形。

這是一道比較容易解答的題目，只要掌握了三角形兩個(gè)基本的陳述性知識(shí)“三角形的內(nèi)角和為180°”“銳角三角形是三個(gè)角都小于90°的三角形”，問題就可迎刃而解。但恰恰有些學(xué)生沒記住這兩個(gè)陳述性知識(shí)。第一個(gè)陳述性知識(shí)“三角形的內(nèi)角和為180°”是四年級(jí)下學(xué)期新學(xué)的知識(shí)，有些學(xué)生雖然課堂上掌握了，但課后遺忘了;第二個(gè)陳述性知識(shí)是四年級(jí)上學(xué)期的知識(shí)，由于學(xué)習(xí)間隔時(shí)間太長，學(xué)生也忘記了。而教師往往忽視陳述性知識(shí)容易遺忘的特點(diǎn)，對(duì)第一個(gè)知識(shí)，認(rèn)為經(jīng)過課堂上對(duì)內(nèi)角和為180°的推理分析和動(dòng)手實(shí)踐，學(xué)生肯定能掌握，即使不理解，也能記住，沒有針對(duì)性地對(duì)這個(gè)新學(xué)的知識(shí)作必要的強(qiáng)化訓(xùn)練;對(duì)第二個(gè)知識(shí)，沒有意識(shí)到需要進(jìn)行復(fù)習(xí)，加強(qiáng)與新知識(shí)的聯(lián)系。

解決陳述性卡點(diǎn)的課堂教學(xué)策略是強(qiáng)化策略和先行組織者策略。根據(jù)遺忘曲線規(guī)律，遺忘的進(jìn)程很快，并且先快后慢。根據(jù)這個(gè)定律，學(xué)習(xí)要經(jīng)常復(fù)習(xí)，不定時(shí)復(fù)習(xí)。教師對(duì)于新知識(shí)，特別是核心知識(shí)，需要在課堂上及時(shí)強(qiáng)化，課后不定時(shí)復(fù)習(xí)。

所謂的先行組織者，是指在學(xué)習(xí)新知識(shí)之前，為學(xué)生呈現(xiàn)一個(gè)引導(dǎo)性材料，這個(gè)材料有助于學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解。教師在講解三角形內(nèi)角和之前，可以讓學(xué)生復(fù)述鈍角三角形、直角三角形和銳角三角形三者之間的聯(lián)系與區(qū)別，作為學(xué)習(xí)三角形的引導(dǎo)性材料，然后分小組探究這三類三角形內(nèi)角和的規(guī)律，再歸納出三角形內(nèi)角和為180°這一知識(shí)點(diǎn)。解決陳述性卡點(diǎn)的教學(xué)策略見表1。

二、程序性卡點(diǎn)

程序性卡點(diǎn)就是由于學(xué)生程序性知識(shí)缺乏所造成的對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解障礙。所謂程序性知識(shí)是“如何做”的知識(shí)，通常以一系列要遵循的步驟的形式出現(xiàn)。它包括技能、算法、技術(shù)和方法的知識(shí)，還包括用于決定何時(shí)運(yùn)用不同程序的標(biāo)準(zhǔn)的知識(shí)。簡單來說，程序性知識(shí)就是“怎么做”的知識(shí)。造成學(xué)生學(xué)習(xí)出現(xiàn)卡點(diǎn)的第二類原因是程序性知識(shí)缺乏，下例就屬于這種情況。

例：如圖1，求出：∠1=（???），∠2=（???）。

以∠1的求解為例，這個(gè)問題的卡點(diǎn)就是程序性卡點(diǎn)，學(xué)生雖然知道三角形的內(nèi)角和為180°，也知道直角三角形的兩個(gè)銳角和為90°，但就是不知道如何求∠1，或者沒能意識(shí)到可以通過三角形三個(gè)內(nèi)角之間的關(guān)系來求∠1，這就是程序性知識(shí)缺乏造成的卡點(diǎn)。解決這道題的程序性知識(shí)為：（1）識(shí)別出∠1處在直角三角形中。（2）識(shí)別出圖中的55°角和∠1同處于同一個(gè)直角三角形中，它們的和為90°。（3）用90°減去55°得出∠1的數(shù)值。解決程序性知識(shí)缺乏造成的程序性卡點(diǎn)，需要學(xué)生掌握條理化解決問題的程序并實(shí)現(xiàn)深度的理解。

小學(xué)的數(shù)學(xué)問題，一般是結(jié)構(gòu)良好的問題，結(jié)構(gòu)良好的問題就是有明確的問題條件和標(biāo)準(zhǔn)化的解決方案。教師需要把解決問題的過程進(jìn)行梳理，以幫助學(xué)生理順邏輯思維，把解決問題的步驟條理化，讓學(xué)生容易理解，習(xí)得解決問題的規(guī)則，并通過課堂練習(xí)，用這些規(guī)則解決問題。通過訓(xùn)練，規(guī)則變成了技能，也就解決了程序性卡點(diǎn)，掌握了解決此類問題的專門領(lǐng)域的程序性知識(shí)。學(xué)生課堂上的理解往往是淺層次的理解，規(guī)則和技能會(huì)隨著時(shí)間迅速遺忘或者退化，為了實(shí)現(xiàn)深度的理解以及讓程序性知識(shí)進(jìn)入長時(shí)記憶，除了當(dāng)堂的強(qiáng)化練習(xí)外，課堂上的表現(xiàn)性評(píng)估活動(dòng)也很重要。所謂的表現(xiàn)性評(píng)估就是通過學(xué)生的表現(xiàn)（解釋、闡明、表演等）實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生是否理解及理解程度的判斷。通過表現(xiàn)性評(píng)估，能夠使學(xué)生在加強(qiáng)對(duì)知識(shí)理解的同時(shí)加強(qiáng)選擇性記憶，促進(jìn)知識(shí)從工作記憶進(jìn)入長時(shí)記憶，是從學(xué)生的角度解決程序性知識(shí)缺乏、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的良好方法。課堂語言設(shè)計(jì)上，簡單來說，就是如下的對(duì)話：“這個(gè)解題步驟你懂了嗎？”“懂了?！薄澳呛?，講給教師（同桌、小組成員）聽。”教學(xué)設(shè)計(jì)，一定程度上是促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)表現(xiàn)的設(shè)計(jì)。程序性卡點(diǎn)及課堂解決方案見表2。

三、策略性卡點(diǎn)

策略性卡點(diǎn)就是由于學(xué)生策略性知識(shí)缺乏所造成的對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的理解障礙。策略性知識(shí)是有關(guān)學(xué)習(xí)、思維和解決問題的一般策略的知識(shí)。策略性知識(shí)決定學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)能力的高低，學(xué)習(xí)能力高的學(xué)習(xí)者更加善于利用認(rèn)知策略來幫助理解知識(shí)。特別是在面臨著復(fù)雜問題的時(shí)候，采取有效的策略，可以迅速地抓住問題的本質(zhì)，抓住問題解決的關(guān)鍵點(diǎn)，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐子诶斫獾暮唵螁栴}，從而實(shí)現(xiàn)深度理解。

例如雞兔同籠問題：籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有8個(gè)頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？

教師如果過于簡單化處理，僵化地講解，例如強(qiáng)調(diào)“設(shè)雞求兔”或“設(shè)兔求雞”，學(xué)生雖然不理解，但照搬解法，也能求解出來，但如果換一個(gè)問題情境，學(xué)生就有可能不知所措。對(duì)這道題的教學(xué)，追求理解才是有效的教學(xué)，策略性知識(shí)缺乏是學(xué)生解決這道復(fù)雜問題的障礙，不懂得抓住問題的關(guān)鍵點(diǎn)，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)換為簡單問題，不能透過問題看本質(zhì)，導(dǎo)致策略性卡點(diǎn)。解決這個(gè)卡點(diǎn)，教師要給學(xué)生提供一個(gè)理解問題的支架，也就是策略性知識(shí)。對(duì)這道題進(jìn)行分析，教材給出的解法是：

（1）如果籠子里都是雞，那么就有8×2=16只腳，這樣就多出26-16=10只腳;

（2）一只兔比一只雞多2只腳，也就是有10÷2=5只兔;

（3）所以籠子里有3只雞，5只兔。

對(duì)這種解法的理解，學(xué)生最不懂的地方是：為什么用10除以2，能得到兔的數(shù)量？這是這個(gè)問題的卡點(diǎn)，要理解這一點(diǎn)，教師需要給學(xué)生提供策略性知識(shí)。教師可轉(zhuǎn)換成以下問題：小明家里養(yǎng)了幾只兔子，每只兔子有4條腿，他要算家里兔子的腿總共有多少條，但不小心每只兔算少了兩條腿，一共算少了10條腿，問小明家里養(yǎng)了多少只兔？這道題對(duì)小學(xué)四年級(jí)學(xué)生來說很簡單，先做這題，再來講雞兔同籠“設(shè)雞求兔”“設(shè)兔求雞”的解法，學(xué)生就較為容易理解，這就是將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)換成簡單問題的學(xué)習(xí)策略。

對(duì)于復(fù)雜問題的理解，教師通過提供策略性知識(shí)，幫助學(xué)生解決卡點(diǎn)是必要的。但由于復(fù)雜問題情境的多樣性，需要進(jìn)一步進(jìn)行變式練習(xí)，鞏固策略性知識(shí)的掌握，同時(shí)加深對(duì)此問題情境的理解，最終掌握這類問題的解決方法。對(duì)于復(fù)雜問題的變式練習(xí)，要掌握好情境改變的程度，設(shè)計(jì)兩個(gè)變式的情境，一個(gè)跟原問題差別很小的問題情境，例如這道題改變動(dòng)物的類別、數(shù)量、文句的表達(dá)方式，但基本的情境（兩種動(dòng)物一種四條腿一種兩條腿、已知頭和腳的數(shù)量）沒有變，這種情境筆者稱為“類情境”，原始題目的情境相應(yīng)稱為“原情境”;另外一種是解決問題的方法沒有變，但情境有比較大的變化（例如不再是動(dòng)物），這種情境筆者稱為“它情境”。復(fù)雜問題的變式練習(xí)，要從原情境的練習(xí)，過渡到類情境的練習(xí)，再過渡到它情境的練習(xí)，這樣的設(shè)計(jì)，才符合學(xué)生學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū)原理，才能使學(xué)生由淺到深、層層深入地理解知識(shí)的本質(zhì)，最終達(dá)到對(duì)一類問題的完全洞悉。

注：本文系廣東省教育科研“十三五”規(guī)劃2018年度課題“基于深度學(xué)習(xí)的小學(xué)數(shù)學(xué)微課程設(shè)計(jì)研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：2018YQJK013）研究成果。

責(zé)任編輯 羅 峰