煤體破碎過程中分形特征與能量耗散規(guī)律研究

王 寧，李樹剛，王世斌，張?zhí)燔?，?毅

（1.西安科技大學(xué) 安全科學(xué)與工程學(xué)院，陜西 西安710054；2.陜西煤業(yè)股份有限公司，陜西 西安710054；3.西安科技大學(xué) 西部礦井開采及災(zāi)害防治教育部重點(diǎn)實(shí)驗室，陜西 西安710054）

隨著煤礦開采深度的加大，采空區(qū)沖擊地壓、煤與瓦斯突出等礦山災(zāi)害問題日益突出[1]。煤礦災(zāi)害的發(fā)生往往伴隨著能量積聚與釋放，而煤體破碎引起的能量耗散可以減小能量積累，安全釋放能量。由于受地下水和通風(fēng)的影響，巷道煤體往往處于不同濕度環(huán)境，水分子對煤體的破碎和能量釋放有很大的影響。因此，研究不同相對濕度下破碎煤樣在壓縮過程中的分形特征與能量耗散之間的規(guī)律對煤礦動力災(zāi)害防治具有重要意義。近年來專家學(xué)者對破碎巖石的分形特征和能量耗散做了大量研究。甘德清[2]等通過對鐵礦石的沖擊破碎試驗研究，發(fā)現(xiàn)破碎動態(tài)強(qiáng)度與能量密度線性相關(guān)，分形維數(shù)與能量密度為負(fù)指數(shù)關(guān)系?；趯︼柡推扑樯皫r壓縮過程的能量耗散特征分析，郁邦永[3]等得出當(dāng)分形維數(shù)大于2.1 后，應(yīng)變能密度急劇增大，應(yīng)變能密度隨Talbot冪指數(shù)增大而減小的結(jié)論。除此之外，沈超敏[4]等通過均勻化方法推導(dǎo)顆粒材料破碎能量耗散，在忽略摩擦的基礎(chǔ)建立了球體顆粒壓縮過程的彈性-破碎模型，該模型可預(yù)測顆粒破碎過程的級配演化。童晨曦[5]等通過理論研究單一粒徑顆粒材料破碎演化規(guī)律認(rèn)為存在破碎極限，即最終分形維數(shù)為2.3 左右。為研究分形維數(shù)與巖石力學(xué)特性的關(guān)系，朱晟[6]等通過對堆石料進(jìn)行三軸試驗發(fā)現(xiàn)分形維數(shù)與峰值應(yīng)力、抗剪強(qiáng)度等力學(xué)參數(shù)存在二次項關(guān)系。關(guān)于相對濕度對巖石力學(xué)特性的研究，胡松[7]等在進(jìn)行煤塊單軸壓縮破碎試驗時發(fā)現(xiàn)彈性模量與樣品的水分含量有關(guān)，水分越高，彈性模量越低。在研究護(hù)頂層突發(fā)破壞的失穩(wěn)機(jī)制時，夏開宗[8]等發(fā)現(xiàn)在采空區(qū)環(huán)境濕度的作用下，石膏巖的強(qiáng)度和變形參數(shù)會大大降低。通過對不同浸水時間處理的破碎煤樣進(jìn)行壓縮試驗，張?zhí)燔奫9]等發(fā)現(xiàn)隨浸水時間增加，煤樣的承載能力降低，且粒度分布分形維數(shù)減小。以上文獻(xiàn)對破碎材料加載過程的能量耗散、分形特征以及濕度的影響進(jìn)行了廣泛研究，但缺乏能量轉(zhuǎn)化與效率特征討論。因此，基于分形理論和Einav[10-11]提出的破碎力學(xué)理論，通過定量分析煤體顆粒的粒度分布演化，并計算煤體破碎過程的能量耗散率，最終分析煤樣破碎分形過程的能量耗散變化規(guī)律。

1 試驗方案與分形理論

1.1 試驗方案

DDL600 破碎巖石力學(xué)試驗系統(tǒng)如圖1。主要包括：DDL600 電子萬能試驗機(jī)、破碎巖石承載裝置以及計算機(jī)采集系統(tǒng)等。加載試驗系統(tǒng)主要由DDL600 電子萬能試驗機(jī)開展，該試驗機(jī)為伺服儀器，最大載荷6 000 kN，誤差為0.5%。恒溫恒濕試驗箱可控溫度在15～60 ℃，濕度在15%～90%。

圖1 DDL600 破碎巖石力學(xué)試驗系統(tǒng)Fig.1 DDL600 broken rock mechanics test system

試驗所用煤樣取自陜西澄合某礦，硬度為0.16，煤巖類型為半亮半暗型，屬貧煤。在實(shí)驗室破碎后，利用振動篩進(jìn)行篩選，得到2.5～5 mm、5～10 mm、10～15 mm、15～20 mm 4 個區(qū)間粒徑的破碎煤樣。為探究級配對破碎煤樣壓碎過程分形特征的影響，破碎煤樣粒徑配比采用連續(xù)級配理論，即運(yùn)用Talbol公式對4 種粒徑的破碎煤樣進(jìn)行配比。取Talbol 冪指數(shù)n 為0.2、0.4、0.6、0.8 進(jìn)行配比，得出4 組不同級配破碎煤樣。為探究相對濕度對破碎煤樣壓碎過程分形特征的影響，將破碎煤樣放置于恒溫恒濕箱內(nèi)，設(shè)置溫度及濕度，其中設(shè)置溫度25 ℃下4 個相對濕度（Relative Humidity，簡稱RH）梯度為30%、45%、60%、75%。整個試驗考慮相對濕度、Talbol 冪指數(shù)級配對破碎煤樣壓碎過程分形特征的影響，需制備16 組試樣，每組600 g，為方便說明對試樣編號如下：4 個相對濕度記為A、B、C、D，4 個Talbol 冪指數(shù)記為1、2、3、4，則相對濕度30%下Talbol 冪指數(shù)n 為0.2 的試樣為A-1，以此類推。

試驗為單軸側(cè)限壓縮試驗，加載方式為軸向應(yīng)力控制，應(yīng)力梯度為2、4、8、12、16 MPa。試驗步驟：①將煤樣放置在側(cè)限壓縮缸筒中，調(diào)試系統(tǒng)，設(shè)定參數(shù)；②開始各級應(yīng)力加載，待到第1 級應(yīng)力加載結(jié)束，進(jìn)行數(shù)據(jù)儲存，然后取出煤樣篩分各粒徑并稱重記錄，將煤樣再裝回缸筒中，繼續(xù)下一級應(yīng)力加載；③重復(fù)上步驟，完成不同濕度和級配的煤樣破碎試驗，利用Origin 等軟件對試驗結(jié)果進(jìn)行處理。

1.2 分形理論

分形理論最初由Mandelbrot[12]創(chuàng)建并發(fā)展，該理論已被廣泛地應(yīng)用于破碎巖石領(lǐng)域。研究[13-14]表明，由形狀與大小各異的巖體顆粒和孔隙組成的巖體具有分形特性。根據(jù)分形的基本定義有：

式中：Ni是特征尺度Ri的客體數(shù)目；C 是比例常數(shù)；Ri是客體的特征尺度；D 是分形維數(shù)。

將式（1）推廣至連續(xù)即為：

式中：r 為破碎煤樣粒徑；N（x＞r）為粒徑大于r的破碎煤樣數(shù)量。

破碎煤樣的顆粒質(zhì)量與其粒徑存在以下關(guān)系：

式中：M（x＜r）為粒徑小于r 的破碎煤樣質(zhì)量；s為煤樣顆粒的形狀系數(shù)；ρ 為煤樣密度。

結(jié)合式（2）和式（3），利用分部積分公式計算得：

當(dāng)r 為最大粒徑時，式（4）變?yōu)椋?/p>

令破碎煤樣中最小粒徑rmin為0，則破碎煤樣中粒徑小于r 的顆粒質(zhì)量與煤樣總質(zhì)量的關(guān)系為：

式中：Mmax為破碎煤樣總質(zhì)量，即600 g；rmax為破碎煤樣中顆粒的最大粒徑。

對式（6）兩邊取對數(shù)處理可得：

根據(jù)式（7），將試驗數(shù)據(jù)作對數(shù)處理，并線性擬合兩對數(shù)數(shù)據(jù)得出其斜率為3-D，則可計算出破碎煤樣質(zhì)量-粒徑分布下的分形維數(shù)。

2 試驗結(jié)果

2.1 煤樣破碎過程質(zhì)量變化規(guī)律

為研究煤樣受應(yīng)力加載破碎過程質(zhì)量變化規(guī)律，對受載后的破碎煤樣進(jìn)行篩分，篩分尺寸為0～＜2.5 mm、2.5～＜5 mm、5～＜10 mm、10～＜15 mm、15～20 mm，記錄各尺寸范圍的破碎煤樣質(zhì)量。由于數(shù)據(jù)量較大，故以相對濕度RH=30%，n=0.2 為例，不同應(yīng)力下破碎煤樣各粒徑區(qū)間質(zhì)量分布如圖2。

圖2 不同應(yīng)力下破碎煤樣各粒徑區(qū)間質(zhì)量分布Fig.2 Mass distribution of broken coal samples in various particle size intervals under different stresses

由圖2 可知：隨加載應(yīng)力增大，2.5 mm 以下破碎煤樣不斷增加，5 mm 以上破碎煤樣不斷減小，而2.5～5 mm 內(nèi)的破碎煤樣有較多變化，但總體平緩，分析該原因是大粒徑破碎煤樣在整體結(jié)構(gòu)突出，為首要承壓點(diǎn)，隨應(yīng)力增大不斷破碎造成質(zhì)量減小，由此，小粒徑破碎煤樣不斷增加，而2.5～5 mm 范圍內(nèi)的破碎煤樣在受力過程有大粒徑破碎造成質(zhì)量增加，也有自身破碎造成質(zhì)量減小，兩者抵消使得該范圍煤樣質(zhì)量變化。

濕度對2.5 mm 以下破碎煤樣質(zhì)量變化影響明顯，當(dāng)RH=30%和RH=45%時，2.5 mm 以下破碎煤樣質(zhì)量占總質(zhì)量不斷增至50%，而RH=60%和RH=75%時，2.5 mm 以下破碎煤樣質(zhì)量占總質(zhì)量不到33%，由此可以反映不同濕度下煤樣破碎程度存在差異，且濕度越大煤樣越不易破碎。

2.2 煤樣破碎過程質(zhì)量-粒徑分布規(guī)律

分形維數(shù)是表征物體自相似性的度量，適用于描述一切不規(guī)則的現(xiàn)象，在巖石工程中能夠定量地反映巖石破碎的程度。煤樣加載破碎過程中軸向應(yīng)力σ 與分形維數(shù)D 之間滿足對數(shù)關(guān)系，即：

式中：a、b、c 為擬合參數(shù)。

不同相對濕度下各級配破碎煤樣的分形維數(shù)與應(yīng)力擬合曲線圖如圖3。

從圖3 可以看出，隨加載應(yīng)力增大，質(zhì)量-粒徑的分形維數(shù)D 呈現(xiàn)對數(shù)增長，且可用式（8）進(jìn)行擬合。加載應(yīng)力小于4 MPa，分形維數(shù)增長迅速，加載應(yīng)力大于4 MPa，分形維數(shù)增長減緩。在加載初期，相同加載應(yīng)力下，隨冪指數(shù)n 增加，分形維數(shù)D 單調(diào)減小，但隨加載應(yīng)力增大，冪指數(shù)n 對分形維數(shù)的影響逐漸減小，該原因為顆粒破碎過程是趨于自相似分布[15]，即隨應(yīng)力加載分形維數(shù)趨于一致。此外相對濕度對粒徑分布的影響較大，隨相對濕度增加，分形維數(shù)D 總體呈減小趨勢，相對濕度45%到60%之間分形維數(shù)減小幅度大于其他2 個相對濕度，即存在某個相對濕度，在該值附近分形維數(shù)變化幅度大，或者說該值下相對濕度對分形維數(shù)影響大。

圖3 不同相對濕度下各級配破碎煤樣的分形維數(shù)與應(yīng)力擬合曲線圖Fig.3 Fractal dimension and stress fitting curves diagram of broken coal samples of different levels under different relative humidity

2.3 煤樣破碎過程能量耗散規(guī)律

能量耗散率，即內(nèi)部耗能占外界輸入能量的比例，可有效反映破碎煤樣在壓實(shí)變形過程中所消耗的能量?？紤]到顆粒破碎影響因素的復(fù)雜性，且顆粒摩擦引起的能量耗散遠(yuǎn)低于破碎引起的能量耗散[10]，基于Einav 的破碎力學(xué)理論，假設(shè)能量耗散主要為顆粒破碎引起的能量耗散，并忽略顆粒摩擦引起的能量耗散，則能量耗散表達(dá)如下：

式中：GB為材料應(yīng)變能常數(shù)，J；C 為材料的儲存能量，J。

式中：δe為應(yīng)變增量，無量綱。

根據(jù)式（9）～式（12）可計算得出煤樣各級加載過程中能量耗散值，顯然能量耗散隨加載進(jìn)行不斷增大，為更好對比各級加載能耗情況，定義能量耗散值與外力做功的比值為能量耗散率K，RH 為30%下能量耗散率K 與σ 的關(guān)系曲線如圖4。

圖4 RH 為30%下能量耗散率K 與σ 關(guān)系曲線Fig.4 The relationship curves between energy dissipation rate K and σ under RH of 30%

由圖4 可知，破碎能耗率主要為30%～42%，總體隨應(yīng)力增加而呈現(xiàn)先增后減的趨勢，因為由加載初始到加載中期，煤樣趨于緊密，仍存在大粒徑顆粒破碎，而由加載中期到加載后期，煤樣中低于2.5 mm 的顆粒占總質(zhì)量的1/3，甚至1/2 以上，根據(jù)Tsoungui[16]的“緩沖效應(yīng)”，該階段以小顆粒破碎為主，能量耗散減小，由此破碎能耗率減小。此外，對比每個相對濕度下能量耗散率發(fā)現(xiàn)，隨相對濕度增加，能量耗散率呈現(xiàn)下降趨勢，結(jié)合質(zhì)量分布情況，分析該原因為，濕度增加使得煤樣顆粒破碎減少，從而能量耗散率下降。

2.4 煤樣能量耗散規(guī)律與分形維數(shù)關(guān)系

分形維數(shù)D 變化可表征顆粒材料的級配曲線的變化，是影響顆粒材料的本構(gòu)關(guān)系有重要因素，而破碎引起的能量耗散一定程度反映顆粒材料的破壞情況，兩者都與材料破碎相關(guān)，因此，分形維數(shù)與能量耗散之間存在聯(lián)系。

不同相對濕度下能量耗散率K 與分形維數(shù)D變化曲線如圖5。

圖5 不同相對濕度下能量耗散率K 與D 變化曲線Fig.5 Variation curves of energy dissipation rate K and D under different relative humidity

基于能量耗散與應(yīng)力曲線分析，忽略第1 級加載，即分析后4 個加載點(diǎn)，由此可知能量耗散率隨分形維數(shù)增加而呈現(xiàn)先增加后減小的趨勢，這是因為顆粒破碎存在1 個臨界狀態(tài)，在此之前能量耗散率不斷增加，而到達(dá)這個臨界狀態(tài)時，顆粒破碎發(fā)生改變以致能量耗散率降低，這個臨界狀態(tài)就是“緩沖效應(yīng)”，小顆粒緊挨大顆粒，應(yīng)力加載下發(fā)生破碎的是小顆粒。此外，RH 為30%和45%下的煤樣，能量耗散率在分形維數(shù)為2.6 附近達(dá)到峰值，而RH 為60%和75%下的煤樣，其能量耗散率的峰值在分形維數(shù)為2.3 附近達(dá)到。但煤樣B-1、C-4、D-1 在12 MPa 下都出現(xiàn)減小現(xiàn)象，分析該原因為重新裝填對煤樣破碎的偶然影響。

3 結(jié) 論

1）煤樣破碎過程表現(xiàn)為5 mm 以上粒徑顆粒破碎使得2.5 mm 以下粒徑增加，且應(yīng)力加載后期大粒徑顆粒破碎減少。相對濕度的增加會降低小粒徑顆粒含量，說明濕度對煤體破碎有減緩作用。

2）煤樣破碎過程質(zhì)量-粒徑分布滿足分形特征，分形維數(shù)與應(yīng)力滿足對數(shù)關(guān)系。分形維數(shù)隨加載應(yīng)力的變化可分為4 MPa 之前的迅速增加階段和4 MPa 之后的緩慢增加階段。

3）能量耗散率的變化范圍為30%～42%，該值隨分形維數(shù)增加呈現(xiàn)先增后減的變化趨勢，相對濕度通過降低破碎而減小能量耗散率。