楊和奎

【摘要】“以學(xué)習(xí)者為中心”教學(xué)模式，主張教學(xué)思想、教學(xué)方法、教學(xué)設(shè)計(jì)等方面均以學(xué)習(xí)者為主，教師的作用是引發(fā)學(xué)習(xí)者思考，然后為學(xué)習(xí)者留出深入探究的空間，讓學(xué)習(xí)者成為學(xué)習(xí)真正意義上的主人.

【關(guān)鍵詞】學(xué)習(xí)者為中心;初中數(shù)學(xué);三角形面積

一、“以學(xué)習(xí)者為中心”理念的內(nèi)涵

“以學(xué)習(xí)者為中心”就是把重點(diǎn)放在個(gè)體學(xué)習(xí)者身上，探究學(xué)習(xí)如何發(fā)生，以及如何激發(fā)學(xué)習(xí)者的積極性，在此基礎(chǔ)上探索最有效的教學(xué)途徑.“以學(xué)習(xí)者為中心”的教學(xué)是以人本主義和建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論為基礎(chǔ)的.“以學(xué)習(xí)者為中心”的教學(xué)理念，要求教師改變多年來的傳統(tǒng)教學(xué)思想，在課堂教學(xué)中真正做到以學(xué)生為中心.

二、案例分析與研究

（一）教學(xué)內(nèi)容

求平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三角形的面積，例題為人教版數(shù)學(xué)七年級下冊第七章平面直角坐標(biāo)系習(xí)題7.2第9題.原題：△AOB中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，4），（6，2），求△AOB的面積.（提示：△AOB的面積可以看作一個(gè)長方形的面積減去幾個(gè)小三角形的面積.）

（二）教學(xué)思想

思考：本題雖然給出了提示，但是在計(jì)算的過程中涉及求一個(gè)長方形以及三個(gè)三角形的面積，計(jì)算量較大，學(xué)習(xí)者在計(jì)算時(shí)稍不留意就容易出錯(cuò).此外，隨著△AOB的頂點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)生改變，有的學(xué)習(xí)者不能很清晰地構(gòu)造出△AOB的面積是哪一個(gè)長方形的面積減去哪些小三角形的面積.因此，尋找新的解題方法顯得尤其重要.若能根據(jù)三角形頂點(diǎn)的坐標(biāo)，直接用公式求出它的面積，那么學(xué)習(xí)者更易接受，更能徹底掌握.

（三）教學(xué)方法

教師課前準(zhǔn)備好幾何畫板課件，在課件的制作中，設(shè)置參數(shù)（a，b）、（c，d），分別為所要求的△AOB的頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo).教學(xué)中，教師先通過軟件度量出△AOB的面積，讓學(xué)習(xí)者感受到運(yùn)用軟件帶來的方便，激起他們探究新知的強(qiáng)烈興趣;改變各參數(shù)的大小，改變△AOB的頂點(diǎn)坐標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)習(xí)者發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)與面積的大小的關(guān)系;通過計(jì)算多組數(shù)據(jù)，學(xué)習(xí)者猜測、總結(jié)出公式;再鼓勵(lì)小組合作證明所得的公式;最后通過平移變換，求出任意三角形的面積，完成教學(xué)目標(biāo).

（四）教學(xué)片段

環(huán)節(jié)1.談一談

師：在上節(jié)課的學(xué)習(xí)中，我們通過補(bǔ)形法求出了三角形的面積.在計(jì)算三角形面積的過程中你有什么想法，請談?wù)勀愕母惺?

生1：要計(jì)算的面積較多，容易出錯(cuò).

生2：當(dāng)圖中沒有方格時(shí)，不會計(jì)算.

師：用補(bǔ)形法求平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三角形的面積過程比較煩瑣，不少同學(xué)在解題過程中遇到了困難.那么我們能不能利用公式直接計(jì)算平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三角形的面積呢？

生3：通過網(wǎng)絡(luò)搜索，我發(fā)現(xiàn)如果一個(gè)三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)都是整數(shù)，那么可以利用pick定理計(jì)算.

pick定理：如果一個(gè)簡單多邊形（以下稱為“多邊形”）的每個(gè)頂點(diǎn)都是直角坐標(biāo)平面上的格點(diǎn)，那么稱該多邊形為格點(diǎn)多邊形.若一個(gè)面積為S的格點(diǎn)多邊形，其邊界上有a個(gè)格點(diǎn)，內(nèi)部有b個(gè)格點(diǎn)，則S=12a+b-1.

如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)A（-1，2），點(diǎn)B（3，3），點(diǎn)C（2，1） .邊界上有3個(gè)格點(diǎn)，所以a為3，三角形內(nèi)部也有3個(gè)格點(diǎn)，所以b 為3，可得S△ABC = 12×3+3-1=3.5.

生4：利用pick定理計(jì)算習(xí)題7.2第9題，觀察下圖中的△AOB，發(fā)現(xiàn)其邊界上有6個(gè)點(diǎn)，邊界內(nèi)部有8個(gè)點(diǎn)，所以S△AOB= 12×6+8-1=10.

師：利用pick定理我們能夠快速有效地計(jì)算格點(diǎn)三角形的面積，但只要三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)中有一個(gè)頂點(diǎn)不為整數(shù)時(shí)，就無法利用此定理進(jìn)行計(jì)算.那么有沒有什么公式適用于計(jì)算平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意三角形的面積呢？

環(huán)節(jié)2.觀一觀

師：本節(jié)課我們先利用幾何畫板來探討有一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）的三角形的面積.請同學(xué)們仔細(xì)觀察下面的操作.

教師打開事先準(zhǔn)備好的幾何畫板課件，選擇“度量”菜單下的“面積”，度量出畫好的三角形的面積，并多次改變?nèi)切蔚捻旤c(diǎn)坐標(biāo)，反復(fù)“度量”——“面積”.

師：請同學(xué)說出你想度量出的三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并度量其面積，全體同學(xué)記下頂點(diǎn)坐標(biāo)及對應(yīng)的面積.

生5：△AOB的頂點(diǎn)分別為A（3，4），B（5，2），面積為7; △AOB的頂點(diǎn)分別為A（2，5），B（3，3），面積為4.5……

生6：△AOB的頂點(diǎn)分別為A（4，1），B（1，3），面積為5.5; △AOB的頂點(diǎn)分別為A（2，4），B（-2，1），面積為5……

環(huán)節(jié)3.算一算

師：設(shè)△AOB的頂點(diǎn)為A（xa，ya），B（xb，yb），請大家用你剛記錄下來的數(shù)據(jù)計(jì)算xa yb 與xbya的差.例如：△AOB的頂點(diǎn)為A（3，4），B（5，2），3×2-4×5=-14.

生7：△AOB的頂點(diǎn)為A（2，5），B（3，3），2×3-5×3=-9.

生8：△AOB的頂點(diǎn)為A（4，1），B（1，3），4×3-1×1=11.

生9：△AOB的頂點(diǎn)為A（2，4），B（-2，1），2×1-4×（-2）=10.

環(huán)節(jié)4.猜一猜

師：同學(xué)們根據(jù)計(jì)算的結(jié)果，對照前面我們度量出的三角形的面積，能猜一猜有一頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）的三角形的面積與另外兩點(diǎn)坐標(biāo)之間有什么關(guān)系嗎？

生10：△AOB的頂點(diǎn)為A（4，1），B（1，3），4×3-1×1=11，面積為5.5.所以我猜測2S△AOB =xa yb -xbya.

生11：△AOB的頂點(diǎn)為A（2，5），B（3，3），2×3-5×3=-9，面積為4.5.所以我猜測2S△AOB = xbya-xa yb.

生12：根據(jù)前面同學(xué)所說，我猜測S△AOB =12︱xa yb -xbya︱.

環(huán)節(jié)5.證一證

師：我們只通過幾組數(shù)據(jù)猜測出的公式不一定是正確的，因此還要進(jìn)行幾何證明.請同學(xué)們分成若干個(gè)小組，在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出頂點(diǎn)為A（xa，ya），B（xb，yb）的△AOB，并通過割補(bǔ)法求出△AOB的面積.

師根據(jù)下圖示范解題過程：由A（xa，ya），B（xb，yb）得C（0，ya），D（xb，ya），E（0，yb）.

所以S矩形BDCE = CD×CE =xb（ya- yb） ，S△AOC =12 AC×CO=12 xaya，S△BOE =12 BE×OE=-12 xbyb，S△ADB =12 AD×BD=12 （xb- xa） （ya- yb），S△AOB = S矩形BDCE -S△AOC-S△BOE-S△ADB = xb（ya- yb） -12 xaya+ 12 xbyb-12 （xb- xa） （ya- yb），化簡整理得：S△AOB =12（xb ya-xa yb）.

學(xué)習(xí)小組畫圖并計(jì)算，在計(jì)算的過程中遇到困難，可尋求教師的幫助.

生13：根據(jù)自畫圖形，我們小組得到：S△AOB =12（xa yb -xb ya）.

生14：根據(jù)自畫圖形，我們小組得到：S△AOB =12（xb ya -xa yb）.

綜上可得，當(dāng)一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）時(shí)，三角形面積公式為12|xayb-xbya|.

環(huán)節(jié)6.跳一跳

師：到此，我們證明出：S△AOB =12︱xa yb -xbya︱，但這個(gè)公式只適用于三角形中有一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0）.如果一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都不在原點(diǎn)，

那么我們又該怎么辦呢？

如：△ABC中，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，4），（6，2），（3，-1），求△ABC的面積.

生15：因?yàn)槠揭撇桓淖儓D形的大小，所以可以先把△ABC平移，使其有一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）.將C點(diǎn)平移到C1點(diǎn)，使C1點(diǎn)與原點(diǎn)重合，同時(shí)A點(diǎn)平移到A1點(diǎn)（-1，5），B點(diǎn)平移到B1點(diǎn)（3，3），然后根據(jù)公式算出平移后三角形的面積，從而得出所要求的△ABC的面積為12×︱3×5 -3×（-1）︱=9.

生16：我的方法也是平移，不過我平移的是坐標(biāo)系，使坐標(biāo)系的原點(diǎn)與三角形的一個(gè)頂點(diǎn)重合……

三、結(jié)語

“以學(xué)習(xí)者為中心”要求教師把重點(diǎn)放在學(xué)習(xí)者身上，在整個(gè)教學(xué)的過程中，都要考慮到學(xué)習(xí)者的特點(diǎn)，從而設(shè)計(jì)課程節(jié)奏，引導(dǎo)其快樂學(xué)習(xí)，以達(dá)到真正提高學(xué)習(xí)者的綜合素質(zhì)的目的.