方鵬，陳文勝，蔣茂林，戴嘉寧

圓弧形擋土墻整體土壓力計算

方鵬，陳文勝，蔣茂林，戴嘉寧

(長沙理工大學 土木工程學院，長沙 410114)

針對計算擋土墻土壓力時，因擋土墻轉角處與長直墻的土壓力不同，其轉角處需用圓弧形擋土墻的土壓力進行單獨計算的問題。本研究提出將圓弧形擋土墻作為整體進行土壓力計算的方法，基于庫侖土壓力理論和極限平衡理論，計算了擋土墻墻后滑動土體的破裂角，并用微積分計算沿墻身對稱線上土壓力的合力。同時考慮了墻背與墻后填土之間的摩擦力。研究結果表明：圓弧形擋土墻主動土壓力及破裂角會隨著墻土摩擦角的增大而減小。該計算方法可為擋土墻實際工程壓力計算提供借鑒。

土壓力；轉角；圓弧形擋土墻；極限平衡；破裂角；摩擦力

庫侖在1773年提出了以擋土墻墻后滑動土體整體極限平衡為條件的庫侖土壓力理論。朗肯在1857年提出了以微分土體極限平衡為條件的朗肯土壓力理論。隨后許多學者不斷擴展了庫侖和朗肯土壓力理論的應用，至今為研究擋土墻土壓力計算中的兩種經(jīng)典計算方法[1]。然而這些研究主要針對直線型擋土墻，并不適用圓弧形擋土墻進行土壓力地計算。

傳統(tǒng)土壓力計算理論建立在擋土墻為無限長度，墻后滑動土體的滑動面為無限平面的基礎上。但實際工程中，擋土墻的長度有限，如：橋梁的橋臺，涵閘的閘墻、圓形水池、局部塌方區(qū)的擋墻及護岸墻等。此時，擋土墻墻后滑動土體滑動面由破裂面和滑動面組成，其形狀是一個復雜的空間曲面，并不是一個無限平面，需基于土壓力空間理論進行擋土墻土壓力的研究，因此，許多學者采用了不同方法分析了圓弧形擋土墻土壓力的分布。馬崇武[2]等人假定圓弧形擋土墻在不同破裂角時同時達到極限平衡條件，建立了無黏性散體材料對圓弧形擋土墻側壓力的計算方法。原方[3?5]等人對圓弧形擋土墻的土壓力進行了試驗研究和理論建模，獲得了其土壓力的分布規(guī)律及計算方法，并運用于淺圓倉。Janssen[6?8]等人提出了填土對曲線擋土墻的非線性壓力分布規(guī)律。胡樂山[9?12]等人對墻背為豎直、墻后填土為水平等情況下的圓弧形擋土墻土壓力進行了計算分析，但這些研究都沒有考慮到擋土墻墻背和填土之間的摩擦力，而實際工程中墻背并非光滑，而且存在摩擦力。因此，作者擬將圓弧形擋土墻作為整體，考慮擋土墻墻背和填土之間的摩擦力，基于庫侖土壓力理論和極限平衡理論，將圓弧形擋土墻整體土壓力的計算從平面問題上升到空間問題，也考慮了長直墻與圓弧形墻墻后滑動土體體積的不同。運用微積分求出主動土壓力的極值點，得到其整體主動土壓力的大小，據(jù)此判斷圓弧形擋土墻的穩(wěn)定性。

1 圓弧形擋土墻土壓力計算方法

圖1 圓弧形擋土墻主動土壓力計算模型

圖2 力的矢量三角形

通過參考庫侖土壓力理論的假設和力學分析，對圓弧形擋土墻土壓力進行計算。假設：①當墻體發(fā)生位移達到極限平衡狀態(tài)時，將墻后土體中形成滑動面的土體視為剛體，且擋土墻各點的破裂角相等，滑動面為截圓錐面，滑動面頂部為圓環(huán)形，故滑動土體為截圓錐體，如圖3所示；②將滑動土體微分化，并且每一個微分滑動土體的體積均相等；③擋土墻墻后填土為無粘性的土體；④微分土體滑動面上的摩擦力均勻分布；⑤填土表面為水平面；⑥擋土墻墻土之間存在均勻分布的摩擦力；⑦圓弧形擋土墻一般為短墻，所以這一理論適用于空間問題。

圖3 圓弧形擋土墻平面示意

基于這些假定，圓弧形擋土墻所承受的主動土壓力計算具有的特點：①墻后滑動土體的水平投影為扇形。在相同長度的擋土墻上，滑動土體引起主動土壓力，其重力相比直墻的較小，所以主動土壓力相應較小。②破裂角相比直墻的較大，則滑動土體的重力相應較小，所以主動土壓力也相應較小。③圓弧形擋土墻土壓力的方向沿徑向分布?？傊鲃油翂毫楦鼽c土壓力在墻身對稱線上投影的總和，所以總土壓力也相應較小。表明：可將圓弧形擋土墻作為整體，根據(jù)土壓力方向的分布，計算沿墻身對稱線上土壓力的合力值。

2 土壓力計算公式的推導

以擋土墻形式為例進行分析如圖1所示。擋土墻內(nèi)側圓弧半徑為，圓弧的圓心角為，填土的容重為。

由主動土壓力a，滑動土體重力和滑動面上反力三力平衡的矢量三角形可得：

圓弧形擋土墻平面示意如圖3所示，取dd為寬度計算，中心角為d的微分扇形體，則三角形ABC體積重心處的弧寬d可近似取為A、B、C三角處弧寬的平均值為：

。 (2)

則微分滑動土體的體積為：

微分滑動土體的重力為：

求得該微分土體所產(chǎn)生的土壓力為：

。(6)

式中，=2sinicos(+)；=3sinsin(+)?(cos+3sin)cos(+)；=?2(cos+3sin)sin(+)；=3cossin(+)。

可根據(jù)卡當公式求解式(8)，對其進行變量代換，令：

則式(9)可化為不含二次項且首項系數(shù)為1的形式，即：

通過計算可驗證得：

可得到求根公式：

將式(13)代入式(1)，便可得d寬度內(nèi)承受的主動土壓力。圓弧形擋土墻整體所承受的主動土壓力為各點主動土壓力在墻身對稱線上投影的總和，通過積分得出整體主動土壓力a：

3 計算公式的優(yōu)化

運用推導公式計算圓弧形擋土墻的主動土壓力時會比較繁瑣，而且在實踐工程中應用也不方便，因此需要對推導公式進行優(yōu)化。令：

則式(14)可簡化為：

表1 Ka值(δ=15°)

表2 Ka值(δ=20°)

4 實例分析

圓弧形擋土墻的斷面圖如圖4所示。墻高為7.5 m，擋土墻圓心角為90°，圓弧半徑為7 m，墻身為砌漿石，其容重為23 kN/m3，底板采用容重為24 kN/m3混凝土，底板與地基之間的滑動摩擦系數(shù)為0.35，墻后填土容重為18 kN/m3，土體內(nèi)摩擦角25°，墻背和填土間摩擦角為15°或20°的，墻后填土容重為18 kN/m3，試求墻體所承受的總主動土壓力大小，并驗算其穩(wěn)定性。

由圖4可知=7.5 m，=7 m可得= 1.071 4。

而庫侖理論計算方法得到的抗滑穩(wěn)定安全系數(shù)0為：

因此，利用本研究的圓弧形計算方法，會得到更為安全的穩(wěn)定性系數(shù)。

5 結論

基于傳統(tǒng)庫侖理論對圓弧形擋土墻主動土壓力進行計算和分析，得出的結論為：

1) 圓弧形擋土墻的主動土壓力的大小和滑動面夾角度隨墻土間摩擦角的增大而減小，其主動土壓力強度沿墻高呈非線性分布。

2) 考慮到擋土墻墻背與墻后填土間的摩擦力，還考慮到墻后滑動土體的體積，將平面問題上升到空間問題進行研究。該計算方法適用于墻背為豎直的圓弧形擋土墻，是一種更加接近于實際情況的近似計算方法。

3) 將本研究的計算方法和基于庫侖理論的計算方法進行對比，可以發(fā)現(xiàn)本研究計算所得的主動土壓力比庫侖計算法的偏小。在驗證墻體的穩(wěn)定性時，也比庫侖計算方法更加安全。

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Calculation of integral earth pressure of circular retaining wall

FANG Peng, CHEN Wen-sheng, JIANG Mao-lin, DAI Jia-ning

(School of Civil Engineering, Changsha University of Science & Technology, Changsha 410114, China)

When calculating the earth pressure of the retaining wall, it is usually considered that the earth pressure at the nook of the retaining wall is different from that of the long straight wall. The earth pressure at the nook is calculated separately with the earth pressure of the circular retaining wall. This study proposes a method for calculating the earth pressure of the circular retaining wall as a whole. Based on the Coulomb earth pressure theory, the limit equilibrium theory is used to calculate the rupture angle of the sliding soil behind the retaining wall. Then calculus is used to calculate the resultant force of the earth pressure along the symmetry line of the wall, which can consider the friction between the wall back and the backfill at the same time. The results show that the active earth pressure and the rupture angle of the circular retaining wall decrease with the increase of the friction angle of the soil wall. This calculation method can provide a reference for the earth pressure calculation of the actual retaining wall engineering.

earth pressure; nook; circular retaining wall; limit equilibrium; rupture angle; friction

TU432

A

1674 ? 599X(2021)01 ? 0069 ? 06

2020?02?22

國家自然科學基金資助項目(51778067，51279018)

方鵬(1995?)，男，長沙理工大學碩士生。