陜西省岐山縣蔡家坡高級(jí)中學(xué)(722405) 公寬讓

1 問(wèn)題2555 的另證

題目設(shè)正實(shí)數(shù)a,b,c滿足abc≥1,證明:

這是《數(shù)學(xué)通報(bào)》2020年7月號(hào)問(wèn)題中的不等式問(wèn)題2555,作者在第8 期的證明中多次應(yīng)用均值不等式,構(gòu)思奇妙,但不易推廣.下面用切比雪夫不等式和均值不等式對(duì)問(wèn)題2555 給出另證.

證明a,b,c ＞0,且abc≥1,不妨設(shè)a≥b≥c ＞0,由切比雪夫不等式和均值不等式,

令= 7, 得r=＜7.即同理,求和, 得(∑表示對(duì)a,b,c循環(huán)求和),故

再由切比雪夫不等式和均值不等式,

所以a2+b2+c2≥即=1,故

不等式(2)與不等式(3)相減,即得不等式(1)成立.

2 問(wèn)題2555 的推廣

2.1 問(wèn)題2555 按項(xiàng)數(shù)推廣

定理1 已知ai ＞0(i= 1,2,...,n,n≥3,n ∈N+),且為對(duì)ai(i=1,2,...,n)循環(huán)求和,則

2.2 問(wèn)題2555 按項(xiàng)數(shù)和指數(shù)推廣

定理2已知ai ＞0(i= 1,2,...,n,n≥3,n ∈N+),且,k ∈N+,∑為對(duì)ai(i=1,2,...,n)循環(huán)求和,則

為了方便下面的證明,先給出一個(gè)引理.

引理已知ai ＞0(i= 1,2,...,n,n≥3,n ∈N+),且則

證明ai ＞0(i= 1,2,...,n,n≥ 3,n ∈N+), 且不妨設(shè)a1≥a2≥...≥an ＞0,由切比雪夫不等式和均值不等式,

所以,不等式(*)成立.

下面證明定理1、定理2.

證明ai ＞0(i= 1,2,...,n,n≥ 3,n ∈N+) 且≥1,k ∈N+, 不妨設(shè)a1≥a2≥...≥an ＞0, 由切比雪夫不等式和均值不等式,

令r+=7k,得r=＜7k.即同理

求和,得

故

再由切比雪夫不等式和均值不等式,

求和,得

由不等式(*),得

故

不等式(6)與不等式(7)相減,即得不等式(5)成立.當(dāng)k=1時(shí),不等式(4)成立.

3 問(wèn)題2555 的拓展

3.1 問(wèn)題2555 的拓展

定理3已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足abc≥1,4q ＞p ＞q ＞0,則

3.2 問(wèn)題2555 拓展的推廣

定理4已知ai ＞0(i= 1,2,...,n,n≥3,n ∈N+),且≥1,(n+1)q ＞p ＞q ＞0,∑為對(duì)ai(i=1,2,...,n)循環(huán)求和,則

證明ai ＞0(i= 1,2,...,n,n≥ 3,n ∈N+), 且≥1, 不妨設(shè)a1≥a2≥...≥an ＞0, 由切比雪夫不等式和均值不等式,

同理,

求和,得

即

再由切比雪夫不等式和均值不等式,

求和,得

又q ＞q-＞0,由不等式(*),得

故

不等式(10) 與不等式(11) 相減, 即得不等式(9) 成立.當(dāng)n=3 時(shí),不等式(8)成立.