孫婷婷， 單 巍

(①淮北職業(yè)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)系；②淮北師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，235000，安徽省淮北市)

0 引 言

可見(jiàn)光和紅外圖像在當(dāng)今社會(huì)的安防、監(jiān)控、安全調(diào)查中廣泛應(yīng)用，紅外圖像對(duì)拍攝環(huán)境要求低，對(duì)天氣、環(huán)境等干擾不敏感，可全天進(jìn)行拍攝，深受市場(chǎng)歡迎.然而紅外圖像分辨率低，無(wú)法顯示顏色、紋理結(jié)構(gòu)等信息[1]，因此在需要顯示物體細(xì)節(jié)時(shí)，大量使用可見(jiàn)光拍攝系統(tǒng).由于可見(jiàn)光圖像具有高分辨率、細(xì)膩的紋理信息等優(yōu)點(diǎn)[2]，被廣泛應(yīng)用于電力巡檢、在線監(jiān)測(cè)工業(yè)故障、行人檢測(cè)等領(lǐng)域.但是相比紅外成像，可見(jiàn)光圖像極易受到噪聲的干擾，使得可見(jiàn)光圖像的應(yīng)用大大受到限制.因此對(duì)可見(jiàn)光圖像進(jìn)行去噪處理是其中最重要的應(yīng)用，也是難點(diǎn)問(wèn)題.早期的可見(jiàn)光圖像去噪，主要以空域?yàn)V波法和頻域?yàn)V波法為主.其中，空域?yàn)V波法包括經(jīng)典的中值濾波、高斯濾波、維納濾波等，但是空域?yàn)V波普遍對(duì)圖像細(xì)節(jié)處理欠佳，濾除噪聲的同時(shí)，也造成圖像部分模糊不清.相比空域?yàn)V波，頻域?yàn)V波處理效果較好，包括巴特沃斯濾波、傅里葉變換法、小波濾波等.例如，劉干等[3]采用小波變換處理結(jié)構(gòu)光光條圖像，能較好的去除光條圖像中的噪聲，同時(shí)也損失了部分細(xì)節(jié)特征.解秀亮等[4]采用多尺度小波閾值分解方法提取火焰目標(biāo)圖像的小波系數(shù),對(duì)圖像進(jìn)行去噪、分割處理，提取的火焰亮度特征變化以平滑的曲線顯示，損失了部分火焰圖像內(nèi)部信息.針對(duì)上述問(wèn)題，為了進(jìn)一步改善圖像處理的效果，在損失較小的情況下恢復(fù)原始圖像，我們將本征圖像濾波法應(yīng)用于圖像處理領(lǐng)域，以經(jīng)典的奇異值分解算法(singular value decomposition，SVD)為例，探討該算法重構(gòu)空間的選取，通過(guò)高斯噪聲和椒鹽噪聲污染的圖像去噪實(shí)驗(yàn)，表明該算法在圖像去噪領(lǐng)域有效可行，可用于實(shí)際工程中對(duì)信源進(jìn)行壓縮.

1 本征圖像濾波原理

本征圖像濾波算法是將輸入圖像分解為多個(gè)子圖，通過(guò)對(duì)子圖進(jìn)行選擇重構(gòu)來(lái)壓制隨機(jī)噪聲.只要子圖的維數(shù)選擇合理，不僅能有效提高圖像信噪比，且對(duì)有效信息的畸變非常小.本征圖像濾波法的基礎(chǔ)是SVD算法，其廣泛應(yīng)用于地震數(shù)據(jù)[5]，工頻干擾等領(lǐng)域進(jìn)行信源空間壓縮，減少后續(xù)工作量.以SVD分解為基礎(chǔ)的本征圖像濾波法處理噪聲污染圖像的原理描述如下[6-8]：

假設(shè)有一個(gè)二維的灰度圖像S，它的范圍為m×n(一般m

(1)

對(duì)X進(jìn)行奇異值分解得到左右奇異矩陣U,V和奇異值矩陣Σ

(2)

根據(jù)奇異值分解的第一個(gè)性質(zhì)可知[9]，σ1≥σ2≥…≥σm≥0.在圖像處理中，根據(jù)圖像與噪聲的分布情況，一般，奇異值越大對(duì)應(yīng)圖像信號(hào)，奇異值越小對(duì)應(yīng)噪聲信號(hào)，因此排在后面的奇異值對(duì)應(yīng)噪聲的可能性就越大.式(2)可以表達(dá)為：

(3)

式中Σs=diag[σ1,σ2,…,σp]，代表圖像信號(hào)的奇異值，ΣN=diag[σp+1,σp+2,…,σm]，代表噪聲信號(hào)的奇異值.從另一個(gè)角度來(lái)看，經(jīng)過(guò)奇異值分解，污染圖像被分解為一系列m×n維的加權(quán)本征圖像：

(4)

2 重構(gòu)空間的選取

假若p=rank(S)是圖像矩陣的秩，一般令其對(duì)應(yīng)圖像的維數(shù)，為了完全的恢復(fù)原始圖像，則進(jìn)行重構(gòu)的圖像維數(shù)不應(yīng)小于p階，一般，采用p階重構(gòu)就可以恢復(fù)原始圖像：

(5)

此時(shí)由于噪聲信號(hào)的奇異值被舍棄，也就實(shí)現(xiàn)了噪聲的去除，剩下的m-p個(gè)加權(quán)本征圖像疊加起來(lái)就是污染圖像中的隨機(jī)噪聲.在實(shí)際操作中，信號(hào)空間維數(shù)的確定往往依賴(lài)操作者的經(jīng)驗(yàn)，依照奇異值序列曲線上顯示的信號(hào)特征來(lái)手動(dòng)選取.重新考慮式(1)中的圖像X，對(duì)X做奇異值分解，就是將其中的圖像矩陣S和噪聲矩陣N同時(shí)投影到由左、右奇異矩陣中的向量所構(gòu)成的子空間中.則奇異值矩陣可以表示為：

S=S1+S2,

(6)

Σ=Σ1+ImσN,

(7)

所以在奇異值曲線上應(yīng)該有r個(gè)較大的奇異值，這r個(gè)較大的奇異值的幅度等于圖像矩陣所對(duì)應(yīng)的奇異值和σN之和；曲線上還有m-r個(gè)較小的奇異值，這m-r個(gè)較小的奇異值幅度是相同的，都等于σN.很明顯的，這m-r個(gè)幅度相同的小奇異值對(duì)應(yīng)的就是噪聲空間，將這些奇異值截?cái)?，進(jìn)行r階的重構(gòu)就可以達(dá)到壓制隨機(jī)噪聲的目的，并且由于我們保留了圖像空間的所有奇異值，所以對(duì)原始圖像沒(méi)有任何的畸變.從這里我們還可以看到，奇異值分解的去噪算法在理論上也是不可能完全去除隨機(jī)噪聲的，保留下來(lái)的信號(hào)空間奇異值可以表示為

Si=Ss,i+SN,

(8)

其中i=1,2,…,r，也就是說(shuō)，保留的對(duì)應(yīng)信號(hào)空間的奇異值中也含有噪聲的成分，所以完全去噪是不可能的.在實(shí)際中，由于噪聲樣本不是無(wú)限長(zhǎng)的，所以也不可能是完全統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，表現(xiàn)在奇異值曲線上就是，最后的m-r個(gè)小的奇異值幅度也是遞減的，但是其變化幅度不大，與信號(hào)空間對(duì)應(yīng)的奇異值之間有一個(gè)“拐點(diǎn)”.奇異值分解去除圖像噪聲的理想情況是前p幾個(gè)奇異值的值遠(yuǎn)大于后面的噪聲奇異值，并且p越小越好，因?yàn)榉纸夂竺總€(gè)奇異值中都混合有噪聲的成分，所以用越少的本征圖像重構(gòu)，去噪后所含的噪聲就越少.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

采用室外監(jiān)控系統(tǒng)獲取的灰度圖像(大小為240×320)，加入常見(jiàn)的均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1的高斯隨機(jī)噪聲，分別對(duì)其進(jìn)行不同維數(shù)的重構(gòu).將噪聲污染的圖像進(jìn)行分解，所得奇異值按降序方式排列，如圖1所示.在圖1中，前15個(gè)奇異值相比后序奇異值數(shù)值最大，16～55個(gè)數(shù)值中等，55～240個(gè)數(shù)值最小且基本恒等.因此，實(shí)驗(yàn)分別選取重構(gòu)維數(shù)M為10,50,80，結(jié)果如下頁(yè)圖2所示.

圖1 奇異值分解結(jié)果

由圖2可知，M=10時(shí)去噪結(jié)果最差，圖像模糊不清，還原程度最低.分析原因可知，第10個(gè)奇異值是一個(gè)明顯的拐點(diǎn)，數(shù)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于后序奇異值數(shù)值，其對(duì)應(yīng)圖像中輪廓的、邊界的部分(這些部分矩陣的相關(guān)性最強(qiáng))，因此重構(gòu)后對(duì)于邊緣部分的效果較好.觀察M=10去除的噪聲，內(nèi)部包含大量的有用信息，尤其包含反映輪廓特征的信息，說(shuō)明選取重構(gòu)的維數(shù)不足時(shí)，本征圖像濾波法根本無(wú)法重構(gòu)原始圖像，還會(huì)損失大量有用信息.M=50時(shí)去噪效果最好，去除的噪聲中只包含少量圖像信息.M=80時(shí)也能完全重構(gòu)圖像，且去除的噪聲中幾乎不含圖像信息，但是對(duì)比M=50時(shí)的去噪結(jié)果可知，此時(shí)重構(gòu)后的圖像中包含的噪聲明顯增多，達(dá)不到去噪要求.這表明，過(guò)大的重構(gòu)維數(shù)將引入過(guò)多的噪聲，只有合適的維數(shù)才能完全的、失真最小的恢復(fù)原始圖像.為了增加本征圖像濾波法的多樣性，分別選取不同重構(gòu)維數(shù)，對(duì)圖像中常見(jiàn)的椒鹽噪聲進(jìn)行處理，結(jié)果如下頁(yè)圖3所示.

圖2 不同維數(shù)重構(gòu)結(jié)果(高斯噪聲)

圖3 不同維數(shù)重構(gòu)結(jié)果(椒鹽噪聲)

由圖3可知，不同重構(gòu)維數(shù)對(duì)去除噪聲的結(jié)果影響較大，過(guò)少的維數(shù)不能完全重構(gòu)原始圖像，過(guò)大的維數(shù)會(huì)引入過(guò)多的椒鹽噪聲，只要恰當(dāng)?shù)木S數(shù)才能達(dá)到最佳效果，其中M=50時(shí)的去噪結(jié)果最好.然而對(duì)比圖2可知，同樣的重構(gòu)維數(shù)時(shí)，高斯噪聲的重構(gòu)結(jié)果明顯優(yōu)于椒鹽噪聲的重構(gòu)結(jié)果.以圖像去噪中最廣泛的參數(shù)信噪比(signal-to-noise ratio，SNR)和峰值信噪比(peak signal-to-noise ratio，PSNR)[11]，作為本次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的評(píng)價(jià)參數(shù)，將高斯噪聲和椒鹽噪聲的重構(gòu)結(jié)果分別顯示在表1中，其中參數(shù)的數(shù)學(xué)描述為：

(9)

(10)

(11)

式中，y是原始圖像數(shù)據(jù)，yo是去除噪聲后圖像數(shù)據(jù)，N是圖像維數(shù)，‖?‖是L2范數(shù).PSNR值越大表明圖像重構(gòu)的效果越好，而SNR值越大表明去除的噪聲越干凈.由表1可知，針對(duì)高斯噪聲的處理結(jié)果，其PSNR,SNR均大于同等維數(shù)的椒鹽噪聲處理結(jié)果，表明本征圖像濾波法對(duì)高斯噪聲的去除能力強(qiáng)于椒鹽噪聲.在高斯噪聲處理中，M=80時(shí)的SNR值小于M=50的值，進(jìn)一步說(shuō)明過(guò)大的重構(gòu)維數(shù)雖然能完全重構(gòu)圖像，但是去除噪聲的能力也隨之下降.

表1 不同噪聲下重構(gòu)圖像的評(píng)價(jià)參數(shù)

4 結(jié) 論

本文將本征圖像濾波法中經(jīng)典的SVD算法應(yīng)用于可見(jiàn)光圖像去噪，在SVD分解原理中，重點(diǎn)探討了重構(gòu)維數(shù)的選取方法，通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)不同維數(shù)重構(gòu)的效果進(jìn)行驗(yàn)證與探討，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明過(guò)小的維數(shù)不能重構(gòu)原始圖像，過(guò)大的維數(shù)雖然能完全重構(gòu)圖像但也會(huì)引入更多的噪聲，只有恰當(dāng)?shù)木S數(shù)才能完全且較少失真的恢復(fù)原始圖像.與椒鹽噪聲污染的圖像去噪能力相比，SVD算法更擅長(zhǎng)處理高斯噪聲.然而，分析SVD算法的原理可知，以舍棄噪聲重構(gòu)原始圖像為核心的本征圖像濾波法完全去除噪聲是不可能的，圖2、圖3也反映了這一點(diǎn).但是在海量的監(jiān)控視頻中(單幀圖像)，采用SVD算法可初步對(duì)其進(jìn)行降維(空間壓縮)，為后序圖像處理提供基礎(chǔ)，在實(shí)際工程中具有重要意義.