線性方程組解的幾何意義與矩陣秩的聯(lián)系

羅 柱，盧 藝

(廣東東軟學(xué)院 基礎(chǔ)學(xué)院，廣東 佛山 528225)

0 引言

線性方程組是線性代數(shù)課程中一個(gè)重要內(nèi)容，它在實(shí)際應(yīng)用中有著重要作用，例如，穩(wěn)態(tài)電路中的核心方程基爾霍夫方程、計(jì)算信號(hào)流圖傳遞函數(shù)公式、網(wǎng)絡(luò)流等，它們本質(zhì)上是解線性方程組。解線性方程組都是基于重要的理論——線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理。三元一次線性方程組有著明顯的幾何背景，現(xiàn)大部分文獻(xiàn)資料都是直接描述其解的幾何含義，但未證明線性方程組解的幾何含義與其解的判定條件之間的理論聯(lián)系。本研究借助MATLAB軟件直觀展示線性方程組解的幾何意義，從理論上證明線性方程組解的幾何含義與解的判定條件之間的聯(lián)系。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)三元一次線性方程組為

(1)

記，

α1=(a11,a21,a31)T，α2=(a12,a22,a32)T，

α3=(a13,a23,a33)T

定義1m×n矩陣A的所有非零子式的最高階數(shù)稱為矩陣A的秩。

引理1 設(shè)兩平面方程為

π1:A1x+B1y+C1z+D1=0

π2:A2x+B2y+C2z+D2=0’

則

(i)兩平面相交的充要條件是

A1：B1：C1≠A2：B2：C2；

(ii)兩平面平行的充要條件是

(iii)兩平面重合的充要條件是

2 相關(guān)結(jié)論

線性方程組(1)的每一個(gè)方程表示三維空間中的一個(gè)平面，如果第二個(gè)方程與第一個(gè)方程聯(lián)立，得到一個(gè)方程組，如有解，其解是維數(shù)小一維的直線，第三個(gè)方程也一樣。這就生成兩條新的直線，若這兩條直線相交于一點(diǎn)，則方程組有唯一解。換句話說，三個(gè)平面相交于一點(diǎn)時(shí)，則線性方程組(1)有唯一解。下面借助于MATLAB，在二維平面中展示三元一次線性方程組解的其他情況。

注：每一條直線代表的是一個(gè)平面，每個(gè)交點(diǎn)代表的是一條直線。 圖1

由圖1可知，1、3顯示若兩平面的交線在另一平面外，它們所對(duì)應(yīng)的線性方程組無解；2顯示無交線在第三個(gè)平面上，它所對(duì)應(yīng)的線性方程組無解；4顯示兩平面的交線在第三個(gè)平面上，所對(duì)應(yīng)的線性方程組有無窮多解。

從直線與平面位置關(guān)系研究線性方程組解的幾何實(shí)驗(yàn)課含義與解的判定條件之間的聯(lián)系。

設(shè)直線L方程為

(2)

若a11：a12：a13≠a21：a22：a23，則直線(2)可以化為標(biāo)準(zhǔn)方程

(3)

其中，

又設(shè)平面方程為

π3：a31x+a32y+a33z=b3

(4)

記

定理1 直線(3)與平面(4)的相互位置關(guān)系有下面的充要條件：

(i)相交：r(A)=3;

(ii)平行：r(A)=2,r(B)=3;

(iii)直線在平面上：r(A)=r(B)=2

證明 注意到，2≤r(A)≤3，令

聯(lián)立(4)化簡(jiǎn)得

|D||A|t=|C|-|A|z0

(5)

這是一個(gè)關(guān)于t的一元一次方程。

(i)若|A|≠0時(shí)，此時(shí)，方程(5)有唯一解，即直線與平面有唯一的交點(diǎn)。因此，當(dāng)r(A)=3時(shí)，直線與平面相交；

(ii)若|A|=0，|C|≠0時(shí)，由于|C|≠0，則|B|有一個(gè)非零的三階子式，即r(B)=3，此時(shí)方程(5)無解，即直線與平面無交點(diǎn)，也就是直線平行于平面。因此，當(dāng)r(B)=3，r(A)=2時(shí)，直線與平面平行；

(iii)若|A|=0，|C|=0時(shí)，則α1，α2，α3線性相關(guān)，α1，α2，b也線性相關(guān)，則

r(α1，α2，α3,b)=r(α1，α2)=r(α1，α2，α3)=2

此時(shí)，方程(5)有無窮多解，即直線在平面上。因此，當(dāng)r(A)=r(B)=2時(shí)，直線在平面上。

注：1.上面的證明過程是可逆的。2.根據(jù)上面的定理，從幾何背景上判斷線性方程組(1)解的情況只需看直線與平面的位置關(guān)系：當(dāng)直線與平面相交時(shí)，線性方程組(1)有唯一解；當(dāng)直線在平面外時(shí)，線性方程組(1)無解；當(dāng)直線在平面上時(shí)，線性方程組(1)有無窮多解。

命題1 三平面重合的充要條件是

r(A)=r(B)=1

命題2 三平面平行但不全重合的充要條件是

r(A)=1，r(B)≠1

注：1.命題1、命題2可直接由引理1得到。2.命題1可以看成是無窮多條直線在平面上；命題2可以看成是無直線在平面上。

設(shè)三元一次線性方程組為

(6)

推論1 (i)線性方程組(6)有唯一解的充要條件是(6)中的m個(gè)方程所表示的平面相交于一點(diǎn)；

(ii)線性方程組(6)有無窮多解的充要條件是(6)中的m個(gè)方程所表示的m個(gè)平面重合或相交于一條直線；

(iii)線性方程組(6)無解，充要條件是(6)中的m個(gè)方程所表示m個(gè)平面既不相交于一點(diǎn)也不重合、相交于一條直線。

證明 從線性方程組解的形式與直線、平面方程可得出結(jié)論，這里不再證明。

注：從定理1、命題1、命題2以及推論1的結(jié)論中也可以看出三元一次線性方程組解的結(jié)構(gòu)形式：如果是平面重合，其解中含有兩個(gè)自由變量，即其解的表達(dá)式實(shí)際上是一個(gè)平面方程；如果是平面相交于一條直線，其解中含有一個(gè)自由變量，即其解的表達(dá)式實(shí)際上是一條直線方程。

3 應(yīng)用

例1 設(shè)有三張不同的平面，其方程為aix+biy+ciz=di(i=1,2,3)，它們組成的系數(shù)矩陣及增廣矩陣的秩都為2，則三張平面可能的位置關(guān)系為( )。(2002年數(shù)一)

解 由于系數(shù)矩陣及增廣矩陣的秩都為2，則方程組有無窮多解，根據(jù)定理1，應(yīng)是兩平面相交成的直線在第三個(gè)平面上，滿足這個(gè)要求的只有B。