從屬于葉形域的有界旋轉(zhuǎn)函數(shù)逆的Hankel行列式*

郭 棟, 李宗濤

(①滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，239000，安徽省滁州市;②廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教學(xué)部，510403，廣東省廣州市)

1 相關(guān)定義及引理

令A(yù)表示定義在開(kāi)圓盤(pán)U={z:z∈，|z|<1}內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)類(lèi)，其中函數(shù)的形式為

(1.1)

令S表示函數(shù)類(lèi)A的在U內(nèi)單葉的解析子類(lèi). 令P表示如下形式的函數(shù)類(lèi)

(1.2)

它滿足在U內(nèi)解析且R(p(z))>0.

定義1.2 R(q) 表示這樣的解析函數(shù)類(lèi)：在單位圓盤(pán) U內(nèi)解析,規(guī)范形式為f(0)=f′(0)=1,滿足

取單值分支使得q(0)=1.

Hankel行列式的研究最早見(jiàn)于文獻(xiàn)[1],隨后出現(xiàn)一系列的拓展研究[2-6].

f的qthHankel 行列式定義如下

(1.3)

其中q≥1,n≥1.

下述研究我們將得到R(q)中的解析函數(shù)逆函數(shù)的 Hankel 行列式精確上界.為此需要以下引理.

引理1.1[7]如果p∈P 由 (1.2)式給出,那么 |pn|≤2(n∈)，不等式是精確的，極值函數(shù)是

引理1.2[8]如果p∈P由(1.2)式給出,那么存在復(fù)數(shù)x滿足 |x|≤1,復(fù)數(shù)z滿足 |z|≤1 使下列式子成立

(1.4)

(1.5)

后面的研究還需要二次多項(xiàng)式的最優(yōu)值,形式如下

(1.6)

2 主要結(jié)果

證明因?yàn)閒∈R(q),所以存在一個(gè)U 內(nèi)的解析自映照w,使得

(2.1)

(2.2)

把(2.2)式代入(2.1)式得

(2.3)

簡(jiǎn)單計(jì)算,知

f′(z)=1+2a2z+3a3z2+4a4z3+5a5z4+….

(2.4)

比較 (2.1),(2.3) 和 (2.4)式的系數(shù),可以得到

(2.5)

因?yàn)閒∈R(q) 是單葉的,所以在圓盤(pán) |ω|

由于f(f-1(ω))=ω,比較系數(shù)得

(2.6)

由 (2.5)式和 (2.6)式得

(2.7)

由引理 1.2 得到

令 |c1|=c∈[0,2],|x|=t∈[0,1],由三角不等式即得

現(xiàn)在需要確定G在域 Ω={(c,t):0≤c<2,0≤t≤1} 內(nèi)的最大值. 首先求G關(guān)于t與c的偏導(dǎo)數(shù),

下面研究函數(shù)在區(qū)域 Ω={(c,t):0≤c<2,0≤t≤1}邊界上的駐點(diǎn).

證明由 (2.7)式,容易得到

(2.8)

利用引理 1.2,如果 |x|<1和 |z|<1,有

因?yàn)?|c1|≤2,不妨設(shè)c1=c=∈[0,2],|z|=t,利用三角不等式就得到

現(xiàn)在確定函數(shù)G在區(qū)域Ω={(c,t):0≤c<2,0≤t≤1}內(nèi)的最大值. 因?yàn)?/p>

所以G關(guān)于t∈[0,1] 是非負(fù)函數(shù),

證明由(2.7)式容易得到

(2.9)

證明由引理1.1得|cn|≤2(n∈{1,2,3…}),由引理1.2中的(1.4)式和(1.5)式得到c2和c3的表達(dá)式,代入 (2.7)的相關(guān)式子,即得證.

(2.10)

對(duì)(2.10)式應(yīng)用三角不等式得

(2.11)

對(duì)(2.11)式應(yīng)用定理2.1,定理2.2,定理2.3和定理2.4的相關(guān)結(jié)果,即得證.