彈性體內一類表面波的求解

王 杰 許蘭喜

(北京化工大學 數(shù)理學院, 北京 100029)

引 言

表面波又叫作瑞利波,這種波在彈性體表面?zhèn)鞑?只侵入彈性體內一小段距離,當離彈性體表面很遠時,位移趨于零。表面波的發(fā)現(xiàn)對地震科學的發(fā)展起到了推動作用，不僅可以解釋許多地球物理、聲學和工程力學現(xiàn)象,而且還具有實際意義,例如應用于地震、石油、地質的勘探,材料的無損探傷,工程結構的抗震抗爆以及巖土動力學等領域。常見的關于表面波的研究有兩種方法：一種是解析法,即求解表面波在相應定解條件下的解，該方法大部分都是從直角坐標系出發(fā),導出經典的波動方程從而進行研究；另一種是數(shù)值方法,利用有限元、邊界元等手段對一些復雜結構中的表面波問題求近似解。Thomson[1]最早提出求解固體介質中彈性波的矩陣方法,之后被Haskell[2]推廣到表面波垂直分量的計算中。近年來,針對表面波的研究主要集中在其傳播及性質應用方面。如楊天春等[3]采用水平層狀介質模型,利用傳遞矩陣方法推導表面波的質點位移表達式,同時對曲線特征進行分析。柴華友等[4]研究表面源激發(fā)的瑞利波的傳播特性,比較了激發(fā)模態(tài)與簡正模態(tài)相速度的差異。閻守國等[5]利用數(shù)值方法研究了半空間表面波的傳播和衰減特性,發(fā)現(xiàn)通過該特性可以提高表面波勘探的準確性并擴大其應用范圍。本文應用解析法對表面波的解進行分析,得到了表面波的一般解。此外,還研究了表面波一般解的結構以及不同行波解波速之間的關系。

1 數(shù)學模型

彈性體內的表面波也是一種彈性波,因此滿足彈性力學基本方程組[6]

1.1 表面波的平面應變假設

對本文所討論的彈性體,以y=0為彈性體表面,y軸指向彈性體內,建立如圖1所示的坐標系。在平面應變假設下,邊界的法向量N=(0,-1,0),彈性體變形為二維的,即U=(u(x,y,t),v(x,y,t),0)。

圖1 表面波的求解坐標系Fig.1 Solving the coordinate system of a surface wave

由表面波的特性可知表面波滿足

(1)

彈性體表面為自由振動,數(shù)學表示為

(2)

式中，e為體積膨脹率。

自然邊界條件為

(ⅰ)U=U(x,y,t)有界

(3)

(4)

1.2 模型的求解方法

根據向量分析引理,將彈性波分解為膨脹波和畸變波的疊加,即U=U1+U2,分別滿足

(5)

和

(6)

2 模型的求解

2.1 膨脹波的解

求解v1,令v1=X1(x)Y1(y)T1(t),代入得X1(x)Y1(y)T″1(t)=a2(X″1(x)Y1(y)T1(t)+X1(x)Y″1(y)T1(t))，兩邊同除X1(x)Y1(y)T1(t),得到

(7)

先求解本征值問題T″1(t)=pT1(t)，步驟如下。

2)p=0,通解為T1(t)=a1+a2t。

(ⅰ)當a2=0時,T1(t)=a1,由自然邊界條件(4)可知a1=0。

綜上,該本征值問題沒有p=0的本征值。

T1(t)=a1cos(p1t)+a2sin(p1t)

本征值問題Y″1(y)=rY1(y)的求解步驟如下。

1)r<0,通解為

此時不滿足條件(1),所以r<0不是該本征問題的本征值。

2)r=0,通解為Y1(y)=c1+c2y。

當c1≠0或c2≠0時,不滿足條件(1),所以該本征值問題沒有r=0的本征值。

綜上,X1(x)、Y1(y)和T1(t)分別表示為

(8)

式中a1、a2、c2、d1、d2均為常數(shù)。

將式(8)代入v1=X1(x)Y1(y)T1(t),得

v1=c2e-r1y(d1cos(s1x)+d2sin(s1x))(a1cos(p1t)+a2sin(p1t))

(a1cos(p1t)+a2sin(p1t))+C1(x,t)

故u1,v1分別為

(9)

式中C1(x,t)是關于x,t的函數(shù)。

又由式(7)可得

(10)

2.2 畸變波的解

(11)

式中C2(x,t)是關于x、t的函數(shù),且有

(12)

2.3 表面波的解

將式(9)、(11)這兩個解疊加得

(13)

式中φ1、φ2、φ3和φ4都是關于x,t的函數(shù)。

由式(1)得

所以C1(x,t)=0,C2(x,t)=0。

利用C1=C2=0,則式(13)變?yōu)?/p>

(14)

將式(14)代入式(2)中第一個式子,可得當y=0時有

(15)

下面證明s1=s2。由于系數(shù)c2,c′2,di,d′i,ai，a′i具有任意性(i=1,2),不妨取c2=c′2=1,d1=-d′2=0，d2=d′1=1,a1=a′1=1,a2=a′2=0。

則式(15)變?yōu)?/p>

k1cos(s1x)cos(p1t)+k2cos(s2x)cos(p2t)=0

k1cos(s1x)+k2cos(s2x)=0

又k1=2s1≠0,可得cos(s1x)、cos(s2x)線性相關,由此有s1=s2。同理可得p1=p2。

利用s1=s2,式(15)變?yōu)?/p>

(16)

下面證明對任意的x,t都有φ1(x,t)=φ2(x,t)。

由系數(shù)的任意性,不妨令

將式(14)代入式(2)中第二個式子,同理得φ3=φ4。

將φ1=φ2,φ3=φ4和s1=s2代入式(14)得

(17)

將式(17)代入式(2)可得

(18)

求解式(18)即可得表面波的解。

3 解的性質

3.1 解的波速

雖然表面波的解不唯一,但是其波速并不會隨解的不同而發(fā)生改變,下面證明這一性質。從一般解式(14)入手,將式(14)代入式(2),得到式(18)，發(fā)現(xiàn)與變量x、y、t有關的項全部被消除了,只與常數(shù)r1、r2、s1、c2、c′2有關,因此不妨預測不同解的波速是相同的。

由式(18)得

(19)

可得

將K代入式(19)中第一個式子,有

(20)

(21)

式(21)的求解參考文獻[1]。由式(21)可得α的值只與ν有關,當ν取定時,α為定值。當ν=0.25時,可得α=0.919 4,則波速

(22)

由式(22)可知,α確定后,表面波的波速只與剪切彈性模量G和彈性體的密度ρ有關。當這兩個量固定時,表面波所有行波解的波速是相等的,并且與文獻[1]所求右行波解的波速吻合。

同時,還可以得到彈性體內膨脹波、畸變波和表面波的速度大小關系為V3

3.2 解的結構

(23)

對式(23)利用積化和差公式,得

式中l(wèi)1、l2、l3、l4和h1、h2、h3、h4分別為

易證h1,h2,h3,h4線性無關。

事實上,由k1h1+k2h2+k3h3+k4h4=0，通過取x,t分別為0,聯(lián)立解得k1=k2=k3=k4=0。

綜上,可得解的結構為

(24)

式中，ξ∈span{h1,h2,h3,h4}，a′∈span{e-r1y},b′∈span{e-r2y}。

由此可知解有3種可能,即左行波、右行波或者左右行波的疊加。特別地,當l2=1,l1=l3=l4=0時,得到了文獻[1]所給的右行波解。

4 結論

本文基于彈性力學基本方程組和向量分析引理,利用分離變量法,分別得到了滿足條件的膨脹波和畸變波的解,通過疊加最終得到表面波的一般解。在對一般解的分析中得到的結論如下。

(1)表面波的解不唯一。它的一般解的結構為

其中ξ∈span{h1,h2,h3,h4}，a′∈span{e-r1y},b′∈span{e-r2y}。

這些行波解可能為左行波,也可能為右行波,還可能為左右行波的疊加。

(2)當ν取定時,表面波不同解的波速只與彈性體密度ρ和剪切彈性模量G有關。膨脹波、畸變波和表面波的速度大小關系為V3